Curba plană

În matematică, o curbă plană este o curbă care se află în întregime într-un plan (unic) și este identificabilă printr-o funcție continuă $\alpha :I\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ alpha: I \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ alpha: I \ to \ R ^ 2$ , unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un interval din mulțimea numerelor reale . De exemplu, o curbă pe un spațiu euclidian de dimensiune mai mare de 2 este plană dacă suportul său se află pe un plan conținut în spațiul euclidian în care este definită.

O imagine de curbă este numită și suport de curbă. Uneori, termenul „curbă” este folosit și pentru a indica sprijinul unei curbe.

Primele considerente

Curbele plane sunt obiecte geometrice larg studiate, din cele mai vechi timpuri, cu obiective nu numai de tip matematic. Colecția de curbe care a fost studiată în termeni matematici este foarte variată și complexă și merită remarcat imediat câteva distincții.

Se spune că o curbă plană este simplă dacă nu se intersectează, adică dacă este pentru fiecare $t_{1}\neq t_{2}\in I$ ${\ displaystyle t_ {1} \ neq t_ {2} \ în I}$ $t_1 \ n și t_2 \ în I$ da ai $\alpha (t_{1})\neq \alpha (t_{2})$ ${\ displaystyle \ alpha (t_ {1}) \ neq \ alpha (t_ {2})}$ $\ alpha (t_1) \ ne \ alpha (t_2)$ . În caz contrar, se spune că are puncte duble, triple și așa mai departe.

O altă distincție se referă la faptul că o curbă plană este mărginită , adică are ca suport un subset mărginit de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ , sau este nelimitat . Curbele plane limitate sunt elipse și lemniscate , în timp ce hiperbolele și spiralele sunt nelimitate.

Reprezentări

Același subiect în detaliu: Curba în spațiu .

Reprezentare în formă carteziană explicită

Un tip de reprezentare a curbei plane este ecuația:

y=f(x)

{\ displaystyle y = f (x)}

y = f (x)

astfel încât în fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ corespunde unui punct $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , și astfel încât fiecare punct $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ a planului reprezintă suportul curbei. O curbă de acest tip se mai numește grafic în raport cu graficul funcțiilor reale. De fapt, reprezentarea poate fi scrisă și ca:

\alpha (t)=(t,f(t))

{\ displaystyle \ alpha (t) = (t, f (t))}

\ alfa (t) = (t, f (t))

adică ca funcție a unei variabile independente. Această reprezentare are multe limitări geometrice rezultate din faptul că o curbă foarte des are o descriere foarte complexă în această formă, nepotrivită pentru studiul proprietăților geometrice.

Reprezentare cartesiană implicită

O curbă poate fi reprezentată și sub forma:

F(x,y)=0

{\ displaystyle F (x, y) = 0}

F (x, y) = 0

adică în funcție de două variabile independente. Deși această reprezentare este în unele scopuri mai bună decât cea explicită, problemele pot fi întâmpinate atunci când este necesar să se explice o variabilă în funcție de cealaltă, ceea ce nu este întotdeauna posibil.

Reprezentare parametrică

Cea mai bună reprezentare este cu siguranță cea parametrică, cum ar fi:

\alpha :{\begin{cases}x=\phi (t)\\y=\psi (t)\end{cases}}

{\ displaystyle \ alpha: {\ begin {cases} x = \ phi (t) \\ y = \ psi (t) \ end {cases}}}

\ alpha: \ begin {cases} x = \ phi (t) \\ y = \ psi (t) \ end {cases}

sau:

\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))

{\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}

\ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))

unde este $t\in I$ ${\ displaystyle t \ in I}$ $t \ in I$ se numește parametru . Condiția continuității nu este suficientă pentru a reprezenta și a studia curbele concepute ca obiecte unidimensionale cu fir cu caracteristicile de regularitate dorite. Condiția suplimentară este ca curba plană să fie diferențiată în interior $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ .

O curbă plan parametrică $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$ $\ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))$ se spune că poate fi diferențiat în orice moment dacă funcționează $\phi (t)$ ${\ displaystyle \ phi (t)}$ $\ phi (t)$ Și $\psi (t)$ ${\ displaystyle \ psi (t)}$ $\ psi (t)$ au derivate continue în fiecare punct. Se spune că o curbă plan diferențiată este regulată la un moment dat $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ de sine $\alpha '(t_{0})=(\phi '(t_{0}),\psi '(t_{0}))\neq (0,0)$ ${\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (\ phi' (t_ {0}), \ psi '(t_ {0})) \ neq (0,0)}$ $\ alpha '(t_0) = (\ phi' (t_0), \ psi '(t_0)) \ ne (0,0)$ și regulat în I se $\alpha '(t)\neq (0,0)$ ${\ displaystyle \ alpha '(t) \ neq (0,0)}$ $\ alpha '(t) \ ne (0,0)$ în fiecare punct al lui I. Un punct în care avem $\alpha '(t_{0})=(0,0)$ ${\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (0,0)}$ $\ alpha '(t_0) = (0,0)$ se spune că este un punct singular pentru curbă.

Linie tangentă

Regularitatea curbei permite definirea liniei tangente la curbă. Este $\alpha (t)$ ${\ displaystyle \ alpha (t)}$ $\ alfa (t)$ o curbă diferențiată e $P_{0}=\alpha (t_{0})$ ${\ displaystyle P_ {0} = \ alpha (t_ {0})}$ $P_0 = \ alpha (t_0)$ un punct regulat. Puteți defini linia tangentă la curbă în acel punct ca linia care trece $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ paralel cu vectorul $\alpha '(t_{0})=(\phi '(t_{0}),\psi '(t_{0}))$ ${\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (\ phi' (t_ {0}), \ psi '(t_ {0}))}$ $\ alpha '(t_0) = (\ phi' (t_0), \ psi '(t_0))$ .

Linia tangentă are o ecuație cartesiană în acest punct $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ :

\psi '(t_{0})\cdot (\phi (t_{0})-\phi )-\phi '(t_{0})\cdot (\psi (t_{0})-\psi )=0

{\ displaystyle \ psi '(t_ {0}) \ cdot (\ phi (t_ {0}) - \ phi) - \ phi' (t_ {0}) \ cdot (\ psi (t_ {0}) - \ psi) = 0}

\ psi '(t_0) \ cdot (\ phi (t_0) - \ phi) - \ phi' (t_0) \ cdot (\ psi (t_0) - \ psi) = 0

și ecuații parametrice:

{\begin{cases}\phi =\phi '(t_{0})(t-t_{0})+\phi (t_{0})\\\psi =\psi '(t_{0})(t-t_{0})+\psi (t_{0})\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ phi = \ phi '(t_ {0}) (t-t_ {0}) + \ phi (t_ {0}) \\\ psi = \ psi' (t_ {0 }) (t-t_ {0}) + \ psi (t_ {0}) \ end {cases}}}

\ begin {cases} \ phi = \ phi '(t_0) (t-t_0) + \ phi (t_0) \\ \ psi = \ psi' (t_0) (t-t_0) + \ psi (t_0) \ end { cazuri}

În cazul unei curbe reprezentată explicit de o ecuație $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , linia tangentă la punctul $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ este dat:

f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})-(y-y_{0})=0

{\ displaystyle f '(x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) - (y-y_ {0}) = 0}

f '(x_0) \ cdot (x-x_0) - (y-y_0) = 0

în timp ce în cazul unei curbe reprezentate de o ecuație implicită $F(x,y)=0$ ${\ displaystyle F (x, y) = 0}$ $F (x, y) = 0$ linia tangentă la punct $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ este dat de:

F_{x}\cdot (x-x_{0})+F_{y}(y-y_{0})=0

{\ displaystyle F_ {x} \ cdot (x-x_ {0}) + F_ {y} (y-y_ {0}) = 0}

F_ {x} \ cdot (x-x_0) + F_ {y} (y-y_0) = 0

Linie normală

Regularitatea curbei vă permite, de asemenea, să definiți linia normală la curbă în punctul respectiv $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ ecuației carteziene:

\phi '(t_{0})\cdot (\phi (t_{0})-\phi )+\psi '(t_{0})\cdot (\psi (t_{0})-\psi )=0

{\ displaystyle \ phi '(t_ {0}) \ cdot (\ phi (t_ {0}) - \ phi) + \ psi' (t_ {0}) \ cdot (\ psi (t_ {0}) - \ psi) = 0}

\ phi '(t_0) \ cdot (\ phi (t_0) - \ phi) + \ psi' (t_0) \ cdot (\ psi (t_0) - \ psi) = 0

În cazul unei curbe reprezentate explicit:

f'(x_{0})\cdot (y-y_{0})+(x-x_{0})=0

{\ displaystyle f '(x_ {0}) \ cdot (y-y_ {0}) + (x-x_ {0}) = 0}

f '(x_0) \ cdot (y-y_0) + (x-x_0) = 0

în timp ce pentru cazul curbei reprezentate implicit:

F_{y}\cdot (x-x_{0})-F_{x}\cdot (y-y_{0})=0

{\ displaystyle F_ {y} \ cdot (x-x_ {0}) - F_ {x} \ cdot (y-y_ {0}) = 0}

F_ {y} \ cdot (x-x_0) - F_ {x} \ cdot (y-y_0) = 0

Directorii cosinilor

Din însăși definiția derivatului obținem:

{\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}}=\tan \theta

{\ displaystyle {\ frac {\ psi '(t)} {\ phi' (t)}} = \ tan \ theta}

{\ displaystyle {\ frac {\ psi '(t)} {\ phi' (t)}} = \ tan \ theta}

care reprezintă geometric panta liniei tangente, adică tangenta raportorului unghiului pe care linia tangentă o formează cu axa orizontală x . Din această relație putem extrage cosinuzii direcți ai liniei tangente:

\cos \theta =\pm {\frac {\phi '(t)}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}\qquad \sin \theta =\pm {\frac {\psi '(t)}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}

{\ displaystyle \ cos \ theta = \ pm {\ frac {\ phi '(t)} {\ sqrt {\ phi' (t) ^ {2} + \ psi '(t) ^ {2}}}} \ qquad \ sin \ theta = \ pm {\ frac {\ psi '(t)} {\ sqrt {\ phi' (t) ^ {2} + \ psi '(t) ^ {2}}}}}

\ cos \ theta = \ pm \ frac {\ phi '(t)} {\ sqrt {\ phi' (t) ^ 2 + \ psi '(t) ^ 2}} \ qquad \ sin \ theta = \ pm \ frac {\ psi '(t)} {\ sqrt {\ phi' (t) ^ 2 + \ psi '(t) ^ 2}}

Reparameterizare

Având în vedere o curbă $\alpha :I\to \mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ alpha: I \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ alpha: I \ to \ R ^ 2$ diferențiat și o funcție $t=t(s)$ ${\ displaystyle t = t (s)}$ $t = t (s)$ definit pe interval $S\to I$ ${\ displaystyle S \ to I}$ $S \ to I$ apoi curba:

\beta =\alpha \circ t:S\to \mathbb {R} ^{2}

{\ displaystyle \ beta = \ alpha \ circ t: S \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

\ beta = \ alpha \ circ t: S \ to \ R ^ 2

astfel încât pentru fiecare $s\in S$ ${\ displaystyle s \ în S}$ $s \ în S$ da ai $\beta (s)=\alpha (t(s))$ ${\ displaystyle \ beta (s) = \ alpha (t (s))}$ $\ beta (s) = \ alpha (t (s))$ este o reparameterizare a curbei $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ . Reparameterizarea este regulată dacă $t(S)=I$ ${\ displaystyle t (S) = I}$ $t (S) = I$ Și $t'(s)\neq 0$ ${\ displaystyle t '(s) \ neq 0}$ $t '(s) \ n și 0$ .

Arată că dacă $\beta =\alpha \circ t$ ${\ displaystyle \ beta = \ alpha \ circ t}$ $\ beta = \ alpha \ circ t$ este o reparameterizare a $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ prin $t=t(s)$ ${\ displaystyle t = t (s)}$ $t = t (s)$ asa de:

\beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))

{\ displaystyle \ beta '(s) = {\ frac {dt} {ds}} \ alpha' (t (s))}

\ beta '(s) = \ frac {dt} {ds} \ alpha' (t (s))

De fapt, dacă $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$ $\ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))$ asa de $\beta (s)=(\phi (t(s)),\psi (t(s)))$ ${\ displaystyle \ beta (s) = (\ phi (t (s)), \ psi (t (s)))}$ $\ beta (s) = (\ phi (t (s)), \ psi (t (s)))$ și prin regula de derivare a funcțiilor compuse obținem:

