Constanta Boltzmann

Dezambiguizare - Nu trebuie confundat cu constanta Stefan-Boltzmann , σ

În mecanica statistică , constanta Boltzmann , $k_{B}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ $k_ {B}$ (indicată și cu κ ) este o constantă dimensională care stabilește corespondența dintre cantitățile de mecanică statistică și cantitățile de termodinamică , de exemplu între temperatură și energie termică sau între probabilitatea unei stări și entropie ( teorema Η ). Din motive istorice, de exemplu, temperatura absolută a fost, de asemenea, definită operațional și, de asemenea, în sistemul internațional, ea este în mod tradițional măsurată cu propriile unități (cum ar fi kelvinul și rankina ) pe baza proprietăților remarcabile ale unor materiale ( în cazul kelvinului punctul triplează apa ). Cu toate acestea, mecanica statistică de la lucrarea de pionierat a lui Boltzmann a arătat că temperatura este o formă de energie termică și este legată de agitația termică a moleculelor din care este compus materialul.

Descriere

De fapt, constanta Boltzmann este o constantă dimensională de conversie între temperatura exprimată în propriile unități și aceeași exprimată în unitățile energetice (în sistemul internațional , joule ): în sistemul internațional este, prin urmare, exprimată în $J/K$ ${\ displaystyle J / K}$ ${\ displaystyle J / K}$ , aceleași unități de măsură a entropiei și a capacității de căldură . Valoarea constantei dimensionale este exactă ^[1] și apare ca una dintre cele șapte constante determinante ale sistemului internațional .

k_{\mathrm {B} }=1{,}380\,649\times 10^{-23}\mathrm {\ J\,K^{-1}} \ \mathrm {(esatto)}

{\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} = 1 {,} 380 \, 649 \ times 10 ^ {- 23} \ mathrm {\ J \, K ^ {- 1}} \ \ mathrm {(corect) }}

{\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} = 1 {,} 380 \, 649 \ times 10 ^ {- 23} \ mathrm {\ J \, K ^ {- 1}} \ \ mathrm {(corect) }}

.

Constanta Boltzmann din sistemul internațional cu temperatura măsurată în kelvini înlocuiește două constante empirice: constanta gazului universal $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și constanta lui Avogadro $N_{A}$ ${\ displaystyle N_ {A}}$ $N / A}$ : ^[2]

k_{\mathrm {B} }={\frac {R}{N_{\mathrm {A} }}}

{\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} = {\ frac {R} {N _ {\ mathrm {A}}}}}

k _ {{\ mathrm {B}}} = {\ frac {R} {N _ {{\ mathrm {A}}}}}

Constanta lui Boltzmann poate fi exprimată și în alte unități de măsură : ^[1]

k_{\mathrm {B} }=8{,}617\,333\,262...\times 10^{-5}\mathrm {\ eV\,K^{-1}} \ \mathrm {(esatto)}

{\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} = 8 {,} 617 \, 333 \, 262 ... \ times 10 ^ {- 5} \ mathrm {\ eV \, K ^ {- 1}} \ \ mathrm {(corect)}}

{\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} = 8 {,} 617 \, 333 \, 262 ... \ times 10 ^ {- 5} \ mathrm {\ eV \, K ^ {- 1}} \ \ mathrm {(corect)}}

k_{\mathrm {B} }=1{,}380\,649\times 10^{-16}\mathrm {\ erg\,K^{-1}} \ \mathrm {(esatto)}

{\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} = 1 {,} 380 \, 649 \ times 10 ^ {- 16} \ mathrm {\ erg \, K ^ {- 1}} \ \ mathrm {(corect) }}

{\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} = 1 {,} 380 \, 649 \ times 10 ^ {- 16} \ mathrm {\ erg \, K ^ {- 1}} \ \ mathrm {(corect) }}

Legea gazelor ideale

Același subiect în detaliu: Legea gazelor ideale § Formulare semiempirică .

Constanta lui Boltzmann, $k_{B}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ $k_ {B}$ , acționează ca o punte între modelele și ecuațiile fizicii care guvernează lumea macroscopică și cele care guvernează lumea microscopică . În forma sa empirică originală, ecuația de stare a gazului ideal a fost afirmată spunând că un gaz ideal , produsul presiunii $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este proporțional cu cantitatea de substanță $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ (în aluni ) înmulțit cu temperatura absolută $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , adică cu ecuația:

pV=NRT\,

{\ displaystyle pV = NRT \,}

{\ displaystyle pV = NRT \,}

unde este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este constanta gazului (a cărei valoare este 8,314 462 618 ... JK ⁻¹ mol ⁻¹ ^[3] ). Această expresie poate fi simplificată considerabil, păstrându-și tot conținutul teoretic. Mai întâi trecem la o descriere locală împărțită la volum:

p=n_{m}RT\,

{\ displaystyle p = n_ {m} RT \,}

{\ displaystyle p = n_ {m} RT \,}

unde este $n_{m}$ ${\ displaystyle n_ {m}}$ ${\ displaystyle n_ {m}}$ este densitatea molară (mol / m ³ ). Prin introducerea densității numerice în ecuație $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , egală cu densitatea molară înmulțită cu constanta lui Avogadro , obținem:

p=n{\frac {R}{N_{A}}}T\,

{\ displaystyle p = n {\ frac {R} {N_ {A}}} T \,}

{\ displaystyle p = n {\ frac {R} {N_ {A}}} T \,}

În acest fel apare constanta Boltzmann:

p=nk_{B}T\,

{\ displaystyle p = nk_ {B} T \,}

p = nk_ {B} T \,

Distribuția energiei

Teorema echipartiției energetice afirmă că dacă un microsistem are $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ grade de libertate , energia termică a acestui sistem în condiții de echilibru la temperatură $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ Și:

E_{\mathrm {K} }={\frac {1}{2}}\,m\langle v^{2}\rangle ={\frac {f}{2}}\,k_{\mathrm {B} }\,T

{\ displaystyle E _ {\ mathrm {K}} = {\ frac {1} {2}} \, m \ langle v ^ {2} \ rangle = {\ frac {f} {2}} \, k _ {\ mathrm {B}} \, T}

{\ displaystyle E _ {\ mathrm {K}} = {\ frac {1} {2}} \, m \ langle v ^ {2} \ rangle = {\ frac {f} {2}} \, k _ {\ mathrm {B}} \, T}

Într-un gaz nobil la temperatură $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , deoarece există doar cele trei grade translaționale de libertate, energia termică este:

E_{\mathrm {K} }={\frac {3}{2}}\,k_{\mathrm {B} }\,T

{\ displaystyle E _ {\ mathrm {K}} = {\ frac {3} {2}} \, k _ {\ mathrm {B}} \, T}

{\ displaystyle E _ {\ mathrm {K}} = {\ frac {3} {2}} \, k _ {\ mathrm {B}} \, T}

unde este:

$E_{\mathrm {K} }$ ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {K}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {K}}}$ este energia cinetică medie a unei molecule
$m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este masa unei molecule
$\langle v^{2}\rangle$ ${\ displaystyle \ langle v ^ {2} \ rangle}$ $\ langle v ^ {2} \ rangle$ este viteza pătrată medie sau rata de agitație termică,
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura absolută .

Constanta Boltzmann este constanta de proportionalitate intre temperatura si energia termica a sistemului. Această teoremă este valabilă numai în cazul în care nu există o cuantificare a energiei sau în cazul în care separarea nivelurilor de energie este considerabil mai mică decât $k_{B}T$ ${\ displaystyle k_ {B} T}$ ${\ displaystyle k_ {B} T}$ . Aceeași expresie poate fi derivată din teoria cinetică a gazelor pornind de la relația:

p={\frac {2}{3}}\,n\langle v^{2}\rangle

{\ displaystyle p = {\ frac {2} {3}} \, n \ langle v ^ {2} \ rangle}

{\ displaystyle p = {\ frac {2} {3}} \, n \ langle v ^ {2} \ rangle}

Presiunea exercitată de un gaz pe un perete lateral al unui vas cubic $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este dat de:

p={\frac {1}{l^{2}}}\sum _{k=1}^{N/3}f_{k}={\frac {1}{l^{2}}}\sum _{k=1}^{N/3}{\frac {\Delta p_{k}}{\Delta t}}

