Criterii de separabilitate

În aritmetică , criteriile de divizibilitate sunt algoritmi care vă permit să verificați divizibilitatea unui număr întreg cu un factor fără a efectua diviziune explicită.

Acestea constau dintr-o serie de operații pe cifrele care alcătuiesc numărul. Astfel de operații ar trebui să fie suficient de simple pentru a putea fi realizate în minte sau, în orice caz, să fie mai rapide decât împărțirea.

Deoarece criteriile de divizibilitate manipulează direct cifrele numărului, acestea depind de baza în care este exprimat numărul. În practică, sunt luate în considerare doar criteriile pentru numerele de bază 10 . Dacă criteriul vorbește despre „ultimele cifre”, înseamnă întotdeauna cele mai îndepărtate spre dreapta: unități, zeci etc.

Unele criterii se limitează la a da un rezultat da / nu; alții permit, de asemenea, să cunoască restul diviziunii , deoarece calculează modulul , iar numărul dat este divizibil dacă și numai dacă acest rest este 0. Poate fi necesară o ușoară modificare în ceea ce privește formularea tradițională, de exemplu, criteriul divizibilitatea cu 2 poate fi exprimată sub forma: restul împărțirii unui număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori 2 este egal cu restul împărțirii ultimei cifre a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru 2 (și, prin urmare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este divizibil cu 2 dacă și numai dacă acest rest este 0).

De asemenea, se aplică regula generală dacă un număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este divizibil cu $m,$ ${\ displaystyle m,}$ ${\ displaystyle m,}$ asa de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este, de asemenea, divizibil cu orice divizor al $m .$ ${\ displaystyle m.}$ ${\ displaystyle m.}$ Dimpotrivă, dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este divizibil cu $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ , $m_{2},\ldots ,m_{l}$ ${\ displaystyle m_ {2}, \ ldots, m_ {l}}$ ${\ displaystyle m_ {2}, \ ldots, m_ {l}}$ , asa de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este, de asemenea, divizibil cu cel mai mic multiplu comun al $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ , $m_{2},\ldots ,m_{l}$ ${\ displaystyle m_ {2}, \ ldots, m_ {l}}$ ${\ displaystyle m_ {2}, \ ldots, m_ {l}}$ . De exemplu, un număr este divizibil cu 6 dacă și numai dacă este divizibil atât cu 2, cât și cu 3. Folosind această regulă, dacă factorizarea $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ în primul distinct este $m=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{l}^{e_{l}}$ ${\ displaystyle m = p_ {1} ^ {e_ {1}} p_ {2} ^ {e_ {2}} \ cdots p_ {l} ^ {e_ {l}}}$ ${\ displaystyle m = p_ {1} ^ {e_ {1}} p_ {2} ^ {e_ {2}} \ cdots p_ {l} ^ {e_ {l}}}$ , atunci un număr este divizibil cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ dacă este numai dacă este divizibil cu fiecare dintre factori $p_{1}^{e_{1}},p_{2}^{e_{2}},\cdots ,p_{l}^{e_{l}}$ ${\ displaystyle p_ {1} ^ {e_ {1}}, p_ {2} ^ {e_ {2}}, \ cdots, p_ {l} ^ {e_ {l}}}$ ${\ displaystyle p_ {1} ^ {e_ {1}}, p_ {2} ^ {e_ {2}}, \ cdots, p_ {l} ^ {e_ {l}}}$ . Prin urmare, este suficient să se ia în considerare criteriile de divizibilitate pentru numerele prime și puterile primelor. De exemplu, din moment ce $792=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 11$ ${\ displaystyle 792 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 11}$ ${\ displaystyle 792 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 11}$ , un număr este divizibil cu 792 dacă și numai dacă este divizibil cu 8, cu 9 și cu 11.

Principalele criterii de divizibilitate a numerelor întregi

Divizibilitate cu 0

Același subiect în detaliu: împărțirea la zero .

Niciun număr nu este divizibil cu 0.

Divizibilitate cu 1

Toate numerele sunt divizibile cu 1.

Divizibilitate cu 2

Un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă ultima zecimală este pară , adică 0, 2, 4, 6, 8.

Prin urmare, numai numerele pare sunt divizibile cu 2 .

Dovadă : luați în considerare un număr $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ ; cifrele sale zecimale sunt coeficienții a _i care apar în sumă:

N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

termenii

a_{i}10^{i}

{\ displaystyle a_ {i} 10 ^ {i}}

{\ displaystyle a_ {i} 10 ^ {i}}

toate sunt divizibile cu 2 dacă

i>0

{\ displaystyle i> 0}

{\ displaystyle i> 0}

, astfel, dacă

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

este divizibil cu 2 este, de asemenea, divizibil:

N-(a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})

{\ displaystyle N- (a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k})}

{\ displaystyle N- (a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k})}

acesta este

a_{0}

{\ displaystyle a_ {0}}

a_ {0}

, care este deci 0, 2, 4, 6 sau 8.

Viceversa dacă

a_{0}

{\ displaystyle a_ {0}}

a_ {0}

este 0, 2, 4, 6 sau 8, odată ce îl adăugăm la numărul:

(a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})

{\ displaystyle (a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k})}

{\ displaystyle (a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k})}

care este, de asemenea, divizibil cu 2, obținem totuși un multiplu de 2, prin urmare

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

va fi divizibil cu 2.

Exemplu: 26 este divizibil cu 2 deoarece se termină cu 6.

A se vedea, de asemenea, împărțirea pe două .

Divizibilitatea cu 2 sau nu împarte numerele întregi în două categorii: numerele pare , care sunt divizibile cu 2 și numerele impare , care nu sunt.

Divizibilitatea cu o putere de 2

Mai general, un număr este divizibil cu $2^{k}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k}}$ $2 ^ {k}$ dacă este numărul compus din $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ cifrele din dreapta ale numărului.

Dovadă : reprezentați orice număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ în formă $n=m_{k}10^{k}+n_{k}$ ${\ displaystyle n = m_ {k} 10 ^ {k} + n_ {k}}$ ${\ displaystyle n = m_ {k} 10 ^ {k} + n_ {k}}$ unde este $n_{k}$ ${\ displaystyle n_ {k}}$ $n_ {k}$ indică numărul format din primele k cifre din dreapta și $m_{k}$ ${\ displaystyle m_ {k}}$ $m_ {k}$ numărul format din restul cifrelor din stânga $n_{k}$ ${\ displaystyle n_ {k}}$ $n_ {k}$ . Dacă împărțiți ambii membri la $2^{k}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k}}$ $2 ^ {k}$ se pare, din moment ce $m_{k}{\frac {10^{k}}{2^{k}}}=m_{k}5^{k}$ ${\ displaystyle m_ {k} {\ frac {10 ^ {k}} {2 ^ {k}}} = m_ {k} 5 ^ {k}}$ ${\ displaystyle m_ {k} {\ frac {10 ^ {k}} {2 ^ {k}}} = m_ {k} 5 ^ {k}}$ este un număr întreg, care este divizibilitatea lui $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru $2^{k}$ ${\ displaystyle 2 ^ {k}}$ $2 ^ {k}$ depinde doar de divizibilitatea ${\frac {n_{k}}{2^{k}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n_ {k}} {2 ^ {k}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n_ {k}} {2 ^ {k}}}}$ .

