Clădirea Poinsot

Construcția Poinsot , numită după matematicianul și fizicianul francez Louis Poinsot , este o metodă geometrică pentru descrierea dinamicii de rotație a unui corp rigid în absența momentelor externe. Această construcție evidențiază analogia dintre rotația fizică a corpului examinat și cea a unui elipsoid care se rostogolește fără să se târască pe o suprafață tangentă .

Elipsoidul Poinsot

Elipsoidul de inerție al unui corp rigid poate fi scris prin forma pătratică

\mathbf {x} {\bar {I}}\mathbf {x}

{\ displaystyle \ mathbf {x} {\ bar {I}} \ mathbf {x}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} {\ bar {I}} \ mathbf {x}}

unde este ${\bar {I}}$ ${\ displaystyle {\ bar {I}}}$ ${\ bar {I}}$ este tensorul de inerție al corpului.

Acum ia în considerare un plan $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ tangent la elipsoid.

Energia cinetică de rotație, de asemenea conservată, poate fi scrisă în felul următor:

2E=\mathbf {\Omega } I\mathbf {\Omega }

{\ displaystyle 2E = \ mathbf {\ Omega} I \ mathbf {\ Omega}}

{\ displaystyle 2E = \ mathbf {\ Omega} I \ mathbf {\ Omega}}

unde este $\mathbf {\Omega }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega}}$ este viteza unghiulară de rotație a corpului.

Comparând cele două expresii, obținem

\mathbf {x} ={\frac {\Omega }{\sqrt {2E}}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ frac {\ Omega} {\ sqrt {2E}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ frac {\ Omega} {\ sqrt {2E}}}}

În plus, $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este ortogonală față de vectorul momentului unghiular al corpului. Intr-adevar

\nabla (\mathbf {x} I\mathbf {x} )=2I\mathbf {x} ={\frac {2\mathbf {{\bar {I}}\mathbf {\Omega } } }{\sqrt {2E}}}={\frac {{\sqrt {2}}\mathbf {L} }{\sqrt {E}}}

{\ displaystyle \ nabla (\ mathbf {x} I \ mathbf {x}) = 2I \ mathbf {x} = {\ frac {2 \ mathbf {{\ bar {I}} \ mathbf {\ Omega}}} { \ sqrt {2E}}} = {\ frac {{\ sqrt {2}} \ mathbf {L}} {\ sqrt {E}}}}

{\ displaystyle \ nabla (\ mathbf {x} I \ mathbf {x}) = 2I \ mathbf {x} = {\ frac {2 \ mathbf {{\ bar {I}} \ mathbf {\ Omega}}} { \ sqrt {2E}}} = {\ frac {{\ sqrt {2}} \ mathbf {L}} {\ sqrt {E}}}}

unde s-a folosit relația cunoscută $\mathbf {L} ={\bar {I}}\mathbf {\Omega }$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ bar {I}} \ mathbf {\ Omega}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} = {\ bar {I}} \ mathbf {\ Omega}}$ .

Prin urmare, deoarece gradientul elipsoidului este normal față de planul tangent din punct $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ și paralel cu impulsul unghiular, rezultă că $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ $\ mathbf {L}$ este ortogonală la $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

Acum, distanța $h$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle h}$ a centrului de masă din planul tangent este egal cu proiecția distanței dintre centru și punctul de tangență de-a lungul vectorului momentului unghiular și, prin urmare, este dat de produsul scalar

h=\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {L}} ={\frac {\mathbf {\Omega } \cdot \mathbf {L} }{L{\sqrt {2E}}}}={\frac {2\mathbf {L} }{\sqrt {2E}}}

{\ displaystyle h = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {L}} = {\ frac {\ mathbf {\ Omega} \ cdot \ mathbf {L}} {L {\ sqrt {2E}}} } = {\ frac {2 \ mathbf {L}} {\ sqrt {2E}}}}

{\ displaystyle h = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {\ hat {L}} = {\ frac {\ mathbf {\ Omega} \ cdot \ mathbf {L}} {L {\ sqrt {2E}}} } = {\ frac {2 \ mathbf {L}} {\ sqrt {2E}}}}

În virtutea conservării energiei și a momentului unghiular, această cantitate rămâne constantă în timpul mișcării, deci planul $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ e reparat.

În cele din urmă, punctul de tangență este pe axa de rotație, deci are viteză zero. Prin urmare, elipsoidul se rostogolește fără să se târască.

Curbele descrise de punctul de tangență pe elipsoid și pe plan pot fi utilizate pentru parametrizarea dinamicii corpului rigid. În special, mișcarea poate fi descrisă prin două coordonate curvilinee asociate cu aceste traiectorii.

Mișcarea este periodică dacă unghiul descris de punctul de tangență pe plan în timpul necesar pentru a finaliza o rotație completă a elipsoidului este proporțional cu $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$

Construcția elipsoidului

Să luăm în considerare un punct $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ oricare din interiorul unui corp rigid și presupunem un sistem de referință cu trei axe ( $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ ${\ displaystyle x, y, z}$ ) în $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , integral pentru corp.

Versorul $\mathbf {\hat {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u}}}$ se obține axa de rotație

\mathbf {\hat {u}} =\alpha \mathbf {\hat {i}} +\beta \mathbf {\hat {j}} +\gamma \mathbf {\hat {k}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u}} = \ alpha \ mathbf {\ hat {i}} + \ beta \ mathbf {\ hat {j}} + \ gamma \ mathbf {\ hat {k}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u}} = \ alpha \ mathbf {\ hat {i}} + \ beta \ mathbf {\ hat {j}} + \ gamma \ mathbf {\ hat {k}}}

Unde este $\alpha ,\beta ,\gamma$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$ sunt cosinusul director al axei.

Să luăm un punct $\mathbf {P_{i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P_ {i}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {P_ {i}}}$ a corpului îndepărtat $|\mathbf {r_{i}} |$ ${\ displaystyle | \ mathbf {r_ {i}} |}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {r_ {i}} |}$ din $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$

\mathbf {OP_{i}} =\mathbf {r_{i}} =x_{i}\mathbf {\hat {i}} +y_{i}\mathbf {\hat {j}} +z_{i}\mathbf {\hat {k}}

{\ displaystyle \ mathbf {OP_ {i}} = \ mathbf {r_ {i}} = x_ {i} \ mathbf {\ hat {i}} + y_ {i} \ mathbf {\ hat {j}} + z_ {i} \ mathbf {\ hat {k}}}

{\ displaystyle \ mathbf {OP_ {i}} = \ mathbf {r_ {i}} = x_ {i} \ mathbf {\ hat {i}} + y_ {i} \ mathbf {\ hat {j}} + z_ {i} \ mathbf {\ hat {k}}}

și ia în considerare distanța sa $R_{i}$ ${\ displaystyle R_ {i}}$ ${\ displaystyle R_ {i}}$ de pe axa de rotație

R_{i}=|\mathbf {\hat {u}} \times \mathbf {r_{i}} |=(\beta z_{i}-\gamma y_{i})\mathbf {\hat {i}} +(\gamma x_{i}-\alpha z_{i})\mathbf {\hat {j}} +(\alpha y_{i}-\beta x_{i})\mathbf {\hat {k}}

{\ displaystyle R_ {i} = | \ mathbf {\ hat {u}} \ times \ mathbf {r_ {i}} | = (\ beta z_ {i} - \ gamma y_ {i}) \ mathbf {\ hat {i}} + (\ gamma x_ {i} - \ alpha z_ {i}) \ mathbf {\ hat {j}} + (\ alpha y_ {i} - \ beta x_ {i}) \ mathbf {\ hat {k}}}

{\ displaystyle R_ {i} = | \ mathbf {\ hat {u}} \ times \ mathbf {r_ {i}} | = (\ beta z_ {i} - \ gamma y_ {i}) \ mathbf {\ hat {i}} + (\ gamma x_ {i} - \ alpha z_ {i}) \ mathbf {\ hat {j}} + (\ alpha y_ {i} - \ beta x_ {i}) \ mathbf {\ hat {k}}}

Apoi momentul de inerție $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ a corpului în raport cu axa de rotație va fi

I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{R_{i}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {\hat {u}} \times \mathbf {r_{i}} )^{2}

{\ displaystyle I = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {R_ {i}} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (\ mathbf {\ hat {u}} \ times \ mathbf {r_ {i}}) ^ {2}}

{\ displaystyle I = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {R_ {i}} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} (\ mathbf {\ hat {u}} \ times \ mathbf {r_ {i}}) ^ {2}}

I=I_{x}\alpha ^{2}+I_{y}\beta ^{2}+I_{z}\gamma ^{2}-2I_{xy}\alpha \beta -2I_{yz}\beta \gamma -2I_{zx}\gamma \alpha

{\ displaystyle I = I_ {x} \ alpha ^ {2} + I_ {y} \ beta ^ {2} + I_ {z} \ gamma ^ {2} -2I_ {xy} \ alpha \ beta -2I_ {yz } \ beta \ gamma -2I_ {zx} \ gamma \ alpha}

{\ displaystyle I = I_ {x} \ alpha ^ {2} + I_ {y} \ beta ^ {2} + I_ {z} \ gamma ^ {2} -2I_ {xy} \ alpha \ beta -2I_ {yz } \ beta \ gamma -2I_ {zx} \ gamma \ alpha}

unde este

I_{x}=\sum _{n=1}^{n}m_{i}(y_{i}^{2}+z_{i}^{2})

{\ displaystyle I_ {x} = \ sum _ {n = 1} ^ {n} m_ {i} (y_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2})}

{\ displaystyle I_ {x} = \ sum _ {n = 1} ^ {n} m_ {i} (y_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2})}

;

I_{y}=\sum _{n=1}^{n}m_{i}(x_{i}^{2}+z_{i}^{2})

{\ displaystyle I_ {y} = \ sum _ {n = 1} ^ {n} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2})}

{\ displaystyle I_ {y} = \ sum _ {n = 1} ^ {n} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + z_ {i} ^ {2})}

;

I_{z}=\sum _{n=1}^{n}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})

{\ displaystyle I_ {z} = \ sum _ {n = 1} ^ {n} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2})}

{\ displaystyle I_ {z} = \ sum _ {n = 1} ^ {n} m_ {i} (x_ {i} ^ {2} + y_ {i} ^ {2})}

sunt, respectiv, momentele de inerție față de axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ; in timp ce

I_{xy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}y_{i}

{\ displaystyle I_ {xy} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} x_ {i} y_ {i}}

{\ displaystyle I_ {xy} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} x_ {i} y_ {i}}

;

I_{yz}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}z_{i}

{\ displaystyle I_ {yz} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} y_ {i} z_ {i}}

{\ displaystyle I_ {yz} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} y_ {i} z_ {i}}

;

I_{zx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}x_{i}

{\ displaystyle I_ {zx} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} z_ {i} x_ {i}}

{\ displaystyle I_ {zx} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} z_ {i} x_ {i}}

se numesc produse de inerție .

Acum să luăm în considerare distanța $d={\frac {1}{\sqrt {I}}}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {1} {\ sqrt {I}}}}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {1} {\ sqrt {I}}}}$ pe axa de rotație, coordonatele vor fi date de

x={\frac {\alpha }{\sqrt {I}}}

{\ displaystyle x = {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {I}}}}

{\ displaystyle x = {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {I}}}}

;

y={\frac {\beta }{\sqrt {I}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {\ beta} {\ sqrt {I}}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {\ beta} {\ sqrt {I}}}}

;

z={\frac {\gamma }{\sqrt {I}}}

{\ displaystyle z = {\ frac {\ gamma} {\ sqrt {I}}}}

{\ displaystyle z = {\ frac {\ gamma} {\ sqrt {I}}}}

Prin înlocuirea coordonatelor în momentul inerției obținem rezultatul final

I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}-2I_{xy}xy-2I_{yz}yz-2I_{zx}zx=1

{\ displaystyle I_ {x} x ^ {2} + I_ {y} y ^ {2} + I_ {z} z ^ {2} -2I_ {xy} xy-2I_ {yz} yz-2I_ {zx} zx = 1}

{\ displaystyle I_ {x} x ^ {2} + I_ {y} y ^ {2} + I_ {z} z ^ {2} -2I_ {xy} xy-2I_ {yz} yz-2I_ {zx} zx = 1}

care corespunde unui elipsoid în spațiu, centrat în punct $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ .

Datorită acestui elipsoid este posibil să se calculeze momentul de inerție al oricărei axe de rotație în raport cu un punct $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ a corpului, indiferent de formă sau distribuția masei. Luând linia unei axe de rotație care trece prin $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ și calcularea distanței de la $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ la intersecția cu conica obținem ${\frac {1}{\sqrt {\bar {I}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\ bar {I}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\ bar {I}}}}}$ , unde este ${\bar {I}}$ ${\ displaystyle {\ bar {I}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {I}}}$ va fi momentul de inerție pentru acea axă.

Bibliografie

Vladimir Igorevič Arnold , Metode matematice ale mecanicii clasice , Roma, Editori Riuniti University Press, 2010, pp. 145–148.
Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro și Cesare Voci, Fizică - Volumul I , ediția a II-a, EdiSES, ISBN 88-7959-137-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

[1] Un simulator 3D al dinamicii corpului rigid. Este posibilă vizualizarea elipsoidului Poinsot cu traiectoriile relative.

Portalul de fizică

Portalul de matematică

Portal mecanic