Criterii de convergență

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea criteriilor de convergență ale Uniunii Europene , consultați parametrii de la Maastricht .

În analiza matematică , criteriile de convergență pentru serii sunt condiții suficiente pentru determinarea caracterului seriei.

Seria cu termeni concordanți

Primul criteriu de comparație

Să luăm în considerare două serii cu termeni non-negativi Și astfel încât :

  • dacă majorantul converge, minoritatea este convergentă;
  • dacă minoritatea divergă, majorantul divergă.

Acest criteriu este utilizat pentru a demonstra că seria armonică generalizată este divergentă pentru α ≤ 1.

Demonstrație

Având în vedere succesiunea sumelor parțiale din , unde este crește monoton: .

La fel cu succesiunea unor sume parțiale de : .

Avem asta: , unde nu se poate exclude faptul că și extremele superioare își pot asuma valoarea .

Ceea ce se afirmă în criteriu urmează imediat.

Al doilea criteriu de comparație sau comparație asimptotică

Dați două serii unor termeni pozitivi Și

de sine este convergent și , unde este există și este terminat atunci este convergent;

de sine este divergent și (de asemenea ), asa de este divergent.

Criteriul de comparație asimptotică este util pentru a arăta că seria armonică generalizată este convergentă pentru .

Demonstrație

De cand , prin definiția limitei de succesiune avem că:

dacă iau , atunci am: , care poate fi rescris: .

Prin urmare din moment ce converge, de asemenea Și converg, de asemenea, în consecință converge.

În mod similar pentru divergent.

Comparație cu seria geometrică: criterii derivate și estimarea restului

Pentru a aplica direct criteriile de comparație, trebuie luate în considerare două serii, dintre care una are un caracter cunoscut (adică se știe dacă converge sau nu), în timp ce cealaltă are un caracter care trebuie evaluat pe baza comparației. Una dintre cele două serii acționează, așadar, ca o serie de referință.

Dar dacă ca serie de referință reparăm o anumită serie și comparăm o serie generică cu seria fixă, atunci - după fixarea uneia dintre serii - criteriul comparației este redus la condiții în termeni . Se obțin astfel o serie de criterii derivate, care se referă în mod explicit la o singură serie al cărei caracter urmează să fie stabilit, dar care totuși „implică” o comparație cu seria de referință stabilită. Atunci când se aplică aceste criterii, este important să rețineți care este seria „implicită”, deoarece, evident, estimarea criteriului derivat nu poate fi mai rafinată decât cea care ar fi obținută dintr-o comparație directă a seriei studiate cu cea de referință.

Una dintre cele mai utile serii ca serie de referință pentru comparație este seria geometrică, adică succesiunea sumelor parțiale ale puterilor unui argument dat:

Prin aplicarea criteriilor de comparație la comparația cu această serie, se pot obține următoarele criterii derivate:

Criteriul rădăcină (sau Cauchy)

Să luăm în considerare o serie cu termeni non-negativi pentru care există o limită .

Personajul seriei este:

  • convergent dacă
  • divergent dacă
  • caracterul seriei nu poate fi stabilit
Demonstrație

Doar observați că dacă atunci putem seta un între și 1 astfel încât pentru toți mai mare decât un anumit suficient de mari termenii secvenței sunt mai mici decât :

Înălțarea pentru obținem astfel:

Apoi aplicând criteriul comparației dintre serii iar seria geometrică avem că seria converge.

De sine atunci există astfel încât pentru fiecare da ai de la care . De cand seria nu tinde la 0

divergă.

Exemplu

Să stabilim caracterul seriei:

.

Aplicând criteriul rădăcină avem:

.

Dar

după cum se poate deduce cu ușurință trecând la logaritm:

Prin urmare de sine seria converge, în timp ce dacă seria divergă.

Pentru seria devine seria armonică generalizată cu care divergă dacă și converge dacă .

Criteriul raportului (sau al lui d'Alembert)

Să luăm în considerare o serie cu termeni pozitivi astfel încât limita să existe . Această serie:

  • converge, dacă ;
  • divergă, dacă ;
  • are un comportament care nu poate fi stabilit prin acest criteriu, dacă .
Demonstrație [1]

Cazul I

De sine , putem seta un număr astfel încât, pentru toți mai mare decât un anumit suficient de mare, raportul dintre doi termeni succesivi este mai mic decât .

de la care:

Întrucât această relație este valabilă pentru toți mai mult decât , pornind de la un termen generic putem lucra înapoi până la :

Dacă nu este o constantă multiplicativă (amintiți-vă că este un număr), secvența rezultă minoritatea succesiunii puterilor de , care este convergent, fiind . În consecință, pentru primul criteriu al comparației , seria de converge.

