Covarianță (probabilitate)

În statistici și teoria probabilității , covarianța a două variabile statistice sau variabile aleatorii este o valoare numerică care oferă o măsură a cât de mult variază împreună sau a dependenței lor.

Şansă

Definiție

Covarianța a două variabile aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este valoarea așteptată a produselor la distanța lor față de medie:

\mathrm {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}(Y-\mathbb {E} [Y]{\big )}{\Big ]}.

{\ displaystyle \ mathrm {Cov} (X, Y) = \ mathbb {E} {\ Big [} {\ big (} X- \ mathbb {E} [X] {\ big)} (Y- \ mathbb { E} [Y] {\ big)} {\ Big]}.}

{\ mathrm {Cov}} (X, Y) = {\ mathbb {E}} {\ Big [} {\ big (} X - {\ mathbb {E}} [X] {\ big)} (Y- {\ mathbb {E}} [Y] {\ big)} {\ Big]}.

Covarianța $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ poate fi, de asemenea, exprimat ca diferența dintre valoarea așteptată a produsului lor și produsul valorilor așteptate:

\mathrm {Cov} (X,Y)=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].

{\ displaystyle \ mathrm {Cov} (X, Y) = \ mathbb {E} [XY] - \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [Y].}

{\ mathrm {Cov}} (X, Y) = {\ mathbb {E}} [XY] - {\ mathbb {E}} [X] {\ mathbb {E}} [Y].

De fapt, pentru liniaritatea valorii așteptate rezultă

\mathbb {E} {\Big [}XY-X\mathbb {E} [Y]-\mathbb {E} [X]Y+\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]{\Big ]}=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]+\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Big [} XY-X \ mathbb {E} [Y] - \ mathbb {E} [X] Y + \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [Y ] {\ Big]} = \ mathbb {E} [XY] - \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [Y] - \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [Y] + \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [Y] = \ mathbb {E} [XY] - \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [Y].}

{\ mathbb {E}} {\ Big [} XY-X {\ mathbb {E}} [Y] - {\ mathbb {E}} [X] Y + {\ mathbb {E}} [X] {\ mathbb {E}} [Y] {\ Big]} = {\ mathbb {E}} [XY] - {\ mathbb {E}} [X] {\ mathbb {E}} [Y] - {\ mathbb { E}} [X] {\ mathbb {E}} [Y] + {\ mathbb {E}} [X] {\ mathbb {E}} [Y] = {\ mathbb {E}} [XY] - { \ mathbb {E}} [X] {\ mathbb {E}} [Y].

Proprietate

Covarianța respectă următoarele proprietăți, pentru variabilele aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ , și constante $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ :

${\text{Cov}}(X,Y)={\text{Cov}}(Y,X)\$ ${\ displaystyle {\ text {Cov}} (X, Y) = {\ text {Cov}} (Y, X) \}$ ${\ text {Cov}} (X, Y) = {\ text {Cov}} (Y, X) \$
${\text{Cov}}(aX+b,Y)=a{\text{Cov}}(X,Y)\$ ${\ displaystyle {\ text {Cov}} (aX + b, Y) = a {\ text {Cov}} (X, Y) \}$ ${\ text {Cov}} (aX + b, Y) = a {\ text {Cov}} (X, Y) \$
${\text{Cov}}(X+Y,Z)={\text{Cov}}(X,Z)+{\text{Cov}}(Y,Z)\$ ${\ displaystyle {\ text {Cov}} (X + Y, Z) = {\ text {Cov}} (X, Z) + {\ text {Cov}} (Y, Z) \}$ ${\ text {Cov}} (X + Y, Z) = {\ text {Cov}} (X, Z) + {\ text {Cov}} (Y, Z) \$

Două variabile aleatoare independente au covarianță zero, deoarece rezultă din independența lor

\mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].

{\ displaystyle \ mathbb {E} [XY] = \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [Y].}

{\ displaystyle \ mathbb {E} [XY] = \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [Y].}

Două variabile aleatorii care au covarianță zero sunt necorelate .

Două variabile aleatoare dependente pot fi necorelate. De exemplu, dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o variabilă aleatorie a legii uniforme a intervalului $[-1,1]$ ${\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ Și $Y=X^{2}$ ${\ displaystyle Y = X ^ {2}}$ ${\ displaystyle Y = X ^ {2}}$ , asa de

\textstyle {\text{Cov}}(X,Y)={\text{Cov}}(X,X^{2})=\mathbb {E} [X^{3}]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X^{2}]=0-0\mathbb {E} [X^{2}]=0.