{\ displaystyle p = {\ frac {1} {l ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {N / 3} f_ {k} = {\ frac {1} {l ^ {2} }} \ sum _ {k = 1} ^ {N / 3} {\ frac {\ Delta p_ {k}} {\ Delta t}}}

p = {\ frac {1} {l ^ {2}}} \ sum _ {{k = 1}} ^ {{N / 3}} f_ {k} = {\ frac {1} {l ^ {2 }}} \ sum _ {{k = 1}} ^ {{N / 3}} {\ frac {\ Delta p_ {k}} {\ Delta t}}

unde este $f_{k}$ ${\ displaystyle f_ {k}}$ $f_ {k}$ este forța exercitată de o moleculă care lovește peretele suferind o schimbare de impuls $\Delta p_{k}$ ${\ displaystyle \ Delta p_ {k}}$ $\ Delta p_ {k}$ într-un timp $\Delta t$ ${\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ . Indicând cu $m_{k}$ ${\ displaystyle m_ {k}}$ $m_ {k}$ masa și cu $v_{k}$ ${\ displaystyle v_ {k}}$ $v_ {k}$ viteza moleculei generice, obținem: $\Delta p_{k}=2\,m_{k}\,v_{k}\ \$ ${\ displaystyle \ Delta p_ {k} = 2 \, m_ {k} \, v_ {k} \ \}$ $\ Delta p_ {k} = 2 \, m_ {k} \, v_ {k} \ \$ Și $\ \ \Delta t={\frac {2\,l}{v_{k}}}$ ${\ displaystyle \ \ \ Delta t = {\ frac {2 \, l} {v_ {k}}}}$ $\ \ \ Delta t = {\ frac {2 \, l} {v_ {k}}}$ . Înlocuind aceste valori în ultima expresie

\sum _{k=1}^{N/3}{\frac {m_{k}\,v_{k}^{2}}{2}}={\frac {1}{3}}N\,\langle v^{2}\rangle

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {N / 3} {\ frac {m_ {k} \, v_ {k} ^ {2}} {2}} = {\ frac {1} {3} } N \, \ langle v ^ {2} \ rangle}

\ sum _ {{k = 1}} ^ {{N / 3}} {\ frac {m_ {k} \, v_ {k} ^ {2}} {2}} = {\ frac {1} {3 }} N \, \ langle v ^ {2} \ rangle

.

primim:

p={\frac {n}{N_{\mathrm {A} }}}\,R\,T

{\ displaystyle p = {\ frac {n} {N _ {\ mathrm {A}}}} \, R \, T}

{\ displaystyle p = {\ frac {n} {N _ {\ mathrm {A}}}} \, R \, T}

unde este $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este numărul de microsisteme.

Entropia Boltzmann

Mormântul lui Boltzmann din Viena , cu bustul savantului și formula de entropie în partea de sus.

În mecanica statistică, entropia este definită ca produsul dintre constanta dimensională a lui Boltzmann și logaritmul natural al $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , numărul de microstate în concordanță cu condițiile limită ale sistemului: ^[4]

S=k~\ln \ W

{\ displaystyle S = k ~ \ ln \ W}

{\ displaystyle S = k ~ \ ln \ W}

Această definiție statistică a entropiei, care este în concordanță cu relația empirică a lui Carnot, care constituie o definiție în termodinamica primitivă, este una dintre cele mai importante realizări ale mecanicii statistice .

Istorie

Boltzmann a fost primul care a raportat entropia și probabilitatea în 1877 , dar se pare că această relație nu a fost niciodată exprimată cu o constantă specifică până când Planck , în jurul anului 1900, a introdus prima dată constanta $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , calculându-i valoarea precisă și dedicându-i lui Boltzmann. ^[5] Înainte de 1900 , ecuațiile în care constanta Boltzmann este acum prezentă nu erau scrise folosind energia moleculelor individuale, ci prezentau constanta gazului universal $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și energia macroscopică a sistemului.

Într-adevăr, ecuația $S=k_{B}\ln W$ ${\ displaystyle S = k_ {B} \ ln W}$ ${\ displaystyle S = k_ {B} \ ln W}$ prezent pe mormântul lui Boltzmann se datorează lui Planck, care l-a introdus în același articol în care a introdus constanta lui Planck $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ . ^[6] Așa cum a scris Planck în cursul său Nobel în 1920 : ^[7]

„Această constantă este deseori numită constantă Boltzmann , deși, din câte știu, Boltzmann nu a introdus-o niciodată - o situație particulară care poate fi explicată prin faptul că Boltzmann, așa cum se dovedește prin enunțurile sale ocazionale, nu s-a gândit niciodată la posibilitatea de a face o măsurarea exactă a constantei. "

Expresia „situație specială” se referă la marea dezbatere a timpului asupra conceptului de atom și moleculă: în a doua jumătate a secolului al XIX-lea a existat un dezacord considerabil cu privire la concretitatea atomilor și moleculelor sau dacă a fost necesar să le luăm în considerare. modele ideale utile numai în depanarea. Mai mult, a existat un dezacord în ceea ce privește dacă „moleculele chimice” (măsurate prin greutăți atomice) coincid sau nu cu „moleculele fizice” (măsurate prin teoria cinetică).

„Nimic nu poate ilustra mai bine ritmul pozitiv și frenetic al progresului decât ceea ce a făcut arta experimentatorilor în ultimii 20 de ani, în afară de faptul că, de atunci, au fost descoperite nu doar una, ci un număr mare de metode de măsurare masa unei molecule cu practic aceeași precizie obținută în măsurarea masei unei planete. "

( Max Planck )

În 2013, la Laboratoarele Naționale de Fizică de lângă Londra , a fost măsurată o valoare exactă a constantei lui Boltzmann utilizând rezonanțe de undă acustică și microunde pentru a determina viteza sonoră a unui gaz monatomic într-o cameră în formă de elipsoid triaxial. Noua valoare propusă 1.380 651 56 (98) × 10 ⁻²³ JK ⁻¹ este în așteptarea acceptării de către sistemul internațional de unități . ^[8]

Notă

^ ^a ^b Valoarea constantei Boltzmann
^(RO) IUPAC Gold Book, „Constanta Boltzmann”
^ Valoarea CODATA: constantă a gazului molar , pe physics.nist.gov . Adus pe 28 mai 2019 .
^ Paolo Silvestroni, Fundamentals of chemistry , ed. A X-a, CEA, 1996, p. 137 , ISBN 88-408-0998-8 .
^ Max Planck , Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum ( PDF ), în Annalen der Physik , vol. 309, nr. 3, 1901, pp. 553–63, Bibcode : 1901AnP ... 309..553P , DOI : 10.1002 / andp.19013090310 . . ".
^ Duplantier, Bertrand (2005). „Le mouvement brownien, 'divers et ondoyant'” Mișcare browniană, „diversă și ondulantă” (PDF). Séminaire Poincaré 1: 155–212
^ Planck, Max (2 iunie 1920), Geneza și starea actuală de dezvoltare a teoriei cuantice (Lectura Nobel)
^ Podesta, MD; Underwood, R. și colab. (2013). „O măsurare cu incertitudine scăzută a constantei Boltzmann”. Metrologie 50 (4): 354

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Constanta lui Boltzmann , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	GND ( DE ) 7635950-5

Portalul Termodinamicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de termodinamică

[codata-1] Valoarea constantei Boltzmann

[2] (RO) IUPAC Gold Book, „Constanta Boltzmann”

[3] Valoarea CODATA: constantă a gazului molar , pe physics.nist.gov . Adus pe 28 mai 2019 .

[Silv137-4] Paolo Silvestroni, Fundamentals of chemistry , ed. A X-a, CEA, 1996, p. 137 , ISBN 88-408-0998-8 .

[Planck01-5] Max Planck , Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum ( PDF ), în Annalen der Physik , vol. 309, nr. 3, 1901, pp. 553–63, Bibcode : 1901AnP ... 309..553P , DOI : 10.1002 / andp.19013090310 . . ".

[6] Duplantier, Bertrand (2005). „Le mouvement brownien, 'divers et ondoyant'” Mișcare browniană, „diversă și ondulantă” (PDF). Séminaire Poincaré 1: 155–212

[7] Planck, Max (2 iunie 1920), Geneza și starea actuală de dezvoltare a teoriei cuantice (Lectura Nobel)

[8] Podesta, MD; Underwood, R. și colab. (2013). „O măsurare cu incertitudine scăzută a constantei Boltzmann”. Metrologie 50 (4): 354

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]