Cazul II

Fiind , ia în considerare un număr . Există atunci o valoare astfel încât

adică

și în mod similar

...

Coada seriei de este mai mare decât o serie geometrică care este corectă și care este, prin urmare, divergent:

În consecință, folosind primul criteriu al comparației , și seria este divergent.

Estimarea restului

Comparația cu seria geometrică face deosebit de ușoară evaluarea „restului”, adică eroarea făcută prin calcularea sumei unei serii, oprindu-se la -al doilea termen:

De fapt, să presupunem că avem o serie astfel încât dă o anumită în continuare termenii sunt mai mici decât termenii unei serii geometrice de argumente astfel încât dacă nu o constantă multiplicativă :

Atunci nu doar seria converge, dar avem și:

Această expresie simplifică și mai mult în cazul în care comparația seriei cu seria geometrică se obține prin intermediul criteriului raportului. În acest caz, de fapt, așa cum se arată în dovadă, există o anumită constantă și un anumit întreg suficient de mare încât:

Prin urmare, putem aplica formula pentru restul găsit anterior, cu constanta multiplicativă , obținând:

Prin urmare, în cazurile în care se aplică criteriul relației, restul -alea din seria de estimat este limitată, cu excepția cazului în care este o constantă multiplicativă, de către -al doilea termen al seriei. Aceasta este o relație foarte importantă pentru seria de funcții.

Criteriul lui Raabe

Să luăm în considerare o serie în termeni pozitivi, pentru care există o limită ;

de sine seria converge, în timp ce dacă seria divergă; de sine criteriul nu ajută la clarificarea comportamentului său.

Demonstrație

Demonstrăm divergența

De cand prin definiția limitei secvențelor vom avea:

Făcând câțiva pași simpli veți obține:

acest lucru este valabil pentru .

din aceasta pot scrie:

unde este:

Pentru că acesta din urmă este o serie armonică înmulțită cu o constantă.

Mai mult, pentru criteriul de comparație se pare că

CVD

Criteriul de condensare cauchy

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: criteriul de condensare Cauchy .

De sine este o secvență pozitivă care nu crește, seria

converge dacă și numai dacă converge seria

Criteriu integral

Luați în considerare un număr întreg și o funcție continuă non-negativă definit pe intervalul nelimitat , în care scade monoton . Apoi seria

converge la un număr real dacă și numai dacă integralul este necorespunzător

s-a terminat.

Observație: dacă integrala necorespunzătoare este finită, atunci metoda dă și un majorant și o minoritate

pentru serie.

Demonstrație

Dovada folosește teorema comparației dintre termen cu integralul lui pe intervale Și , respectiv.

Atâta timp cât scade, știm asta

Și

Prin urmare, pentru fiecare număr întreg ,

și, pentru fiecare număr întreg ,

Din suma pe toate din la un număr întreg major , se deduce din inegalitățile anterioare că

Și

Combinând rezultatele pe care le avem

Încordarea până la infinit, urmează atât teorema, cât și estimarea valorii seriei.

Seria în termeni discordanți

Criteriul de convergență absolută

Având în vedere o serie , se spune că este absolut convergent dacă converge.

Teorema

Dacă o serie este absolut convergentă, este și ea pur și simplu convergentă .

Demonstrație

Este o serie.

Sa luam in considerare ; ipotetic, converge. Atunci
( condiția Cauchy din serie trebuie să fie îndeplinită)

(seria de module nu este niciodată negativă)

(reducere prin inegalitate triunghiulară : suma modulelor este mai mare decât modulul sumei)

.

CVD

Criteriul Leibniz

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: criteriul lui Leibniz .

Seriile cu termeni de semn alternativ sunt serii cu termeni reali astfel încât doi termeni consecutivi să aibă semne opuse.
Serialul Prin urmare, este vorba de un semn alternativ, de fapt:

  • pentru n chiar termenul este pozitiv;
  • pentru ciudat n termenul este negativ.

Pentru aceste serii, se aplică următorul criteriu Leibniz :

Având în vedere seria de termeni alternanți , dacă succesiunea este definitiv pozitiv, descrescător și tinde, adică:

atunci avem asta:

  • seria este convergentă la
  • Sumele parțiale de ordin par și sumele parțiale de ordin impar sunt monotone și tind
  • , restul n este mai mic decât termenul

Criteriul Dirichlet

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: criteriul Dirichlet (matematică) .

Criteriul Dirichlet pentru serii generalizează criteriul Leibniz. Lasa-i sa fie Și două succesiuni. De sine monoton tinde să , și dacă seria de este limitat, adică dacă

,

apoi seria este convergent. În special, prin plasare obținem criteriul Leibniz.

Notă

Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica