Constructivismul matematic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În filosofia matematicii , constructivismul afirmă nevoia de a găsi sau de a construi un obiect matematic pentru a-și demonstra existența. Dacă o contradicție este derivată din presupunerea că un obiect cu anumite caracteristici nu există, obiectul în cauză nu a fost încă găsit și, prin urmare, conform constructivistilor, existența acestuia nu a fost dovedită.

Constructivismul este adesea confundat cu intuiționismul . Intuitionismul susține că bazele matematicii stau în intuiția individuală a matematicianului, făcând astfel matematica o activitate inerent subiectivă. Constructivismul nu afirmă acest lucru, ci dimpotrivă este în deplină consonanță cu o viziune obiectivă a matematicii.

Matematică constructivistă

Matematica constructivistă folosește logica constructivistă , care identifică îndeaproape adevărul cu probabilitatea . A dovedi constructiv trebuie să se demonstreze cel puțin una dintre cele două propoziții Și . Pentru a demonstra constructiv trebuie identificat un anume împreună cu o demonstrație de . Pentru a demonstra constructiv trebuie prezentat un algoritm care să ia în considerare pe oricine și emite o demonstrație de .

Constructivismul respinge, de asemenea, utilizarea obiectelor infinite , cum ar fi mulțimi și secvențe infinite.

Exemplu din analiza reală

În analiza reală clasică, o procedură pentru construirea unui număr real utilizează o pereche de secvențe Cauchy de numere raționale . Această construcție nu este acceptată de matematica constructivistă, deoarece secvențele sunt entități infinite.

În schimb, este legitim să se reprezinte un număr real ca algoritm care a citit un întreg pozitiv , este capabil să producă o pereche de raționale astfel încât

astfel încât pe măsură ce crește , intervalul devin mai înguste și intersecția dintre cele dintâi dintre aceste intervale nu este gol. Algoritmul poate fi folosit pentru a calcula aproximări raționale cât mai aproape de numărul real care urmează să fie reprezentat.

Cu o astfel de definiție constructivistă, numărul real poate fi reprezentat printr-un algoritm care calculează pentru fiecare cel mai mare astfel încât și apoi emite perechea .

Această definiție corespunde definiției clasice care folosește secvențe Cauchy, cu excepția cerinței ca secvențele să fie constructive: adică un algoritm este disponibil pentru calculul -al elementul secvenței și, prin urmare, un algoritm capabil să calculeze o aproximare rațională cât de exactă doriți .

Trebuie remarcat faptul că solicitarea constructivă face ca definiția anterioară să fie incompatibilă cu definițiile obișnuite non-constructive ale numerelor reale: deoarece fiecare algoritm trebuie neapărat prezentat printr-o secvență finită peste un set finit de instrucțiuni , atunci există o funcție bijectivă . Prin urmare, mulțimea tuturor algoritmilor are aceeași cardinalitate ca mulțimea numerelor naturale. Folosind argumente non-constructive , argumentul diagonal al lui Cantor demonstrează că mulțimea numerelor reale are o cardinalitate mai mare decât numerele naturale.

Atitudinea matematicienilor

Matematicienii militanți în mod tradițional au fost suspicioși, dacă nu chiar antagonici, cu privire la constructivismul matematic; acest lucru se datorează în mare măsură limitărilor pe care această atitudine le impune analizei constructive.

Aceste opinii au fost puternic exprimate de David Hilbert în 1928 , când în Die Grundlagen der Mathematik a scris „Eliminarea principiului terțului exclus pentru matematician ar fi aceeași cu, ca să spunem așa, interzicerea utilizării telescopului la astronom sau folosirea pumnilor pe boxer ". (Tradus din intrarea matematică-constructivă a Enciclopediei de filosofie Stanford .) Într-adevăr,principiul terțului exclus nu este valabil în logica constructivistă .

Errett Bishop , în lucrarea sa din 1967 Fundamentele analizei constructive , a lucrat pentru a risipi aceste temeri dezvoltând un vast corp de rezultate tradiționale de analiză într-un cadru constructiv. Cu toate acestea, nu toți matematicienii consideră că opera lui Bishop este dovadă, deoarece expunerea sa este neapărat mai complicată decât cea găsită în textele clasice de analiză. În orice caz, majoritatea matematicienilor nu văd necesitatea de a se forța să urmeze metode constructiviste, chiar dacă consideră legitim că sunt practicați.

Matematicieni care au contribuit la constructivism

Ramuri ale matematicii constructiviste

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității GND ( DE ) 4165105-4
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică