cub

cub

Tip	Solid platonic
Formați fețele	Pătrate
Nº fețe	6
Nr. De margini	12
Numărul de vârfuri	8
Valențe în partea de sus	3
Grup de simetrie	$S_{4}\times \mathbb {Z} _{2}$ ${\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$
Dual	Octaedru
Unghiuri diedre	90 ° ( unghi drept )
Proprietate	nu chirale
Manual

Cub ( Matemateca Ime-Usp )

Cubul sau hexaedrul regulat este unul dintre cele 5 solide platonice , care are 6 fețe pătrate, 8 vârfuri și 12 margini; în fiecare vârf există trei margini care sunt ortogonale două câte două; în fiecare vârf se intersectează și trei fețe care sunt două câte două ortogonale; acest lucru este în acord cu faptul că poliedrul dual al cubului este octaedrul , care are 8 fețe triunghiulare, 6 vârfuri și 12 muchii.

Cubul este un paralelipiped drept regulat și este un caz particular al unei prisme pătrate și a unui trapezohedron .

Fiecare cub este caracterizat de lungimea A a muchiilor sale. Toate cuburile cu margini de aceeași lungime sunt congruente . Un cub cu margini de lungime a supus unei omotimi de factor b / a devine congruent cu fiecare cub cu margini de lungime b .

Cubul în geometria analitică

Multe proprietăți ale cubului sunt ușor de obținut cu ajutorul instrumentelor de geometrie analitică . Considerăm cuburi care se referă la un cadru de referință cartesian ortogonal, cu privire la care punctul variabil de spațiu este identificat de cadru $(x_{1},x_{2},x_{3})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ $(x_1, x_2, x_3)$ .

Un prim cub care poate fi util să fie luat în considerare este cubul centrat la origine având vârfurile în punctele date de triplele atribuibile formei (± 1, ± 1, ± 1); ansamblul punctelor sale interne poate fi exprimat ca

\{(x_{1},x_{2},x_{3})\;|\;-1<x_{i}<1\ \forall i=1,2,3\}

{\ displaystyle \ {(x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \; | \; - 1 <x_ {i} <1 \ \ forall i = 1,2,3 \}}

{\ displaystyle \ {(x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \; | \; - 1 <x_ {i} <1 \ \ forall i = 1,2,3 \}}

Un alt cub care poate fi gestionat este cel ale cărui vârfuri sunt date de triple binare

(b_{1},b_{2},b_{3})\quad {\mbox{con}}\quad b_{i}=0,1\quad {\mbox{per}}\quad i=1,2,3

{\ displaystyle (b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}) \ quad {\ mbox {con}} \ quad b_ {i} = 0,1 \ quad {\ mbox {per}} \ quad i = 1,2,3}

{\ displaystyle (b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}) \ quad {\ mbox {con}} \ quad b_ {i} = 0,1 \ quad {\ mbox {per}} \ quad i = 1,2,3}

Acesta are ca centru $(1/2,1/2,1/2)$ ${\ displaystyle (1 / 2,1 / 2,1 / 2)}$ ${\ displaystyle (1 / 2,1 / 2,1 / 2)}$ .

Parametri metrici

Parametrii metrici ai cubului cu muchii de lungime a sunt după cum urmează

Lungimea diagonalelor fețelor	$\,{\sqrt {2}}\cdot a$ ${\ displaystyle \, {\ sqrt {2}} \ cdot a}$ ${\ displaystyle \, {\ sqrt {2}} \ cdot a}$
Lungimea diagonalelor cubului (segmente care leagă vârfuri opuse)	$\,{\sqrt {3}}\cdot a$ ${\ displaystyle \, {\ sqrt {3}} \ cdot a}$ ${\ displaystyle \, {\ sqrt {3}} \ cdot a}$
Distanța minimă între centru și o față	$\,a/2$ ${\ displaystyle \, a / 2}$ ${\ displaystyle \, a / 2}$
Suprafața totală	$\,6a^{2}$ ${\ displaystyle \, 6a ^ {2}}$ ${\ displaystyle \, 6a ^ {2}}$
Volum	$\,a^{3}$ ${\ displaystyle \, a ^ {3}}$ ${\ displaystyle \, a ^ {3}}$

Raport volum / suprafață

Dezvoltarea cubului

Se remarcă faptul că construcția unui cub material folosind hârtie, carton, foi metalice sau altele pentru cele 6 fețe, presupunând că nu există risipă de material, duce la paralelipiped cu cel mai mare raport între volum și suprafața totală.

Dovada acestei proprietăți de optimitate necesită calcul infinitesimal .

Un obiect material analog construit cu fețe dreptunghiulare care nu sunt toate pătrate are un raport mai mic între volum și suprafața totală.

Poliedru dual

Poliedrul dual al cubului este octaedrul regulat .

Simetriile

Cristal cubic de pirită

Cubul are același tip de simetrii ca și octaedrul, dualul său. Are 24 de simetrii de rotație , adică care păstrează orientarea spațiului, plus alte 24 de simetrii care nu îl păstrează. Prin urmare , grupul de simetrie al cubului este format dintr-un total de 48 de elemente.

Subgrupul dat de cele 24 de rotații este izomorf pentru grup $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ a permutațiilor a 4 elemente. De fapt, există exact o rotație care realizează fiecare permutare posibilă a celor 4 perechi de vârfuri opuse.

Grupul total de simetrie este izomorf pentru produs $S_{4}\times \mathbb {Z} /_{2\mathbb {Z} }$ ${\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} / _ {2 \ mathbb {Z}}}$ ${\ displaystyle S_ {4} \ times \ mathbb {Z} / _ {2 \ mathbb {Z}}}$ din $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ cu un grup ciclic cu 2 elemente.

Relații cu alte solide platonice

Tetrahedra într-un cub

Trei margini ale unui tetraedru inscripționat în cub, laturile unei fețe triunghiulare.

Cinci tetraedre pot fi înscrise într-un cub; în centru, între cele patru tetraedre din partea de sus, există exact un tetraedru perfect înscris; vârfurile fiecăruia dintre cele patru tetraedre externe sunt 4 din cele 8 vârfuri ale cubului în sine. Cele 8 vârfuri ale cubului pot fi de fapt împărțite în două seturi: în descrierea cu numere binare, vârfurile cu suma coordonatelor pare

(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)

{\ displaystyle (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}

{\ displaystyle (0,0,0), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}

iar vârfurile cu suma coordonatelor impare

(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,1).

{\ displaystyle (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1).}

{\ displaystyle (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1).}

Fiecare dintre acești cuaternari identifică un tetraedru, având vârfurile în cuatern și ale cărui 6 margini sunt diagonale ale celor 6 fețe pătrate ale cubului.

Cuburi într-un dodecaedru

Aplicarea a douăsprezece pentagone pe marginile unui cub

Într-un mod similar se poate observa că 5 cuburi pot fi înscrise într-un dodecaedru , fiecare dintre ele având margini care sunt diametre ale unei fețe pentagonale a dodecaedrului. De fapt, se observă că dodecaedrul are 12 fețe și că fiecare față are 5 diametre pentru un total de 60 de diametre de suprafață, toate de aceeași lungime. Aceste diametre pot fi împărțite în 5 clase de câte 12 diametre: cele cinci diametre ale unei fețe sunt alocate claselor diferite și fiecare clasă este alcătuită din diametre provenite de la cele 12 fețe diferite.

Fiecare dintre aceste clase constituie ansamblul muchiilor unui cub înscris în dodecaedru. Dacă luăm în considerare uniunea celor cinci cuburi care pot fi obținute în acest fel dintr-un dodecaedru dat, obținem un poliedru compus regulat, numit cinci cuburi în dodecaedru .

Teselare spațială

Redați fișierul media

Revoluția cubului în jurul unei axe

Cubul este singurul dintre solidele platonice care, cu replicile sale, este capabil să umple spațiul cu regularitate, adică să ofere o teselare a spațiului . Cele două solide semiregulare , din aceeași familie de cuburi, prisma triunghiulară regulată și prisma hexagonală regulată , precum și solidul arhimedean numit dodecaedru rombic, se bucură , de asemenea , de aceeași proprietate.

Zarurile jocului sunt cuburi.

Alte

Zarurile obișnuite de jocuri pe șase fețe au o formă cubică.

Prin construirea unui model de material cub care are fiecare margine constă dintr-un rezistor de 1 ohm , rezistența dintre două vârfuri adiacente este de 7/12 Ω, cea dintre două vârfuri opuse de 5/6 Ω.

Hipercubul sau cubul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional este o generalizare a cubului în dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ arbitrar.