{\ displaystyle \ textstyle {\ text {Cov}} (X, Y) = {\ text {Cov}} (X, X ^ {2}) = \ mathbb {E} [X ^ {3}] - \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [X ^ {2}] = 0-0 \ mathbb {E} [X ^ {2}] = 0.}

{\ displaystyle \ textstyle {\ text {Cov}} (X, Y) = {\ text {Cov}} (X, X ^ {2}) = \ mathbb {E} [X ^ {3}] - \ mathbb {E} [X] \ mathbb {E} [X ^ {2}] = 0-0 \ mathbb {E} [X ^ {2}] = 0.}

Varianța

Covarianța poate fi considerată o generalizare a varianței

{\text{Var}}(X)={\text{Cov}}(X,X)\

{\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = {\ text {Cov}} (X, X) \}

{\ text {Var}} (X) = {\ text {Cov}} (X, X) \

și apare ca termen de corecție în raport

{\text{Var}}(X+Y)={\text{Var}}(X)+{\text{Var}}(Y)+2{\text{Cov}}(X,Y).

{\ displaystyle {\ text {Var}} (X + Y) = {\ text {Var}} (X) + {\ text {Var}} (Y) +2 {\ text {Cov}} (X, Y ).}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (X + Y) = {\ text {Var}} (X) + {\ text {Var}} (Y) +2 {\ text {Cov}} (X, Y ).}

Mai general, pentru variabilele aleatorii $X_{1},\ldots ,X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$ $X_ {1}, \ ldots, X_ {n}$ Și $Y_{1},\ldots ,Y_{m}$ ${\ displaystyle Y_ {1}, \ ldots, Y_ {m}}$ ${\ displaystyle Y_ {1}, \ ldots, Y_ {m}}$ merita

\textstyle {\text{Var}}(\sum _{i}X_{i})={\text{Cov}}(\sum _{i}X_{i},\sum _{j}X_{j})=\sum _{i,j}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j})=\sum _{i}{\text{Var}}(X_{i})+2\sum _{i>j}{\text{Cov}}(X_{i},X_{j}),

{\ displaystyle \ textstyle {\ text {Var}} (\ sum _ {i} X_ {i}) = {\ text {Cov}} (\ sum _ {i} X_ {i}, \ sum _ {j} X_ {j}) = \ sum _ {i, j} {\ text {Cov}} (X_ {i}, X_ {j}) = \ sum _ {i} {\ text {Var}} (X_ {i }) + 2 \ sum _ {i> j} {\ text {Cov}} (X_ {i}, X_ {j}),}

{\ displaystyle \ textstyle {\ text {Var}} (\ sum _ {i} X_ {i}) = {\ text {Cov}} (\ sum _ {i} X_ {i}, \ sum _ {j} X_ {j}) = \ sum _ {i, j} {\ text {Cov}} (X_ {i}, X_ {j}) = \ sum _ {i} {\ text {Var}} (X_ {i }) + 2 \ sum _ {i> j} {\ text {Cov}} (X_ {i}, X_ {j}),}

ca un caz special al

\textstyle {\text{Cov}}\left(\sum _{i}X_{i},\sum _{j}Y_{j}\right)=\sum _{i,j}{\text{Cov}}(X_{i},Y_{j}).

{\ displaystyle \ textstyle {\ text {Cov}} \ left (\ sum _ {i} X_ {i}, \ sum _ {j} Y_ {j} \ right) = \ sum _ {i, j} {\ text {Cov}} (X_ {i}, Y_ {j}).}

{\ displaystyle \ textstyle {\ text {Cov}} \ left (\ sum _ {i} X_ {i}, \ sum _ {j} Y_ {j} \ right) = \ sum _ {i, j} {\ text {Cov}} (X_ {i}, Y_ {j}).}

Statistici

În statistici, covarianța a două variabile statistice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , indicat ca $\textstyle \sigma _{X,Y}={\text{Cov}}(X,Y)$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sigma _ {X, Y} = {\ text {Cov}} (X, Y)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sigma _ {X, Y} = {\ text {Cov}} (X, Y)}$ , este un indice de variabilitate articulară.

Dintr - o populație de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ observații comune $(x_{i},y_{i})$ ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ $(x_i, y_i)$ , a mediilor respective ${\bar {x}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ bar {x}}$ Și ${\bar {y}}$ ${\ displaystyle {\ bar {y}}}$ ${\ bar {y}}$ , covarianța observată este

\sigma _{X,Y}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}y_{i}-\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}\right).

{\ displaystyle \ sigma _ {X, Y} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i} - {\ bar {x}}) (y_ {i} - {\ bar {y}}) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} y_ {i} - \ left ({\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} \ right) \ left ({\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N } y_ {i} \ right).}

{\ displaystyle \ sigma _ {X, Y} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i} - {\ bar {x}}) (y_ {i} - {\ bar {y}}) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} y_ {i} - \ left ({\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i} \ right) \ left ({\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N } y_ {i} \ right).}

Un estimator al covarianței pe un eșantion de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ observații comune $(x_{i},y_{i})$ ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ $(x_i, y_i)$ Și

s_{X,Y}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{n-1}}-{\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n-1}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}y_{i}}{n}}.

{\ displaystyle s_ {X, Y} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}} {n-1}} - {\ frac {\ sum _ { i = 1} ^ {n} x_ {i}} {n-1}} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i}} {n}}.}

{\ displaystyle s_ {X, Y} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}} {n-1}} - {\ frac {\ sum _ { i = 1} ^ {n} x_ {i}} {n-1}} {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i}} {n}}.}

Varianța și covarianța intervin pentru a defini indicele de corelație Bravais-Pearson

\rho _{X,Y}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-{\bar {x}})(y_{i}-{\bar {y}})}{\sqrt {\sum _{j}(x_{j}-{\bar {x}})^{2}\sum _{k}(y_{k}-{\bar {y}})^{2}}}}={\frac {{\text{Cov}}(X,Y)}{\sqrt {{\text{Var}}(X){\text{Var}}(Y)}}}

{\ displaystyle \ rho _ {X, Y} = {\ frac {\ sum _ {i} (x_ {i} - {\ bar {x}}) (y_ {i} - {\ bar {y}}) } {\ sqrt {\ sum _ {j} (x_ {j} - {\ bar {x}}) ^ {2} \ sum _ {k} (y_ {k} - {\ bar {y}}) ^ {2}}}} = {\ frac {{\ text {Cov}} (X, Y)} {\ sqrt {{\ text {Var}} (X) {\ text {Var}} (Y)}} }}

\ rho _ {{X, Y}} = {\ frac {\ sum _ {i} (x_ {i} - {\ bar {x}}) (y_ {i} - {\ bar {y}})} {{\ sqrt {\ sum _ {j} (x_ {j} - {\ bar {x}}) ^ {2} \ sum _ {k} (y_ {k} - {\ bar {y}}) ^ {2}}}}} = {\ frac {{\ text {Cov}} (X, Y)} {{\ sqrt {{\ text {Var}} (X) {\ text {Var}} (Y) }}}}

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Covariance , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 47720

Portalul de matematică

Portal de știință și tehnologie

Portalul de statistici

V · D · M Statistici
Statisticile descriptive	Medii ( aritmetice · geometrice · armonioase · Putere · aritmetice și geometrice · Integrale ) · Mediană · Modă · interval de variație · varianță · Deviație standard · deviație absolută medie · Simetrie · Diferență medie ( absolută · logaritmică ) · Curtosi
Inferință statistică	Test de testare a ipotezelor · Semnificație · Ipoteză nulă / alternativă · Eroare I și tip II · Test Q · U test · Test t · Z Test · Probabilitate maximă · Standardizare · valoare p · Analiza variației
Analiza supraviețuirii	Rata de eșec · Estimatorul Kaplan-Meier · jurnalul de testare
Analiza regresiei	Regresie liniară · Regresie neliniară · variabile instrumentale · metodă generalizată a momentelor · Regresie logistică · Model probit · Model logit

V · D · M Concepte fundamentale de metrologie, statistici și metodologie de cercetare
Definiții de bază	Măsurarea Probabilitate Măsurarea fizică proprietate fizică Cantitatea Parametru statistice Populația adevărata valoare Exemplu de măsurare Precizie Precizia Repetabilitatea Reproductibilitatea Semnificația Toleranță Sensibilitate Rezoluție ( Lateral Rezoluție ) Homoskedasticity Heteroskedasticity statistice Ipoteză · Nul ipoteza · Apropierea · semnificativă figura · variabilă aleatoare · Normalizarea · Standardizare
Eroare de manipulare	Măsurarea incertitudinii de măsurare de eroare sistematică eroare statistică de eroare Sensibilitate eroare de rezultate fals negative fals pozitive absolută de eroare de eroare relativă Eroare de propagare Bias
Minimizarea erorilor	Analitică Calibrare Calibrare Calibrare Raport semnal / zgomot Comparare interlaboratorie Calitatea datelor anterioare
Prelevarea de probe	Spațiul de eșantionare Eșantionarea statistică Eșantionarea planului Eșantionarea motivată Eșantionarea la cota Eșantionarea aleatorie ( Eșantionarea sistematică Eșantionarea stratificată Eșantionarea în cluster Eșantionarea în mai multe etape ) Eșantionarea probabilistică
Parametrii de variație	Varianță · Covarianță · Deviație standard · Devianță · Interval dinamic · Coeficient de variație
Test	Testarea ipotezei ( Test parametric · Test non-parametric ) · Interval de încredere · valoarea p