Corespondență individuală

Un exemplu de funcție bijectivă

În matematică, o corespondență unu-la-unu între două seturi $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este o relație binară între $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , astfel încât fiecare element al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ potriviți un singur și un singur element al $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , și invers pentru fiecare element al $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ potriviți un singur și un singur element al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În special, corespondența unu la unu este o relație de echivalență .

Același concept poate fi exprimat și folosind funcții . Se spune că o funcție

f\colon X\to Y

{\ displaystyle f \ colon X \ to Y}

f \ colon X \ to Y

este bijectiv dacă pentru fiecare element $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ există un singur și un singur element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât $f(x)=y$ ${\ displaystyle f (x) = y}$ $f (x) = y$ .

O astfel de funcție se mai numește bijecție, bigezione, funcție bijectivă sau bijectivă .

Proprietate

Injectivitate și surjectivitate

O functie $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ este bijectiv dacă și numai dacă este atât injectiv cât și surjectiv ^[1] , adică dacă îndeplinește următoarele condiții:

$a_{1}\neq a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {1} \ neq a_ {2}}$ $a_ {1} \ neq a_ {2}$ implica $f(a_{1})\neq f(a_{2})$ ${\ displaystyle f (a_ {1}) \ neq f (a_ {2})}$ $f (a_ {1}) \ neq f (a_ {2})$ pentru fiecare $a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ $a_1$ , $a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ $a_2$ ales în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ;
$\forall y\in Y\,\exists x\in X$ ${\ displaystyle \ forall y \ în Y \, \ există x \ în X}$ ${\ displaystyle \ forall y \ în Y \, \ există x \ în X}$ astfel încât $f(x)=y$ ${\ displaystyle f (x) = y}$ ${\ displaystyle f (x) = y}$ , adică fiecare element al domeniului este o imagine a unui element al domeniului.

Inversibilitate

O functie $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ este bijectiv dacă și numai dacă este inversabil , adică dacă și numai dacă există o funcție $g\colon Y\to X$ ${\ displaystyle g \ colon Y \ to X}$ $g \ colon Y \ la X$ astfel încât funcția compusă $f g$ ${\ displaystyle fg}$ $fg$ vin să coincidă cu funcția de identitate pe $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ și această funcție $g f$ ${\ displaystyle gf}$ $gf$ potriviți identitatea pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Functia $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ dacă există, este unic, se numește funcție inversă a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și notat cu $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ .

Compoziţie

Compoziția $g\circ f\colon X\to Z$ ${\ displaystyle g \ circ f \ colon X \ to Z}$ $g \ circ f \ colon X \ to Z$ a două funcții bijective $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ Și $g\colon Y\to Z$ ${\ displaystyle g \ colon Y \ to Z}$ $g \ colon Y \ to Z$ este încă bijectiv.

Corespondență unu-la-unu pentru mulțimi finite

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt mulțimi finite, putem construi o bijecție între $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ dacă și numai dacă au aceeași cardinalitate. În acest caz, în plus, fiecare funcție $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ injectiv sau surjectiv este de asemenea bijectiv. ^[2]

Notă

^ C. Kosniowski , p. 2 .
^ Conte, Picco Botta, Romagnoli , p. 12 .

Bibliografie

Czes Kosniowski, Introducere în topologia algebrică , Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9 .
Conte, Picco Botta, Romagnoli, Algebra , Levrotto & Bella, 1986, ISBN 8882181464 .