Curba Peano
În geometrie, curba Peano este o curbă care „acoperă” un pătrat în întregime. A fost prima curbă cu această proprietate descoperită de Giuseppe Peano în 1890 . [1]
Limita curbelor
O curbă Peano este o curbă parametrizată de o funcție continuă de la intervalul [0, 1] la pătratul Q.
Curba planului este privită intuitiv ca un obiect unidimensional pe un plan bidimensional, prin urmare incapabil să o umple. Curba Peano, contraintuitiv, este, de asemenea, capabilă să umple un spațiu delimitat, cum ar fi un pătrat. Cu alte cuvinte, funcția f care o definește este surjectivă .
O curbă Peano este în general construită ca limita unei succesiuni de curbe. Exemplul din dreapta, construit de matematicianul David Hilbert , prezintă primele șase etape ale acestei construcții: curba Peano este curba obținută la „pasul infinitezimal”. Se poate arăta că o astfel de „curbă de limită” există ca o funcție, este de fapt continuă și acoperă întregul pătrat.
Cu aceste exemple puteți construi cu ușurință curbe care umple spații chiar mai mari, cum ar fi cubul , sau curbe definite pe intervalul deschis (0, 1) care umple complet orice spațiu euclidian de dimensiuni arbitrare.
Construcție explicită
O construcție explicită a curbei Peano utilizează un subset foarte particular al intervalului [0, 1]: setul Cantor C. Acest set are multe proprietăți surprinzătoare, printre care următoarele: C și C x C sunt homeomorfe . Există deci o funcție g: C → Q = [0, 1] x [0, 1] a cărei imagine este subsetul C x C al pătratului.
Există o funcție continuă și surjectivă f: C → [0, 1], numită funcție Cantor . Prin urmare, harta F (x, y) = (f (x), f (y)) este surjectivă din C x C pe pătratul [0, 1] x [0, 1]. Compoziția sa cu g de mai sus este o funcție surjectivă de la C pe pătrat. În cele din urmă, aceasta se extinde la o funcție continuă de la intervalul [0, 1] pe pătrat: de fapt, complementarul lui C din [0, 1] este alcătuit din multe intervale deschise, iar funcția poate fi extinsă liniar pe fiecare dintre acestea (trimiterea fiecărui interval U în segmentul pătratului având ca extreme imaginile extremelor lui U ).
Proprietate
- O curbă Peano nu este injectivă .
- O curbă Peano nu este diferențiată .
Notă
- ^ ( FR ) Giuseppe Peano, Sur une curve qui remplit toute une air plane , în Mathematische Annalen , vol. 36, pp. 157-160, DOI : 10.1007 / BF01199438 .
Elemente conexe
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Peano Curve
linkuri externe
- ( EN ) Eric W. Weisstein, Peano Curve , în MathWorld , Wolfram Research.
- Giorgio Pietrocola, Curva di Peano-Hilbert (animație didactică) , pe Tartapelago , Maecla , 2007. Adus pe 29 decembrie 2018 .