Divizibilitate cu 3

Un număr este divizibil cu 3 dacă suma tuturor cifrelor sale este egală cu 3 sau cu un multiplu al acestuia (6, 9); dacă această sumă este mai mare decât 9, operația poate fi efectuată din nou.

Exemplu: pentru a verifica dacă 493827 este divizibil cu 3, adăugând cifrele care alcătuiesc numărul (4 + 9 + 3 + 8 + 2 + 7), obținem 33 (> 9) și de aici (3 + 3) 6: deoarece 6 este un multiplu întreg de 3, numărul de pornire este divizibil cu 3.

Un alt exemplu: pentru a verifica dacă 32565 este divizibil cu 3, trebuie doar să efectuați suma: 3 + 2 + 5 + 6 + 5 = 21 (> 9) și, prin urmare, 2 + 1 = 3; deoarece 3 este divizibil cu 3, atunci 32565 este, de asemenea, divizibil.

Dovadă : ia în considerare un număr $Nu.,$ ${\ displaystyle N,}$ ${\ displaystyle N,}$ ; zecimalele sale sunt coeficienții $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ care apar în sumă:

N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

.

Să presupunem suma

a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots + a_ {k}}

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots + a_ {k}}

este divizibil cu 3; acest lucru poate fi tradus în aritmetică modulară spunând că:

a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}\equiv 0{\pmod {3}}

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots + a_ {k} \ equiv 0 {\ pmod {3}}}

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots + a_ {k} \ equiv 0 {\ pmod {3}}}

adică:

a_{0}\equiv -(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k}){\pmod {3}}

{\ displaystyle a_ {0} \ equiv - (a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots + a_ {k}) {\ pmod {3}}}

{\ displaystyle a_ {0} \ equiv - (a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots + a_ {k}) {\ pmod {3}}}

.

Prin înlocuirea

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

avem:

N\equiv -(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k})+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv 9a_{1}+99a_{2}+\cdots +(10^{k}-1)a_{k}\;\;,

{\ displaystyle N \ equiv - (a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots + a_ {k}) + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ { 3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k} \ equiv 9a_ {1} + 99a_ {2} + \ cdots + (10 ^ {k} -1) a_ {k} \; \;,}

{\ displaystyle N \ equiv - (a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + \ cdots + a_ {k}) + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ { 3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k} \ equiv 9a_ {1} + 99a_ {2} + \ cdots + (10 ^ {k} -1) a_ {k} \; \;,}

care se dovedește a fi un multiplu de 3.

Divizibilitate cu 4

Un număr este divizibil cu 4 dacă ultimele două cifre sunt 00 sau formează un multiplu de 4 sau, în mod echivalent, ultimele două cifre sunt astfel încât penultimul său este impar și ultimul este 2 sau 6, sau penultima cifră este pare și ultima este 0, 4, 8.

Dovadă : să fie un număr $Nu.;$ ${\ displaystyle N;}$ ${\ displaystyle N;}$ zecimalele sale sunt coeficienții $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ care apar în sumă:

N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

.

Dacă numărul se termină cu 00 este divizibil cu 100, care la rândul său este divizibil cu 4.

Să presupunem că ultimele două cifre

a_{0}+a_{1}10

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} 10}

{\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} 10}

formează un multiplu de 4; în orice caz și cifrele rămase:

a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}

{\ displaystyle a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

{\ displaystyle a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

ei vor forma un multiplu de 4 (așa cum formează un multiplu de 100), deci și suma lor, adică

Nu.,

{\ displaystyle N,}

{\ displaystyle N,}

este multiplu de 4.

Exemplu: 424 este divizibil cu 4 deoarece ultimele 2 cifre sunt 2 și 4, care formează 24, care este multiplu de 4.

Divizibilitate cu 5

Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.

Dovadă : luați în considerare un număr $Nu.;$ ${\ displaystyle N;}$ ${\ displaystyle N;}$ zecimalele sale sunt coeficienții $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ care apar în sumă:

N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

termenii

a_{i}10^{i}

{\ displaystyle a_ {i} 10 ^ {i}}

{\ displaystyle a_ {i} 10 ^ {i}}

toate sunt divizibile cu 5 dacă

i>0,

{\ displaystyle i> 0,}

{\ displaystyle i> 0,}

astfel, dacă

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

este divizibil cu 5 este, de asemenea, divizibil cu:

N-(a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})

{\ displaystyle N- (a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k})}

{\ displaystyle N- (a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k})}

acesta este

a_{0}

{\ displaystyle a_ {0}}

a_ {0}

, care este deci 0 sau 5.

Viceversa dacă

a_{0}

{\ displaystyle a_ {0}}

a_ {0}

este 0 sau 5 odată ce îl adăugați la număr:

(a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k})\;\;,

{\ displaystyle (a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}) \; \;,}

{\ displaystyle (a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}) \; \;,}

care este, de asemenea, divizibil cu 5, obținem totuși un multiplu de 5, prin urmare

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

va fi divizibil cu 5.

Exemplu: 565 este divizibil cu 5 deoarece se termină cu 5.

Divizibilitatea cu o putere de 5

Similar cu cazul cu puteri de 2, un număr este divizibil cu $5^{k}$ ${\ displaystyle 5 ^ {k}}$ ${\ displaystyle 5 ^ {k}}$ daca sunt $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ cifrele din dreapta ale numărului.

Divizibilitate cu 7

Vom analiza mai jos trei criterii de divizibilitate diferite pentru acest caz, cu primul caz divizibil în două subvariante.

Merită să anticipăm că, pentru viteza de calcul, utilizarea celui de-al doilea criteriu B) se dovedește a fi cel mai bun, cu atât mai mult dacă este cuplat cu varianta pentru numerele mari, așa cum se va arăta.

A.1) Primul criteriu, prima variantă: cu separarea ultimei cifre (cea a unităților).