{\frac {d\phi (t(s))}{ds}}={\frac {d\phi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}\qquad {\frac {d\psi (t(s))}{ds}}={\frac {d\psi }{dt}}\cdot {\frac {dt}{ds}}

{\ displaystyle {\ frac {d \ phi (t (s))} {ds}} = {\ frac {d \ phi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}} \ qquad {\ frac {d \ psi (t (s))} {ds}} = {\ frac {d \ psi} {dt}} \ cdot {\ frac {dt} {ds}}}

\ frac {d \ phi (t (s))} {ds} = \ frac {d \ phi} {dt} \ cdot \ frac {dt} {ds} \ qquad \ frac {d \ psi (t (s) )} {ds} = \ frac {d \ psi} {dt} \ cdot \ frac {dt} {ds}

și așa avem:

\beta '(s)={\frac {dt}{ds}}\left({\frac {d\phi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}}\right)={\frac {dt}{ds}}\alpha '(t(s))

{\ displaystyle \ beta '(s) = {\ frac {dt} {ds}} \ left ({\ frac {d \ phi} {dt}}, {\ frac {d \ psi} {dt}} \ right ) = {\ frac {dt} {ds}} \ alpha '(t (s))}

\ beta '(s) = \ frac {dt} {ds} \ left (\ frac {d \ phi} {dt}, \ frac {d \ psi} {dt} \ right) = \ frac {dt} {ds } \ alpha '(t (s))

Lungimea unei curbe

Lungimea în formă parametrică

Să se acorde $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$ $\ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))$ diferențiat e $[a,b]\subseteq I$ ${\ displaystyle [a, b] \ subseteq I}$ $[a, b] \ subseteq I$ . Apoi lungimea arcului unei curbe între $[\alpha (a),\alpha (b)]$ ${\ displaystyle [\ alpha (a), \ alpha (b)]}$ $[\ alfa (a), \ alfa (b)]$ este valabil:

{\mbox{Lungh}}(\alpha )=\int _{a}^{b}\|\alpha '(t)\|dt=\int _{a}^{b}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}\cdot dt

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} (\ alpha) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ alpha '(t) \ | dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ phi '(t) ^ {2} + \ psi' (t) ^ {2}}} \ cdot dt}

\ mbox {Lungime} (\ alfa) = \ int_ {a} ^ {b} \ | \ alpha '(t) \ | dt = \ int_ {a} ^ {b} \ sqrt {\ phi '(t) ^ 2 + \ psi' (t) ^ 2} \ cdot dt

În plus, dacă $\beta (s)$ ${\ displaystyle \ beta (s)}$ $\ beta (s)$ este o reparameterizare a curbei, apoi:

{\mbox{Lungh}}(\alpha )={\mbox{Lung}}(\beta )=\int _{a}^{b}\|\alpha '(t)\|dt=\int _{a}^{b}\|\beta '(s)\|ds

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} (\ alpha) = {\ mbox {Lung}} (\ beta) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ alpha '(t) \ | dt = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ beta '(s) \ | ds}

\ mbox {Length} (\ alpha) = \ mbox {Length} (\ beta) = \ int_ {a} ^ {b} \ | \ alpha '(t) \ | dt = \ int_ {a} ^ {b} \ | \ beta '(s) \ | ds

Lungimea în formă carteziană explicită

Dacă curba este reprezentată în formă carteziană explicită:

y=f(x)

{\ displaystyle y = f (x)}

y = f (x)

acesta este:

F(x,y)=y-f(x)=0

{\ displaystyle F (x, y) = yf (x) = 0}

F (x, y) = y-f (x) = 0

apoi, știind că:

{\frac {\partial F}{\partial y}}=1

{\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial y}} = 1}

\ frac {\ partial F} {\ partial y} = 1

este asta:

{\frac {\partial F}{\partial x}}=-{\frac {df(x)}{dx}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial F} {\ partial x}} = - {\ frac {df (x)} {dx}}}

\ frac {\ partial F} {\ partial x} = - \ frac {df (x)} {dx}

aplicând teorema lui Pitagora elementelor infinitezimale și integrându-se în intervalul de variație al absciselor, lungimea curbei este dată de:

{\mbox{Lungh}}(y)=\int _{a}^{b}{{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\cdot dx}

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} (y) = \ int _ {a} ^ {b} {{\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {dy} {dx}} \ right) ^ {2 }}} \ cdot dx}}

\ mbox {Lungime} (y) = \ int_ {a} ^ {b} {\ sqrt {1 + \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ 2} \ cdot dx}

Parametrizarea în coordonatele polare plane

O formă de parametrizare care își asumă o importanță considerabilă în studiul matematicii, geometriei și în multe domenii de aplicare a matematicii este cea din coordonatele polare plane . Având în vedere o curbă care are parametrizarea în coordonatele polare plane în formă carteziană:

r=r(\theta )\qquad c\leq \theta \leq d

{\ displaystyle r = r (\ theta) \ qquad c \ leq \ theta \ leq d}

r = r (\ theta) \ qquad c \ le \ theta \ le d

și în formă parametrică cu parametru $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ :

{\begin{cases}\phi (\theta )=r(\theta )\cos \theta \\\psi (\theta )=r(\theta )\sin \theta \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ phi (\ theta) = r (\ theta) \ cos \ theta \\\ psi (\ theta) = r (\ theta) \ sin \ theta \ end {cases}}}

\ begin {cases} \ phi (\ theta) = r (\ theta) \ cos \ theta \\ \ psi (\ theta) = r (\ theta) \ sin \ theta \ end {cases}

atunci derivatele sale sunt:

{\begin{cases}\phi '(\theta )=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \\\psi '(\theta )=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ phi '(\ theta) = r' (\ theta) \ cos \ theta -r (\ theta) \ sin \ theta \\\ psi '(\ theta) = r' ( \ theta) \ sin \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta \ end {cases}}}

\ begin {cases} \ phi '(\ theta) = r' (\ theta) \ cos \ theta - r (\ theta) \ sin \ theta \\ \ psi '(\ theta) = r' (\ theta) \ sin \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta \ end {cases}

astfel încât lungimea curbei să fie egală cu:

{\mbox{Lungh}}=\int _{c}^{d}{\sqrt {\phi '(\theta )^{2}+\psi '(\theta )^{2}}}\cdot d\theta =\int _{c}^{d}{\sqrt {r(\theta )^{2}+r'(\theta )^{2}}}d\theta =\int _{c}^{d}{\sqrt {r(\theta )^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\cdot d\theta

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} = \ int _ {c} ^ {d} {\ sqrt {\ phi '(\ theta) ^ {2} + \ psi' (\ theta) ^ {2}}} \ cdot d \ theta = \ int _ {c} ^ {d} {\ sqrt {r (\ theta) ^ {2} + r '(\ theta) ^ {2}}} d \ theta = \ int _ { c} ^ {d} {\ sqrt {r (\ theta) ^ {2} + \ left ({\ frac {dr} {d \ theta}} \ right) ^ {2}}} \ cdot d \ theta}

{\ displaystyle {\ mbox {Length}} = \ int _ {c} ^ {d} {\ sqrt {\ phi '(\ theta) ^ {2} + \ psi' (\ theta) ^ {2}}} \ cdot d \ theta = \ int _ {c} ^ {d} {\ sqrt {r (\ theta) ^ {2} + r '(\ theta) ^ {2}}} d \ theta = \ int _ { c} ^ {d} {\ sqrt {r (\ theta) ^ {2} + \ left ({\ frac {dr} {d \ theta}} \ right) ^ {2}}} \ cdot d \ theta}

Abscisa curbiliniară

Același subiect în detaliu: lungimea unui arc .

Un abscisă curbiliniară sau un parametru de lungime a arcului este definit ca reparameterizarea particulară obținută prin fixarea extremității inferioare a integrării $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ astfel încât integralul:

s(t)=\int _{a}^{t}\|\alpha '(u)\|du

{\ displaystyle s (t) = \ int _ {a} ^ {t} \ | \ alpha '(u) \ | du}

s (t) = \ int_ {a} ^ {t} \ | \ alfa '(u) \ | du

depinde doar de extremul superior $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ destinat ca variabilă. Această funcție este lungimea arcului unei curbe începând de la un punct fix $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și poate avea un semn. Puteți oricând să refaceți curba în abscisa curbiliniară. În acest fel, dacă vrem să calculăm dreapta tangentă într-un punct, știm că este paralelă cu un vector tangent unitar, adică cu un versor. Se arată că o curbă poate fi oricând reparameterizată prin intermediul abscisei curvilinei după cum urmează:

de cand $s'(t)=\|\alpha '(t)\|>0$ ${\ displaystyle s '(t) = \ | \ alpha' (t) \ |> 0}$ $s '(t) = \ | \ alpha '(t) \ | > 0$ atunci poate fi inversat $s(t)$ ${\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ iar dacă inversul său este $t=t(s)$ ${\ displaystyle t = t (s)}$ $t = t (s)$ atunci avem reparametrizarea curbată a absciselor dată de:

\beta (s)=\alpha (t(s))

{\ displaystyle \ beta (s) = \ alpha (t (s))}

\ beta (s) = \ alpha (t (s))

Se arată apoi că vectorul tangent este unitar după cum urmează:

\|\beta '(s)\|=\left|{\frac {dt}{ds}}\right|\cdot \|\alpha '(t)\|={\frac {1}{|s'(t)|}}\|\alpha '(t)\|={\frac {\|\alpha '(t)\|}{\|\alpha '(t)\|}}=1

{\ displaystyle \ | \ beta '(s) \ | = \ left | {\ frac {dt} {ds}} \ right | \ cdot \ | \ alpha' (t) \ | = {\ frac {1} { | s '(t) |}} \ | \ alpha' (t) \ | = {\ frac {\ | \ alpha '(t) \ |} {\ | \ alpha' (t) \ |}} = 1 }

{\ displaystyle \ | \ beta '(s) \ | = \ left | {\ frac {dt} {ds}} \ right | \ cdot \ | \ alpha' (t) \ | = {\ frac {1} { | s '(t) |}} \ | \ alpha' (t) \ | = {\ frac {\ | \ alpha '(t) \ |} {\ | \ alpha' (t) \ |}} = 1 }

Curbură

Același subiect în detaliu: Curbură .

Este $\beta (s)$ ${\ displaystyle \ beta (s)}$ $\ beta (s)$ o curbă parametrizată în funcție de abscisa curvilinie e $\beta '(s)$ ${\ displaystyle \ beta '(s)}$ $\ beta '(s)$ versorul său tangent. Funcția este luată în considerare $k(s):S\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle k (s): S \ to \ mathbb {R}}$ $k (s): S \ to \ R$ care se asociază cu fiecare $s\in S$ ${\ displaystyle s \ în S}$ $s \ în S$ valoarea $k(s)=\|\beta ''(s)\|$ ${\ displaystyle k (s) = \ | \ beta '' (s) \ |}$ $k (s) = \ | \ beta '' (s) \ |$ . Functia $k(s)\geq 0$ ${\ displaystyle k (s) \ geq 0}$ $k (s) \ ge 0$ este curbura curbei.

Dacă curba este reprezentată în mod explicit, curbura sa este:

k={\frac {f''(x)}{\left(1+f'^{2}\right)^{3/2}}}

{\ displaystyle k = {\ frac {f '' (x)} {\ left (1 + f '^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}

k = \ frac {f '' (x)} {\ left (1 + f '^ {2} \ right) ^ {3/2}}

în timp ce pentru o curbă reprezentată de o ecuație implicită:

k={\frac {F_{y}^{2}\cdot F_{xx}-2F_{x}\cdot F_{y}\cdot F_{xy}+F_{x}^{2}\cdot F_{yy}}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{3/2}}}

{\ displaystyle k = {\ frac {F_ {y} ^ {2} \ cdot F_ {xx} -2F_ {x} \ cdot F_ {y} \ cdot F_ {xy} + F_ {x} ^ {2} \ cdot F_ {yy}} {\ left (F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}

k = \ frac {F_ {y} ^ {2} \ cdot F_ {xx} - 2 F_ {x} \ cdot F_ {y} \ cdot F_ {xy} + F_ {x} ^ {2} \ cdot F_ { yy}} {\ left (F_ {x} ^ {2} + F_ {y} ^ {2} \ right) ^ {3/2}}

Formule Frenet

Același subiect în detaliu: Geometria diferențială a curbelor .

O curbă (suficient de regulată) în spațiu are în fiecare dintre punctele sale un sistem de referință, numit triedrul lui Frenet , dat de un triplet de vectori tangenți , normali și binormali . Această curbă este plană exact atunci când vectorul binormal este întotdeauna constant.

Este $\beta (s)=(\phi (s),\psi (s))$ ${\ displaystyle \ beta (s) = (\ phi (s), \ psi (s))}$ $\ beta (s) = (\ phi (s), \ psi (s))$ o curbă parametrizată în funcție de abscisa curbiliniară. Vectorul tangent este dat de:

T(s)=\beta '(s)=(\phi '(s),\psi '(s))

{\ displaystyle T (s) = \ beta '(s) = (\ phi' (s), \ psi '(s))}

T (s) = \ beta '(s) = (\ phi' (s), \ psi '(s))

Vectorul unitar normal este dat de:

N(s)=i\cdot T(s)=(-\psi '(s),\phi '(s))

{\ displaystyle N (s) = i \ cdot T (s) = (- \ psi '(s), \ phi' (s))}

N (s) = i \ cdot T (s) = (- \ psi '(s), \ phi' (s))

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este unitatea imaginară. Folosind definiția curburii, o altă formă poate fi dată vectorului unitar normal:

N(s)={\frac {T'(s)}{\|T'(s)\|}}={\frac {T'(s)}{k(s)}}v

{\ displaystyle N (s) = {\ frac {T '(s)} {\ | T' (s) \ |}} = {\ frac {T '(s)} {k (s)}} v}

N (s) = \ frac {T '(s)} {\ | T '(s) \ |} = \ frac {T' (s)} {k (s)} v

Se arată că vectorul ${T.}^{'}$ ${\ displaystyle T '}$ $T '$ este ortogonală la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și deci paralel cu $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ .

În cele din urmă, formulele Frenet și curbura pentru o curbă plană cu orice parametrizare $\alpha (t)=(\phi (t),\psi (t))$ ${\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))}$ $\ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))$ Sunt:

T(t)={\frac {\alpha '(t)}{\|\alpha '(t)\|}}\qquad N(t)={\frac {i\cdot \alpha '(t)}{\|\alpha '(t)\|}}\qquad k(t)={\frac {\alpha ''(t)\cdot (i\alpha '(t))}{\|\alpha '(t)\|^{3}}}

{\ displaystyle T (t) = {\ frac {\ alpha '(t)} {\ | \ alpha' (t) \ |}} \ qquad N (t) = {\ frac {i \ cdot \ alpha '( t)} {\ | \ alpha '(t) \ |}} \ qquad k (t) = {\ frac {\ alpha' '(t) \ cdot (i \ alpha' (t))} {\ | \ alfa '(t) \ | ^ {3}}}}

T (t) = \ frac {\ alpha '(t)} {\ | \ alpha '(t) \ |} \ qquad N (t) = \ frac {i \ cdot \ alpha' (t)} {\ | \ alpha '(t) \ |} \ qquad k (t) = \ frac {\ alpha' '(t) \ cdot (i \ alpha' (t))} {\ | \ alpha '(t) \ | ^ 3}

Bibliografie

( EN ) Erwin Kreyszig, Geometrie diferențială , Publicații Dover, New York, 1991, ISBN 0-486-66721-9
(EN) Euclid, comentariu și trad. de TL Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
( EN ) EH Lockwood O carte a curbelor (1961, Cambridge)
Luciano Cresci, Celebrele curbe : O invitație la istoria matematicii prin cele mai fascinante curbe plate , Franco Muzzio Editore , 1998, p. 194, ISBN 88-7021-864-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Geometry Center , pe geom.uiuc.edu .
Plane Curve Plotting Machines Arhivat 10 august 2006 la Internet Archive . de la Laboratorul de Matematică Modena al Muzeului de Istorie Naturală și Instrumentare Științifică al Universității din Modena și Reggio Emilia .
( EN ) Curbe celebre de la MacTutor
( FR ) Curbe 2D și curbe 3D de la Mathcurve, Encyclopédie des formes Mathématiques remarquables
( EN ) Mathematics Museum (Japonia) Arhivat 8 august 2006 la Internet Archive . prezintă diverse cifre, generate în principal prin sistemul de calcul Mathematica .
( EN ) Un Dicționar vizual al curbelor plane celebre prezintă diferite figuri, generate în principal de sistemul de calcul Mathematica .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 19103 · LCCN (EN) sh85034926 · BNF (FR) cb11950676s (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică