Curba Koch
Curba Koch este una dintre primele curbe fractale ale căror descrieri sunt cunoscute. A apărut pentru prima dată într-un document din 1904 intitulat Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire de către matematicianul suedez Helge von Koch .
Generarea curbei
Generarea curbei Koch are loc datorită executării repetate a unui program de instrucțiuni sau a unei proceduri recursive: este o procedură deoarece este definită cu exactitate de un număr finit de pași, este recursivă deoarece se repetă mecanic. Algoritmul curbei constă în repetarea ciclului de bază:
- Începând de la un segment de o anumită lungime
- împarte segmentul în trei segmente egale;
- ștergeți segmentul central, înlocuindu-l cu două segmente identice care alcătuiesc cele două laturi ale unui triunghi echilateral;
- reveniți la pasul 1 pentru fiecare dintre segmentele curente.
Pornind de la un segment, se obțin astfel patru (constituind o linie întreruptă) în primul ciclu, 4x4 = 16 în cel de-al doilea ciclu și așa mai departe, generând la limită un fractal foarte elegant. Prin mărirea oricărui detaliu al fractalului, se obține din nou același fractal: aceasta este auto-similitudinea și structura fină a fractalelor la orice nivel de scară.
Definiție matematică
În fiecare etapă a generației curbei pe care am descris-o obținem o curbă continuă la care ne putem gândi parametrizată de o funcție continuă pe interval . Dacă parametrizările sunt definite într-un mod „rezonabil”, curba corespunzătoare fiecărei etape diferă de curba etapei anterioare prin cantități treptat mai mici și mai mici. Se poate arăta că această succesiune de curbe este o secvență Cauchy în spațiul Banach al curbelor continue pe și, prin urmare, trebuie să convergă la un punct limită în spațiul curbelor continue, această limită este curba Koch.
Curba Koch astfel definită are următoarele proprietăți:
- este continuă , ca limită uniformă a funcțiilor continue, adică este o curbă în sensul matematic al termenului;
- are o lungime infinită: de fapt, fiecare etapă a construcției sale mărește lungimea totală în raport de 4/3, iar lungimea curbei limită este evident mai mare decât toate lungimile curbelor construite la fiecare pas;
- este asemănător cu sine : conține o parte din ea, care este o transformare omotetică a întregii curbe.
- Nu este diferențiat în niciun moment; de fapt, o curbă derivabilă într-un punct , văzut pe scări din ce în ce mai mici în jur , tinde să fie aproape de o linie dreaptă care trece prin acel punct, curba Koch văzută în schimb pe orice scară este identică cu ea însăși.
Generație cu o diagramă Turtle
Secvența ca grafic Turtle
Un grafic Turtle este o curbă obținută pe baza unei secvențe și a unui model de instrucțiuni predeterminate. Curba Koch este codificată de secvența Thue-Morse , folosind următoarele instrucțiuni ca intrare:
- Dacă t ( n ) = 0, avansați o unitate de lungime;
- Dacă t ( n ) = 1, rotiți în sens invers acelor de ceasornic cu 60 ° .
Curba lui Koch și matematicieni
În cartea sa Les objets fractals Benoît Mandelbrot propune curba Koch ca model rezumat al coastei unei insule. Este o figură faimoasă pe care Cesàro o descrie în felul următor: «Această similitudine între întreg și părțile sale, chiar și cele infinitezimale, ne face să considerăm curba Koch ca o linie cu adevărat minunată printre toți. Dacă ar fi înzestrat cu viață, nu ar fi posibil să o anihilezi fără a o suprima la prima lovitură, întrucât altfel ar renăscea neîncetat din adâncurile triunghiurilor sale, ca viața din univers ».
Lévy a mai scris: „Fără îndoială, intuiția noastră a prevăzut că absența tangentei și lungimea infinită a curbei erau legate de îndoituri de ac de păr infinit de mici pe care nu ne putem gândi să le desenăm. Dar suntem confuzi de faptul că imaginația noastră nu poate nici măcar să depășească primii pași în construcția acestor îndoituri nesfârșit de ac de păr ». Pe linia lui Lévy, Stainhaus a scris: „Ne apropiem de realitate, considerând că majoritatea arcurilor întâlnite în natură nu sunt rectificabile. Această afirmație contrastează cu credința că arcurile nere rectificabile sunt o invenție a matematicienilor și că arcurile naturale sunt rectificabile: opusul este adevărat ”.
Charles Hermite , legat de o anumită idee de puritate a funcției geometrice, în fața curbei Koch a declarat că „se retrage cu teamă și groază din această lamentabilă plagă de funcții care nu au derivat”.
Fulgul de zăpadă al lui Koch
Această curbă este cunoscută și sub numele de fulg de zăpadă Koch (sau steaua / insula lui Koch ), deși în acest caz, dincolo de curbă, este luată în considerare și suprafața pe care o închide.
Construcția începe de la o insulă sub forma unui triunghi echilateral. Apoi, pe treimea centrală a fiecăreia dintre cele trei laturi ale unității de lungime, există un promontoriu în formă de triunghi echilateral, cu laturi egale cu . Rezultatul este un hexagon înstelat obișnuit, sau Steaua lui David, al cărui perimetru are o lungime egală cu . Procedăm în același mod pentru fiecare dintre cele douăsprezece laturi ale sale și așa mai departe.
Caracteristica specială a acestei figuri este că are o suprafață finită. În ceea ce privește perimetrul, a spune că este de lungime infinită nu este adevărat. Deși limita pentru iterații infinite tinde spre infinit, măsura nu are dimensiune egală cu , dar egal cu , care nu permite definirea măsurii sale ca lungime reală.
De fapt, dacă pentru a n-a iterație denotăm cu numărul total de laturi, lungimea unei laturi, perimetrul, zona, aria triunghiului inițial și să presupunem pentru scurtă scriere
Se pare atunci
de la care
în timp ce pentru zonă rezultă
de la care
Bibliografie
- Helge von Koch , Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire , Archiv för Matemat., Astron. och Fys. 1, 681-702, 1904.
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe curba Koch
linkuri externe
- (EN) Eric W. Weisstein, Fulg de zăpadă de zăpadă Koch în MathWorld Wolfram Research.
- (EN) Eric W. Weisstein, Anti-fulg snow Koch , în MathWorld Wolfram Research.
- G.Pietrocola, Arta teselării vârfului cu fulgi Koch , pe Tartapelago , maecla.it , Maecla, 2020. Adus 1 iulie 2020 .
Acestea sunt exemple de construcții celebre care utilizează metoda Koch generalizată:
- (EN) Eric W. Weisstein, Island Gosper , în MathWorld Wolfram Research.
- ( EN ) Eric W. Weisstein, Fractal of Cesàro , în MathWorld , Wolfram Research.
- (EN) Eric W. Weisstein, curba Sierpinski , în MathWorld Wolfram Research.
- (EN) Eric W. Weisstein, curba Hilbert în MathWorld Wolfram Research.
- (EN) Eric W. Weisstein, Dragon Curve în MathWorld Wolfram Research.