Enunț: „Un număr este divizibil cu 7 dacă suma dintre numărul obținut prin excluderea cifrei unităților (pre-număr) și de cinci ori din cifra unităților (coadă numerică) este multiplu de 7”.

Exemplu: 68089 ; calculăm 6808 + 9 × 5 = 6853; neștiind dacă 6853 este divizibil cu 7 trebuie doar să repetați procedura. 685 + 3 × 5 = 700, care este evident un multiplu de șapte. Prin urmare, 68089 este multiplu de 7.

Dovadă : ia în considerare un număr $Nu.;$ ${\ displaystyle N;}$ ${\ displaystyle N;}$ zecimalele sale sunt coeficienții $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ care apar în sumă:

N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\;\;,

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k} \; \;,}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k} \; \;,}

că putem scrie mai succint:

N=a_{0}+10\times b

{\ displaystyle N = a_ {0} +10 \ ori b}

{\ displaystyle N = a_ {0} +10 \ ori b}

.

În limbajul aritmeticii modulare se știe că

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

este divizibil cu 7 dacă și numai dacă:

N\equiv 0{\pmod {7}}\;\;,

{\ displaystyle N \ equiv 0 {\ pmod {7}} \; \;,}

{\ displaystyle N \ equiv 0 {\ pmod {7}} \; \;,}

adică:

a_{0}+10\times b\equiv 0{\pmod {7}}

{\ displaystyle a_ {0} +10 \ times b \ equiv 0 {\ pmod {7}}}

{\ displaystyle a_ {0} +10 \ times b \ equiv 0 {\ pmod {7}}}

.

Dacă înmulțim totul cu 5 (care este inversul aritmetic al lui 10 modulo 7) avem:

5\times a_{0}+5\times 10\times b\equiv 0{\pmod {7}}\;\;,

{\ displaystyle 5 \ times a_ {0} +5 \ times 10 \ times b \ equiv 0 {\ pmod {7}} \; \;,}

{\ displaystyle 5 \ times a_ {0} +5 \ times 10 \ times b \ equiv 0 {\ pmod {7}} \; \;,}

adică:

5\times a_{0}+b+{\cancel {49\times b}}\equiv 0{\pmod {7}}

{\ displaystyle 5 \ times a_ {0} + b + {\ cancel {49 \ times b}} \ equiv 0 {\ pmod {7}}}

{\ displaystyle 5 \ times a_ {0} + b + {\ cancel {49 \ times b}} \ equiv 0 {\ pmod {7}}}

de la care:

5\times a_{0}+b\equiv 0{\pmod {7}}

{\ displaystyle 5 \ times a_ {0} + b \ equiv 0 {\ pmod {7}}}

{\ displaystyle 5 \ times a_ {0} + b \ equiv 0 {\ pmod {7}}}

.

De cand $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ aparține aceleiași clase de resturi de 5 modulo 7, criteriul definit mai sus poate fi modificat într-o a doua variantă , în conformitate cu următoarele.

A.2) Primul criteriu, a doua variantă: cu separarea ultimei cifre (cea a unităților).

Afirmație: „Un număr este divizibil cu 7 dacă diferența dintre numărul obținut prin excluderea numărului de unități (pre-număr) și dublul numărului de unități (coada numărului) este multiplu de 7”.

Folosind același exemplu „68089” este posibil să vedem că: 6808-9 × 2 = 6790; 679-0 × 2 = 679; 67-9 × 2 = 49, număr divizibil cu 7: prin urmare se confirmă divizibilitatea numărului de pornire cu 7.

Trebuie amintit că aceste criterii (spre deosebire de următoarele) nu permit calcularea restului diviziunii cu 7, ci doar verificarea divizibilității .

O altă metodă de determinare a divizibilității cu 7, cum ar fi cea cu 13, profită, de asemenea, de faptul că 1001 este factorizabil ca 7 × 11 × 13 și apoi se poate începe reducerea numărului dat la unul cu cel mult trei cifre (vezi mai jos criteriul divizibilității cu 1001). Aceste cifre, luate de la dreapta la stânga, trebuie să fie înmulțite cu 1, 3 și respectiv 2 (mnemonic, aceasta poate fi văzută ca „legea 132”) și rezultatele adunate împreună.

Divizibilitatea cu 7 poate fi determinată, de asemenea, luând cea mai stângă cifră a numărului, înmulțindu-l cu 3 și adăugându-l la cel mai îndepărtat imediat la dreapta, eliminând 7 factori și continuând până la cifra din dreapta.

În exemplul numărului 493827, operațiunile care trebuie efectuate sunt:

× 4 × 3 + 9 = 21 $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ 0;

× 0 × 3 + 3 = 3;

× 3 × 3 + 8 = 17 $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ 3;

× 3 × 3 + 2 = 11 $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ 4;

× 4 × 3 + 7 = 19 $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ 5.

Rezultatul final este tocmai restul împărțirii numărului cu 7: dacă acest rezultat este 0, numărul este, prin urmare, divizibil cu 7. Aceeași operație se poate face și de la dreapta la stânga; în acest caz multiplicatorul este 5.

Pentru numerele mari , este posibil să le împărțiți în grupuri de trei cifre de la dreapta la stânga, inserând semne alternante între fiecare grup: rezultatul trebuie să fie divizibil cu 7.

Exemplu: să vedem dacă 1491826 este divizibil cu 7.

Să împărțim numărul în grupuri de trei cifre, începând din dreapta, alternând semnele: 1491826: 826 - 491 + 1 = 336 și, folosind unul dintre criteriile anterioare, 33 + (6 × 5) = 63, deci este divizibil .

Un alt criteriu de divizibilitate cu 7 este următorul, care este foarte ușor de utilizat:

numărul examinat este împărțit în grupuri de trei cifre funcționând de la dreapta la stânga, iar restul împărțirii cu 7 este calculat din fiecare;
adunați resturile grupurilor de locuri impare și ale grupurilor de locuri pare: dacă diferența dintre cele două sume este zero sau un multiplu de 7, numărul inițial este divizibil cu 7.

Luați în considerare numărul 123457789 ca exemplu: restul de 123: 7 este 4, restul de 457: 7 este 2, restul de 789: 7 este 5; suma resturilor grupurilor de locuri impare este 4 + 5 = 9 iar suma resturilor grupelor de locuri pare este 2 (există un singur grup); deoarece 9-2 = 7 numărul inițial este divizibil cu 7. Pentru a calcula restul împărțirii unui număr cu 7 amintiți-vă că restul nu se schimbă dacă un număr multiplu de 7 este scăzut din numărul inițial: de exemplu 723: 7 dă același rest ca (723-700): 7 sau 23: 7 al cărui rest este mult mai ușor de calculat.

De asemenea, este posibil să împărțiți numărul în cauză în două grupe de cifre, cele trei cifre din dreapta și celelalte cifre și să aplicați același criteriu. Fie numărul 123457789 (considerat deja mai sus) să fie: restul de 123457: 7 este 5, restul de 789: 7 este 5; diferența de resturi este zero și, prin urmare, numărul inițial este divizibil cu 7.

Pentru numerele care nu sunt divizibile cu 7, diferența menționată mai sus între sumele de resturi ale grupurilor de scaune impare și grupurile de scaune pare oferă, de asemenea, restul împărțirii numărului de început cu 7 (având grijă să adăugați 7 în caz de diferență negativă și pentru a scădea 7 - sau multiplii de 7 - în cazul diferenței mai mari de 6).

B) Al doilea criteriu: cu separarea ultimelor două cifre (cea a celor zece și cea a unităților)

Enunț: „Un număr este divizibil cu 7 dacă și numai dacă suma dintre dublul numărului obținut excluzând ultimele două cifre (zeci și unități) și numărul compus doar din ultimele două cifre este 7 sau multiplu de 7; criteriul poate fi repetat recursiv ".

Exemplu: verificați dacă 53158 este divizibil cu 7.

53158: 531 × 2 + 58 = 1120;

și, recursiv:

1120: 11 × 2 + 20 = 42;

deoarece 42 este divizibil cu 7, 53158 va fi și el.

Demonstrație:

fără pierderea generalității pe lungimea numărului inițial, am putea spune că numărul $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ din care dorim să verificăm divizibilitatea cu 7 poate fi scrisă ca abcdef , unde fiecare literă reprezintă o cifră numerică (dacă numărul $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ au fost mai lungi sau mai scurte este suficient să se ia în considerare litere suplimentare pentru a o reprezenta). În simboluri, fie $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ = abcedf , apoi:

$Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ = abcdef = abcd × 100 + ef = abcd × (98 + 2) + ef = 98 × abcd + 2 × abcd + ef = 98 × abcd + $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ ,

unde este plasat $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ = 2 × abcd + ef .

Deoarece 98 × abcd este divizibil cu 7 (de două ori mai mare decât 49), $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este divizibil cu 7 dacă și numai dacă este și divizibil $M.,$ ${\ displaystyle M,}$ ${\ displaystyle M,}$ care este tocmai ceea ce se argumentează în acest criteriu de divizibilitate.

C) al treilea criteriu: cu suma cifrelor înmulțite cu scalari corespunzători.

Enunț: „Un număr este divizibil cu șapte dacă suma sumelor cu semne alternative este divizibilă: a cifrelor de poziție congruente la zero (mod 3), a cifrelor de poziție congruente la 1 (mod 3) cu trei și a cifrele de poziție congruente la 2 (mod 3) pentru două ".

Exemplu: Verificați dacă numărul 777213213 este divizibil cu 7.

(3-3 + 7) + 3 * (1-1 + 7) + 2 * (2-2 + 7) = 42

deoarece 42 este divizibil cu 7, 777213213 va fi și el.

Demonstrație:

Este $N=a_{0}10^{0}+a_{1}10^{1}+a_{2}10^{2}+...+a_{k}10^{k}$ ${\ displaystyle N = a_ {0} 10 ^ {0} + a_ {1} 10 ^ {1} + a_ {2} 10 ^ {2} + ... + a_ {k} 10 ^ {k}}$ ${\ displaystyle N = a_ {0} 10 ^ {0} + a_ {1} 10 ^ {1} + a_ {2} 10 ^ {2} + ... + a_ {k} 10 ^ {k}}$ avem:

$10^{0}\equiv 1\;(mod\,\,7)$ ${\ displaystyle 10 ^ {0} \ equiv 1 \; (mod \, \, 7)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {0} \ equiv 1 \; (mod \, \, 7)}$

$10^{1}\equiv 3\,(mod\,\,7)$ ${\ displaystyle 10 ^ {1} \ equiv 3 \, (mod \, \, 7)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {1} \ equiv 3 \, (mod \, \, 7)}$

$10^{2}\equiv 2\,(mod\,\,7)$ ${\ displaystyle 10 ^ {2} \ equiv 2 \, (mod \, \, 7)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {2} \ equiv 2 \, (mod \, \, 7)}$

$10^{3}\equiv 6\equiv -1\,(mod\,\,7)$ ${\ displaystyle 10 ^ {3} \ equiv 6 \ equiv -1 \, (mod \, \, 7)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {3} \ equiv 6 \ equiv -1 \, (mod \, \, 7)}$

$10^{4}\equiv 4\equiv -3\,(mod\,\,7)$ ${\ displaystyle 10 ^ {4} \ equiv 4 \ equiv -3 \, (mod \, \, 7)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {4} \ equiv 4 \ equiv -3 \, (mod \, \, 7)}$

$10^{5}\equiv 5\equiv -2\,(mod\,\,7)$ ${\ displaystyle 10 ^ {5} \ equiv 5 \ equiv -2 \, (mod \, \, 7)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {5} \ equiv 5 \ equiv -2 \, (mod \, \, 7)}$

$10^{6}\equiv 1\,(mod\,\,7)$ ${\ displaystyle 10 ^ {6} \ equiv 1 \, (mod \, \, 7)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {6} \ equiv 1 \, (mod \, \, 7)}$ pentru mica teoremă a lui Fermat

$10^{7}=10^{1}\cdot 10^{6}\equiv 10^{1}\equiv 3\,(mod\,\,7)$ ${\ displaystyle 10 ^ {7} = 10 ^ {1} \ cdot 10 ^ {6} \ equiv 10 ^ {1} \ equiv 3 \, (mod \, \, 7)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {7} = 10 ^ {1} \ cdot 10 ^ {6} \ equiv 10 ^ {1} \ equiv 3 \, (mod \, \, 7)}$

$10^{8}=10^{2}\cdot 10^{6}\equiv 10^{2}\equiv 2\,(mod\,\,7)$ ${\ displaystyle 10 ^ {8} = 10 ^ {2} \ cdot 10 ^ {6} \ equiv 10 ^ {2} \ equiv 2 \, (mod \, \, 7)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {8} = 10 ^ {2} \ cdot 10 ^ {6} \ equiv 10 ^ {2} \ equiv 2 \, (mod \, \, 7)}$

si asa mai departe...

asa de $N\equiv a_{0}+3a_{1}+2a_{2}-a_{3}-3a_{4}-2a_{5}+a_{6}+3a_{7}+2a_{8}+...=(a_{0}-a_{3}+a_{6}-...)+3(a_{1}-a_{4}+a_{7}-...)+2(a_{2}-a_{5}+a_{8}-...).$ ${\ displaystyle N \ equals_ {0} + 3a_ {1} + 2a_ {2} -a_ {3} -3a_ {4} -2a_ {5} + a_ {6} + 3a_ {7} + 2a_ {8} + ... = (a_ {0} -a_ {3} + a_ {6} -...) + 3 (a_ {1} -a_ {4} + a_ {7} -...) + 2 (a_ {2} -a_ {5} + a_ {8} -...).}$ ${\ displaystyle N \ equals_ {0} + 3a_ {1} + 2a_ {2} -a_ {3} -3a_ {4} -2a_ {5} + a_ {6} + 3a_ {7} + 2a_ {8} + ... = (a_ {0} -a_ {3} + a_ {6} -...) + 3 (a_ {1} -a_ {4} + a_ {7} -...) + 2 (a_ {2} -a_ {5} + a_ {8} -...).}$

Curiozitate: metoda C) permite calcularea restului diviziunii lui N cu 7.

Curiozitate: în mod similar cu metoda B) se derivă un alt criteriu de divizibilitate pentru numărul 17; singura diferență este că numărul rezidual ef (adică cel compus doar din zece și cifre de unitate) trebuie scăzut și nu adăugat; atenție: în acest caz, rezultatul final ar putea fi negativ, dar acest lucru nu ar trebui să vă îngrijoreze, rezultatul final poate fi considerat în valoare absolută .

Criteriul de mai sus este foarte potrivit pentru o determinare rapidă a divizibilității cu 7 la un număr mare .

De fapt, într-un mod complet identic cu ceea ce este scris în primul criteriu, este posibil să le împărțim în grupuri de trei cifre de la dreapta la stânga, inserând semne alternative între fiecare grup: rezultatul trebuie să fie divizibil cu 7.

Exemplu: să vedem dacă 1491826 este divizibil cu 7.

Să împărțim numărul în grupuri de trei cifre, începând de la dreapta, alternând semnele:

1491826: +826 - 491 + 1 = 336;

și, folosind al doilea criteriu stabilit mai sus:

3 × 2 + 36 = 42 care, fiind divizibil cu 7, confirmă divizibilitatea cu 7 și a numărului de pornire.

Un alt exemplu: să analizăm divizibilitatea cu 7 din 123457789:

123457789: +789 -457 +123 = 455;

și, pentru al doilea criteriu B):

455: 4 × 2 + 55 = 63, adică numărul de pornire este divizibil cu 7.

Divizibilitate cu 8

Un număr este divizibil cu 8 dacă se termină cu trei zerouri sau dacă numărul format din ultimele sale 3 cifre este. Exemplu: 1128 este divizibil cu 8 deoarece 128 este, de asemenea, divizibil cu 8.

O altă posibilitate este să luați a treia ultimă cifră, să o dublați, să o adăugați la penultima, să dublați rezultatul și să o adăugați la ultima: dacă rezultatul final este multiplu de 8, atunci și numărul original este.

Exemplu: 15736 . Numărul se efectuează: 7 × 2 = 14; 14 + 3 = 17; 17 × 2 = 34; 34 + 6 = 40. Deoarece 40 este multiplu de 8, 15736 este și el.

Divizibilitate cu 9

Un număr este divizibil cu 9 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu nouă. Dacă această sumă este mai mare decât 9, operația poate fi repetată.

De exemplu, luați în considerare numărul 493827: adăugarea cifrelor sale dă 33. Repetarea operației dă în continuare 6, din care rezultă că numărul 493827 nu este divizibil cu 9. Rezultatul operației (6 în exemplu) este egal cu rest modulul 9 (împărțirea rezultatului la 3 ar da restul modulul 3). Rețineți că nu este necesar să adăugați 9 cifre prezente în număr.

Din criteriul descris tocmai obținem una dintre numeroasele proprietăți curioase legate de numărul 9. Dacă scădem din orice număr suma cifrelor sale luate individual, obținem întotdeauna un număr divizibil cu 9. Luând din nou exemplul anterior, dacă scădem din 493827 cifrele sale sunt obținute: 493827- (4 + 9 + 3 + 8 + 2 + 7) = 493794, a cărei divizibilitate cu 9 poate fi ușor dovedită cu criteriul anterior. Acest lucru se datorează faptului că, așa cum este descris mai sus, suma cifrelor unui număr este egală cu restul modulo 9.

Vezi și Dovada rădăcinii nouă și numerică .

Divizibilitate cu 10

Un număr este divizibil cu 10 când ultima sa cifră este zero.

Divizibilitatea cu o putere de 10

Un număr este divizibil cu $10^{m}$ ${\ displaystyle 10 ^ {m}}$ ${\ displaystyle 10 ^ {m}}$ (10, 100, 1000, ...) când este cel mai recent $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ (1, 2, 3, ..., respectiv) cifrele din dreapta sunt toate zerouri. De exemplu, 40 este divizibil cu 10, 300 este divizibil cu 100, iar 4000 este divizibil cu 1000.

Dovadă : un număr natural generic $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este, de fapt, întotdeauna exprimabilă în formă

N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}+a_{k}10^{k}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + \ cdots + a_ {k-1} 10 ^ {k-1} + a_ {k} 10 ^ { k}}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + \ cdots + a_ {k-1} 10 ^ {k-1} + a_ {k} 10 ^ { k}}

unde coeficienții

a_{i}

{\ displaystyle a_ {i}}

la}

este

k+1

{\ displaystyle k + 1}

k + 1

zecimale ale

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

. Suma anterioară poate fi, de asemenea, scrisă ca

N=N_{m}+10^{m}\times b

{\ displaystyle N = N_ {m} + 10 ^ {m} \ ori b}

{\ displaystyle N = N_ {m} + 10 ^ {m} \ ori b}

având plasat

b\triangleq a_{m}+a_{m+1}10+a_{m+2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1-m}+a_{k}10^{k-m}

{\ displaystyle b \ triangleq a_ {m} + a_ {m + 1} 10 + a_ {m + 2} 10 ^ {2} + \ cdots + a_ {k-1} 10 ^ {k-1-m} + a_ {k} 10 ^ {km}}

{\ displaystyle b \ triangleq a_ {m} + a_ {m + 1} 10 + a_ {m + 2} 10 ^ {2} + \ cdots + a_ {k-1} 10 ^ {k-1-m} + a_ {k} 10 ^ {km}}

și

N_{m}\triangleq a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{m-2}10^{m-2}+a_{m-1}10^{m-1}

{\ displaystyle N_ {m} \ triangleq a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + \ cdots + a_ {m-2} 10 ^ {m-2} + a_ {m -1} 10 ^ {m-1}}

{\ displaystyle N_ {m} \ triangleq a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + \ cdots + a_ {m-2} 10 ^ {m-2} + a_ {m -1} 10 ^ {m-1}}

unde este

a_{0},a_{1},a_{2}\cdots ,a_{m-2},a_{m-1}

{\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2} \ cdots, a_ {m-2}, a_ {m-1}}

{\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2} \ cdots, a_ {m-2}, a_ {m-1}}

sunt ultimele

m

{\ displaystyle m}

m

cifre în dreapta

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

(

m\in \mathbb {N^{+}}

{\ displaystyle m \ in \ mathbb {N ^ {+}}}

{\ displaystyle m \ in \ mathbb {N ^ {+}}}

).

Prin urmare,

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

va fi divizibil cu

10^{m}

{\ displaystyle 10 ^ {m}}

{\ displaystyle 10 ^ {m}}

când numărul este

N_{m}

{\ displaystyle N_ {m}}

{\ displaystyle N_ {m}}

compus din ultimele sale

m

{\ displaystyle m}

m

cifre la dreapta; pe de altă parte, fiind toți coeficienții

a_{i}

{\ displaystyle a_ {i}}

la}

mai puțin de 10 (ca cifre zecimale ),

N_{m}

{\ displaystyle N_ {m}}

{\ displaystyle N_ {m}}

poate fi divizibil cu

10^{m}

{\ displaystyle 10 ^ {m}}

{\ displaystyle 10 ^ {m}}

numai atunci când este nul, ceea ce impune ca

m

{\ displaystyle m}

m

cifre

a_{0},a_{1},a_{2}\cdots ,a_{m-2},a_{m-1}

{\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2} \ cdots, a_ {m-2}, a_ {m-1}}

{\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2} \ cdots, a_ {m-2}, a_ {m-1}}

sunt toate zero.

Divizibilitate cu 11

Un număr este divizibil cu 11 dacă diferența dintre suma cifrelor sale de locuri impare și suma cifrelor sale de locuri pare rezultă 0, 11 sau un multiplu (întreg) de 11. De exemplu, "8.291.778" este divizibil cu 11 deoarece: (8 + 7 + 9 + 8) - (7 + 1 + 2) = 32-10 = 22.

Divizibilitate cu 13

Un număr este divizibil cu 13 dacă suma dintre numărul obținut excluzând cifra unităților (pre-număr) și cvadruplul cifrei unităților (coadă numerică) este 0, 13 sau un multiplu al acestora.

Exemplu: 12285 ; calculăm 1228 + 5 × 4 = 1248; neștiind dacă 1248 este divizibil cu 13 trebuie doar să repetați procedura. 124 + 8 × 4 = 156. Și aici se repetă procedura: 15 + 6 × 4 = 39, adică 13 × 3. Prin urmare, 12285 este multiplu de 13.

Dovadă : luăm în considerare un număr $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , zecimalele sale sunt coeficienții $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ care apar în sumă

N=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

{\ displaystyle N = a_ {0} + a_ {1} 10 + a_ {2} 10 ^ {2} + a_ {3} 10 ^ {3} + \ cdots + a_ {k} 10 ^ {k}}

pe care le putem rescrie ca

N=a_{0}+10(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\ldots +a_{k}10^{k-1})

{\ displaystyle N = a_ {0} +10 (a_ {1} + a_ {2} 10 + a_ {3} 10 ^ {2} + \ ldots + a_ {k} 10 ^ {k-1})}

{\ displaystyle N = a_ {0} +10 (a_ {1} + a_ {2} 10 + a_ {3} 10 ^ {2} + \ ldots + a_ {k} 10 ^ {k-1})}

în limbajul aritmeticii modulare știm că

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

este divizibil cu 13 dacă și numai dacă

N\equiv 0{\pmod {13}}

{\ displaystyle N \ equiv 0 {\ pmod {13}}}

{\ displaystyle N \ equiv 0 {\ pmod {13}}}

adică

a_{0}+10(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\ldots +a_{k}10^{k-1})\equiv 0{\pmod {13}}

{\ displaystyle a_ {0} +10 (a_ {1} + a_ {2} 10 + a_ {3} 10 ^ {2} + \ ldots + a_ {k} 10 ^ {k-1}) \ equiv 0 { \ pmod {13}}}

{\ displaystyle a_ {0} +10 (a_ {1} + a_ {2} 10 + a_ {3} 10 ^ {2} + \ ldots + a_ {k} 10 ^ {k-1}) \ equiv 0 { \ pmod {13}}}

iar dacă înmulțim totul cu 4 avem

4a_{0}+40(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\ldots +a_{k}10^{k-1})\equiv 0{\pmod {13}}

{\ displaystyle 4a_ {0} +40 (a_ {1} + a_ {2} 10 + a_ {3} 10 ^ {2} + \ ldots + a_ {k} 10 ^ {k-1}) \ equiv 0 { \ pmod {13}}}

{\ displaystyle 4a_ {0} +40 (a_ {1} + a_ {2} 10 + a_ {3} 10 ^ {2} + \ ldots + a_ {k} 10 ^ {k-1}) \ equiv 0 { \ pmod {13}}}

atâta timp cât

40\equiv 1{\pmod {13}}

{\ displaystyle 40 \ equiv 1 {\ pmod {13}}}

{\ displaystyle 40 \ equiv 1 {\ pmod {13}}}

da ai

4a_{0}+a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\ldots +a_{k}10^{k-1}\equiv 0{\pmod {13}}

{\ displaystyle 4a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} 10 + a_ {3} 10 ^ {2} + \ ldots + a_ {k} 10 ^ {k-1} \ equiv 0 {\ pmod { 13}}}

{\ displaystyle 4a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} 10 + a_ {3} 10 ^ {2} + \ ldots + a_ {k} 10 ^ {k-1} \ equiv 0 {\ pmod { 13}}}

Trebuie amintit că acest criteriu nu permite calcularea restului diviziunii cu 13, ci doar verificarea divizibilității.

Un alt criteriu de divizibilitate cu 13 este următorul, care este foarte ușor de utilizat:

numărul în cauză este împărțit în grupuri de trei cifre (de la dreapta la stânga), iar restul împărțirii cu 13 este calculat din fiecare;
adunați resturile grupurilor de locuri impare și ale grupurilor de locuri pare: dacă diferența dintre cele două sume este zero sau un multiplu de 13, numărul inițial este divizibil cu 13.

Si consideri per esempio il numero 123457789: il resto di 123:13 è 6, il resto di 457:13 è 2, il resto di 789:13 è 9; la somma dei resti dei gruppi di posto dispari è 6+9=15 e la somma dei resti dei gruppi di posto pari è 2 (c'è un solo gruppo); poiché 15-2=13, il numero di partenza è divisibile per 13. Per calcolare facilmente il resto della divisione di un numero per 13 si ricordi che il resto non cambia se si sottrae al numero di partenza un multiplo di 13: ad esempio 543:13 dà lo stesso resto di (543-520):13 ovvero 23:13 il cui resto è assai più facile da calcolare.

Si può anche dividere il numero in esame in due gruppi di cifre, le tre cifre di destra e le rimanenti cifre, ed applicare il medesimo criterio. Sia il numero 123457789 (già considerato sopra): il resto di 123457:13 è 9, il resto di 789:13 è 9; la differenza dei resti è nulla e pertanto il numero di partenza è divisibile per 13.

Per i numeri non divisibili per 13, la citata differenza tra le somme dei resti dei gruppi di posto dispari e dei gruppi di posto pari fornisce anche il resto della divisione del numero di partenza per 13 (con l'accortezza di aggiungere 13 in caso di differenza negativa e di sottrarre 13 - o multipli di 13 - in caso di differenza maggiore di 12).

Divisibilità per 17

Primo metodo:

Dimostrazione : esprimiamo $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ come $N={\overline {a_{k}a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_{1}a_{0}}}=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\ldots +a_{k}10^{k}$ $N={\overline {a_{k}a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_{1}a_{0}}}=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\ldots +a_{k}10^{k}$ $N={\overline {a_{k}a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_{1}a_{0}}}=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\ldots +a_{k}10^{k}$ , quindi $N$ ${\displaystyle N}$ $N$ sarà divisibile per 17 se e solo se $N\equiv _{17}0$ $N\equiv _{17}0$ $N\equiv _{17}0$

$a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv _{17}0$ $a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv _{17}0$ $a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv _{17}0$ (il coefficiente di $a_{0}$ $a_{0}$ $a_{0}$ può essere sostituito con un altro numero appartenente alla classe di equivalenza di 1, cioè $[1]_{17}=[18]_{17}$ $[1]_{17}=[18]_{17}$ $[1]_{17}=[18]_{17}$ );
$18a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv _{17}0$ $18a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv _{17}0$ $18a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+a_{3}10^{3}+\cdots +a_{k}10^{k}\equiv _{17}0$ (si dividono entrambi i membri per 2: cosa possibile visto che 2 e 17 sono coprimi);
$9a_{0}+5(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1})\equiv _{17}0$ $9a_{0}+5(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1})\equiv _{17}0$ $9a_{0}+5(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1})\equiv _{17}0$ (si sostituisce al coefficiente di $a_{0}$ $a_{0}$ $a_{0}$ un altro numero appartenente alla classe di equivalenza di 9, cioè $[9]_{17}=[-25]_{17}$ $[9]_{17}=[-25]_{17}$ $[9]_{17}=[-25]_{17}$ );
$-25a_{0}+5(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1})\equiv _{17}0$ $-25a_{0}+5(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1})\equiv _{17}0$ $-25a_{0}+5(a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1})\equiv _{17}0$ (si dividono entrambi i membri per 5: cosa possibile visto che 5 e 17 sono coprimi);
$-5a_{0}+a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1}\equiv _{17}0$ $-5a_{0}+a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1}\equiv _{17}0$ $-5a_{0}+a_{1}+a_{2}10+a_{3}10^{2}+\cdots +a_{k}10^{k-1}\equiv _{17}0$ cioè ${\overline {a_{k}a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_{1}}}-5a_{0}=17k\qquad k\in \mathbb {Z}$ ${\overline {a_{k}a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_{1}}}-5a_{0}=17k\qquad k\in \mathbb {Z}$ ${\overline {a_{k}a_{k-1}a_{k-2}\ldots a_{1}}}-5a_{0}=17k\qquad k\in \mathbb {Z}$

Quindi con questo criterio è possibile ottenere 17 quando $k=1$ ${\displaystyle k=1}$ $k=1$ , oppure qualche multiplo di 17: in questo caso il criterio può essere reiterato con il numero appena ottenuto (proprio come nell'esempio qua sopra).

Secondo metodo:

Un numero è divisibile per 17, se la somma tra il numero ottenuto dall'unità moltiplicata per 9 (si parte da 1 a 10, escludendo lo zero) e il restante numero (dedotto di uno nel caso si consideri prima il numero 10) moltiplicato per 5 è divisibile per 17. È possibile reitare il calcolo.

Esempio:

Sia il numero 143990:

(10×9) + (14398×5) = 90 + 71990 = 72080

Si reitera il conto con il numero appena ottenuto (e via di seguito): 72080

(10×9) + (7207×5) = 90 + 36035 = 36125

36125:

(5×9) + (3612×5) = 45 + 18060 = 18105

18105:

(5×9) + (1810×5) = 45 + 9050 = 9095

9095:

(5×9) + (909×5) = 45 + 4545 = 4590

4590:

(10×9) + (458×5) = 90 + 2290 = 2380

2380:

(10×9) + (237×5) = 90 + 1185 = 1275

1275:

(5×9) + (127×5) = 45 + 635 = 680

680:

(10×9) + (67×5) = 90 + 335 = 425

425:

(5×9) + (42×5) = 45 + 210 = 255

255:

(5×9) + (25×5) = 45 + 125 = 170

170 è divisibile per 17.

Divisibilità per 20

Un numero è divisibile per 20 se è composto da almeno due cifre e le sue ultime due cifre a destra sono 00, 20, 40, 60, 80.

Divisibilità per 25

Un numero è divisibile per 25, se è composto da almeno due cifre e le sue ultime 2 cifre a destra sono 00, 25, 50 o 75. Ad esempio 1550 è divisibile per 25 perché le ultime 2 cifre, 50, formano un numero divisibile per 25.

Divisibilità per 27

Per verificare se un numero è divisibile per 27, lo si divide in terzetti di cifre (a partire da destra). Se la somma di tutti i terzetti dà come risultato un multiplo di 27 allora il numero di partenza è divisibile per 27. In alternativa, se risulta più agevole, si possono calcolare i resti delle divisioni per 27 dei vari terzetti e sommare infine tutti i resti ottenuti: se tale somma dà come risultato un multiplo di 27 allora il numero di partenza è divisibile per 27.

Ad esempio 514.291.761 è divisibile per 27 perché: 761+291+514 = 1566 che è un multiplo di 27; ovvero, in alternativa, 761=28x27+5 291=10x27+21 514=19x27+1 e 5+21+1=27.

Divisibilità per 37

Analogamente per verificare se un numero è divisibile per 37, lo si divide in terzetti di cifre (a partire da destra). Se la somma di tutti i terzetti dà come risultato un multiplo di 37 allora il numero di partenza è divisibile per 37. In alternativa, se risulta più agevole, si possono calcolare i resti delle divisioni per 37 dei vari terzetti e sommare infine tutti i resti ottenuti: se tale somma dà come risultato un multiplo di 37 allora il numero di partenza è divisibile per 37. Ad esempio 514.291.749 è divisibile perché: 749+291+514 = 1554 che è un multiplo di 37; ovvero, in alternativa, 749=20x37+9 291=7x37+32 514=13x37+33 e 9+32+33=74 che è evidentemente un multiplo di 37. Per comprendere la similarità dei criteri di divisibilità per 27 e per 37 e capire perché per tali criteri si dividono i numeri in gruppetti di tre cifre si fa riferimento alla scomposizione di 999 che è pari a 27x37.

Divisibilità per 101

Per verificare se un numero è divisibile per 101, lo si divide in coppie di cifre a partire da destra. Se, contando da destra verso sinistra, la differenza tra la somma delle coppie che occupano posto dispari e la somma delle coppie che occupano posto pari dà come risultato 0, 101, un multiplo di 101 (anche intero), allora il numero di partenza è divisibile per 101.

Ad esempio 514.300.787 è divisibile perché: (87+30+5)-(7+14) = 122-21 = 101.

Divisibilità per 1001

Per verificare se un numero è divisibile per 1001, lo si divide in terzetti di cifre a partire da destra. Se contando da destra verso sinistra, la differenza tra la somma dei terzetti che occupano posto dispari e la somma dei terzetti che occupano posto pari dà come risultato un multiplo intero di 1001, allora il numero di partenza è divisibile per 1001. Se non è della forma $1001k$ ${\displaystyle 1001k}$ $1001k$ , con $k\in \mathbb {Z}$ $k\in \mathbb {Z}$ $k\in \mathbb {Z}$ , il numero ottenuto (compreso tra 1 e 1000) è il resto della divisione per 1001 (se lo otteniamo negativo dobbiamo aggiungere 1001). Questo criterio può essere utilizzato per verificare anche la divisibilità per 7, 11 e 13 quando il numero ha molte cifre (si può utilizzare questo criterio per ridurre il numero di cifre fino a 4 e poi terminare con i criteri sopra esposti).

Ad esempio 514.291.778 è divisibile perché: (778+514)-(291) = 1292-291 = 1001.

Divisibilità in altre basi

Sia $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ un numero espresso in base $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ , e sia $m$ ${\displaystyle m}$ $m$ un divisore di $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ . Si possono generalizzare il criterio di divisibilità per le potenze di 2, 5, 10 e il criterio di divisibilità per 9 (o per 3) nel modo seguente:

il resto della divisione di $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ per $m^{e}$ $m^{e}$ $m^{e}$ è lo stesso della divisione delle ultime $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ cifre di $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ per $m^{e}$ $m^{e}$ $m^{e}$ ;
il resto della divisione di $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ per $b-1$ ${\displaystyle b-1}$ $b-1$ (o un divisore di $b-1$ ${\displaystyle b-1}$ $b-1$ ) è lo stesso della divisione della somma delle cifre di $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ per $b-1$ ${\displaystyle b-1}$ $b-1$ .

Anche il criterio di divisibilità per 11 può essere facilmente generalizzato a $b+1$ ${\displaystyle b+1}$ $b+1$ .

Divisibilità in altri anelli

È possibile considerare la divisibilità anche su altri anelli oltre agli interi.

Interi di Gauss

Tenendo presente che 2 e 5 si scompongono in fattori primi come $2=-i(1+i)^{2}$ $2=-i(1+i)^{2}$ $2=-i(1+i)^{2}$ e $5=(2-i)(2+i),$ ${\displaystyle 5=(2-i)(2+i),}$ $5=(2-i)(2+i),$ si possono dare criteri di divisibilità per gli interi di Gauss : $1+i$ ${\displaystyle 1+i}$ $1+i$ (ed equivalentemente per $1-i=-i(1+i)$ ${\displaystyle 1-i=-i(1+i)}$ $1-i=-i(1+i)$ ), $2-i$ ${\displaystyle 2-i}$ $2-i$ e $2+i$ ${\displaystyle 2+i}$ $2+i$ . Infatti, un intero di Gauss è divisibile:

per $1+i$ ${\displaystyle 1+i}$ $1+i$ se e solo se la somma della parte reale e di quella immaginaria è divisibile per 2,
per $2-i$ ${\displaystyle 2-i}$ $2-i$ se e solo se la differenza del doppio della parte reale con quella immaginaria è divisibile per 5,
per $2+i$ ${\displaystyle 2+i}$ $2+i$ se e solo se la somma del doppio della parte reale e di quella immaginaria è divisibile per 5.

Polinomi

Il teorema del resto fornisce un criterio di divisibilità dei polinomi per polinomi di grado 1.

Voci correlate

Divisore

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su criteri di divisibilità

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

V · D · M Teoria dei numeri
Numeri più usati	Naturali · Interi · Pari e dispari
Principi generali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza
Successioni di interi	Fattoriale · Successione di Fibonacci · Numero di Catalan · Numero di Perrin · Numero di Eulero · Successione di Mian-Chowla · Successione di Thue-Morse
Caratteristiche dei numeri primi	Numero primo · Lemma di Euclide · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Test di primalità ·Teorema fondamentale dell'aritmetica · Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Teorema dei numeri primi
Funzioni aritmetiche	Funzione moltiplicativa · Funzione additiva · Convoluzione di Dirichlet · Funzione φ di Eulero · Funzione di Möbius · Funzione tau sui positivi · Funzione sigma · Funzione di Liouville · Funzione di Mertens
Aritmetica modulare	Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Criteri di divisibilità · Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati · Teorema di Wilson · Legge di reciprocità quadratica
Congetture	Congettura di Goldbach · Congettura di Polignac · Congettura abc · Congettura dei numeri primi gemelli · Congettura di Legendre · Nuova congettura di Mersenne · Congettura di Collatz · Ipotesi di Riemann
Altro	Problema di Waring
Principali teorici	Fibonacci · Fermat · Gauss · Eulero · Legendre · Riemann · Dirichlet
Discipline connesse	Teoria algebrica dei numeri · Teoria analitica dei numeri · Crittografia · Teoria computazionale dei numeri