Curba (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
O curbă plană în formă de fluture

În matematică , o curbă este un obiect unidimensional și continuu, cum ar fi circumferința și linia dreaptă . O curbă se poate așeza pe un plan , în spațiul euclidian sau într-un spațiu topologic mai general.

O curbă poate fi gândită intuitiv ca fiind traiectoria descrisă de un obiect asemănător unui punct care se mișcă continuu într-un anumit spațiu. Noțiunile de funcție continuă și funcție diferențiată sunt utilizate pentru a defini curba.

Definiții

Suportul unei curbe este imaginea sa
Spirala lui Fermat este o curbă simplă care nu este închisă
Un rodon cu trei petale. Este o curbă închisă care nu este simplă (se intersectează de mai multe ori în centru)
O curbă simplă închisă în spațiul tridimensional este un nod

În topologie , o curbă este o funcție vectorială continuă

unde este este un interval al liniei reale e este orice spațiu topologic .

De exemplu, poate fi planul cartezian , spațiul euclidian sau un spațiu generic . Intervalul poate fi de exemplu un interval închis , o gamă deschisă , o rază , etc.

Suportul curbei

Imaginea unei curbe se mai numește suportul sau suportul curbei. Adesea, prin abuz de limbaj, prin „curbă” ne referim la suport și nu la funcție. În topologie , când intervalul de pornire este cea unitară vorbim de cale sau arc .

De exemplu, un cerc este suportul curbei

Curba închisă și curba simplă

O curbă care coincide la extremele sale, adică astfel încât , este o curbă închisă sau o dantelă .

O curbă se spune că este simplu dacă este astfel încât am luat două puncte distincte , dintre care cel puțin unul aparținând gamei , se pare . Cu alte cuvinte, funcția este aproape injectivă și curba nu are intersecții de sine cu o singură excepție permisă:

O curbă plană simplă închisă se mai numește și curbă Jordan , deci un cerc este o curbă Jordan.

Curba plană

O curbă plană este o curbă de valoare în planul cartezian .

Parametrizări

De sine Este un interval de creștere a homeomorfismului , cum ar fi o funcție diferențiată și bijectivă cu derivată pozitivă obținută prin compunere Și este o altă curbă având același suport ca . Se spune că este o altă parametrizare a curbei .

Diferențialitate

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Geometria diferențială a curbelor .
Curba Koch nu este diferențiată
O curbă netedă (o elipsă , în roșu) și o curbă regulată în secțiuni (cea evoluată , în albastru)

O curbă topologică, deși pare să răspundă nevoii de a reprezenta obiecte „asemănătoare firului” și „fără grosime” care arată local ca o linie dreaptă curbată, poate fi foarte bizară dacă nu sunt stabilite condiții suplimentare. De exemplu, în 1890 matematicianul Giuseppe Peano a descoperit o curbă, cunoscută acum sub numele de curbă Peano , având drept suport un pătrat. Curba Koch este în schimb o fractală cu o dimensiune Hausdorff între una și două, un obiect dimensional intermediar între linie și plan.

O condiție suplimentară care garantează aspectul „filiform” al suportului este diferențialitatea : dacă este avionul sau un alt spațiu euclidian, puteți întreba asta este diferențiat în fiecare punct și în acest caz vorbim de o curbă diferențiată sau regulată . Într-o curbă diferențiată, pentru fiecare o tangentă la curbă este definită în : tangenta este vectorul derivatelor lui .

Dacă vă imaginați că parcurgeți curba în timp, lungimea vectorului tangent este viteza curbei în punct. Viteza se poate modifica prin reparameterizarea curbei: dată fiind o curbă, există întotdeauna o singură parametrizare astfel încât viteza să fie constant una și acest parametru este lungimea arcului.

Uneori regularitate

În multe contexte este util să vorbim despre curbe „netede”, chiar dacă au unul sau mai multe puncte de cuspid și / sau mai multe puncte unghiulare . În acest scop, o curbă regulată în bucăți este definită ca o curbă al cărei domeniu este o uniune de intervale succesive, pe fiecare dintre care curba este regulată. În mod formal, se solicită să existe o partiție a unui interval în unele intervale astfel încât restricția curbei pe fiecare este regulat.

Reprezentare cartesiană și parametrică

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Curba în spațiu .

Două moduri utilizate pentru a reprezenta o curbă în trei dimensiuni sunt forma carteziană și forma parametrică.

Reprezentarea cartesiană

Este posibil să se reprezinte o curbă tridimensională sub formă implicită prin identificarea suportului acesteia cu locusul zerourilor unui câmp vector , adică punctele de coordonate care verifică sistemul:

unde este Și sunt cel puțin funcții de clasă la valori reale. Această reprezentare poate fi considerată curba de intersecție a două suprafețe sub formă implicită.

Condiție suficientă pentru regularitatea locală a unei curbe astfel reprezentată în vecinătatea unuia dintre punctele sale este că Jacobianul :

au rang maxim

Reprezentare parametrică

O curbă în formă parametrică este o funcție vectorială a unei singure variabile de tipul: [1]

De asemenea, puteți scrie:

Variabila se numește parametru . O curbă este o funcție de clasă într-un interval dacă funcționează , Și au derivate continue în acest interval. O curbă se spune că este regulat într-un punct de sine:

și ajustați-vă dacă acest lucru este adevărat în orice moment al . Un punct în care ai spunem punct singular pentru curbă.

Lungimea curbei

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: lungimea unui arc .

De sine este un spațiu metric (de exemplu, planul sau un spațiu euclidian) puteți utiliza metrica în sine pentru a defini lungimea unei curbe. Se dă o curbă și o partiție a gamei adică un set finit de puncte astfel încât:

Apoi putem defini poligonul, adică o curbă care este uniunea segmentelor având vârfuri imaginea elementelor partiției prin . În practică, poligonul este o curbă ruptă ale cărei vârfuri aparțin curbei originale. Cu cât vârfurile poligonului sunt mai numeroase, cu atât lungimea acestuia va fi mai mare decât cea a curbei.

Lungimea curbei poate fi definită ca extremă superioară a lungimii poligonului pe măsură ce partiția variază :

Dacă această valoare nu este infinită, se spune că curba este rectificabilă . Curbele Peano și Koch nu sunt rectificabile.

Lungimea unei curbe nu depinde de parametrizarea acesteia, adică nu variază dacă sunt luate în considerare parametrizări echivalente .

O curbă derivabilă poate fi rectificată: pentru fiecare punct a intervalului se definește o viteză și se poate arăta că lungimea definită mai sus este egală cu integrala acestei viteze su

folosind noțiunea de integrală de linie putem scrie și:

Notă

  1. ^ Matt Insall și Eric Weisstein, MathWorld - Curve , la mathworld.wolfram.com , 2012.

Bibliografie

  • Erwin Kreyszig, Geometrie diferențială , Publicații Dover, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9
  • Euclid , comentariu și trad. de TL Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
  • EH Lockwood O carte a curbelor (1961, Cambridge)

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 10133 · LCCN (EN) sh85034914 · GND (DE) 4033824-1 · BNF (FR) cb119415578 (data) · NDL (EN, JA) 00.567.237
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică