În matematică, o curbă plană este o curbă care se află în întregime într-un plan (unic) și este identificabilă printr-o funcție continuă{\ displaystyle \ alpha: I \ to \ mathbb {R} ^ {2}} , unde este {\ displaystyle I} este un interval din mulțimea numerelor reale . De exemplu, o curbă pe un spațiu euclidian de dimensiune mai mare de 2 este plană dacă suportul său se află pe un plan conținut în spațiul euclidian în care este definită.
O imagine de curbă este numită și suport de curbă. Uneori, termenul „curbă” este folosit și pentru a indica sprijinul unei curbe.
Curbele plane sunt obiecte geometrice larg studiate, din cele mai vechi timpuri, cu obiective nu numai de tip matematic. Colecția de curbe care a fost studiată în termeni matematici este foarte variată și complexă și merită remarcat imediat câteva distincții.
Se spune că o curbă plană este simplă dacă nu se intersectează, adică dacă este pentru fiecare {\ displaystyle t_ {1} \ neq t_ {2} \ în I} da ai {\ displaystyle \ alpha (t_ {1}) \ neq \ alpha (t_ {2})} . În caz contrar, se spune că are puncte duble, triple și așa mai departe.
O altă distincție se referă la faptul că o curbă plană este mărginită , adică are ca suport un subset mărginit de {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} , sau este nelimitat . Curbele plane limitate sunt elipse și lemniscate , în timp ce hiperbolele și spiralele sunt nelimitate.
Un tip de reprezentare a curbei plane este ecuația:
{\ displaystyle y = f (x)}
astfel încât în fiecare punct {\ displaystyle x} corespunde unui punct {\ displaystyle y} , și astfel încât fiecare punct {\ displaystyle (x, y)} a planului reprezintă suportul curbei. O curbă de acest tip se mai numește grafic în raport cu graficul funcțiilor reale. De fapt, reprezentarea poate fi scrisă și ca:
{\ displaystyle \ alpha (t) = (t, f (t))}
adică ca funcție a unei variabile independente. Această reprezentare are multe limitări geometrice rezultate din faptul că o curbă foarte des are o descriere foarte complexă în această formă, nepotrivită pentru studiul proprietăților geometrice.
Reprezentare cartesiană implicită
O curbă poate fi reprezentată și sub forma:
{\ displaystyle F (x, y) = 0}
adică în funcție de două variabile independente. Deși această reprezentare este în unele scopuri mai bună decât cea explicită, problemele pot fi întâmpinate atunci când este necesar să se explice o variabilă în funcție de cealaltă, ceea ce nu este întotdeauna posibil.
Reprezentare parametrică
Cea mai bună reprezentare este cu siguranță cea parametrică, cum ar fi:
{\ displaystyle \ alpha: {\ begin {cases} x = \ phi (t) \\ y = \ psi (t) \ end {cases}}}
unde este {\ displaystyle t \ in I} se numește parametru . Condiția continuității nu este suficientă pentru a reprezenta și a studia curbele concepute ca obiecte unidimensionale cu fir cu caracteristicile de regularitate dorite. Condiția suplimentară este ca curba plană să fie diferențiată în interior {\ displaystyle I} .
O curbă plan parametrică {\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))} se spune că poate fi diferențiat în orice moment dacă funcționează {\ displaystyle \ phi (t)} Și {\ displaystyle \ psi (t)} au derivate continue în fiecare punct. Se spune că o curbă plan diferențiată este regulată la un moment dat {\ displaystyle t_ {0}} de sine {\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (\ phi' (t_ {0}), \ psi '(t_ {0})) \ neq (0,0)} și regulat în I se {\ displaystyle \ alpha '(t) \ neq (0,0)} în fiecare punct al lui I. Un punct în care avem {\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (0,0)} se spune că este un punct singular pentru curbă.
Linie tangentă
Regularitatea curbei permite definirea liniei tangente la curbă. Este {\ displaystyle \ alpha (t)} o curbă diferențiată e {\ displaystyle P_ {0} = \ alpha (t_ {0})} un punct regulat. Puteți defini linia tangentă la curbă în acel punct ca linia care trece {\ displaystyle P_ {0}} paralel cu vectorul{\ displaystyle \ alpha '(t_ {0}) = (\ phi' (t_ {0}), \ psi '(t_ {0}))} .
Linia tangentă are o ecuație cartesiană în acest punct {\ displaystyle t_ {0}} :
În cazul unei curbe reprezentată explicit de o ecuație {\ displaystyle y = f (x)} , linia tangentă la punctul{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} este dat:
în timp ce în cazul unei curbe reprezentate de o ecuație implicită {\ displaystyle F (x, y) = 0} linia tangentă la punct{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} este dat de:
care reprezintă geometric panta liniei tangente, adică tangenta raportorului unghiului pe care linia tangentă o formează cu axa orizontală x . Din această relație putem extrage cosinuzii direcți ai liniei tangente:
Având în vedere o curbă {\ displaystyle \ alpha: I \ to \ mathbb {R} ^ {2}} diferențiat și o funcție {\ displaystyle t = t (s)} definit pe interval {\ displaystyle S \ to I} apoi curba:
{\ displaystyle \ beta = \ alpha \ circ t: S \ to \ mathbb {R} ^ {2}}
astfel încât pentru fiecare {\ displaystyle s \ în S} da ai {\ displaystyle \ beta (s) = \ alpha (t (s))} este o reparameterizare a curbei {\ displaystyle \ alpha} . Reparameterizarea este regulată dacă {\ displaystyle t (S) = I} Și {\ displaystyle t '(s) \ neq 0} .
Arată că dacă {\ displaystyle \ beta = \ alpha \ circ t} este o reparameterizare a {\ displaystyle \ alpha} prin {\ displaystyle t = t (s)} asa de:
De fapt, dacă {\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))} asa de {\ displaystyle \ beta (s) = (\ phi (t (s)), \ psi (t (s)))} și prin regula de derivare a funcțiilor compuse obținem:
O formă de parametrizare care își asumă o importanță considerabilă în studiul matematicii, geometriei și în multe domenii de aplicare a matematicii este cea din coordonatele polare plane . Având în vedere o curbă care are parametrizarea în coordonatele polare plane în formă carteziană:
{\ displaystyle r = r (\ theta) \ qquad c \ leq \ theta \ leq d}
și în formă parametrică cu parametru {\ displaystyle \ theta} :
{\ displaystyle {\ begin {cases} \ phi (\ theta) = r (\ theta) \ cos \ theta \\\ psi (\ theta) = r (\ theta) \ sin \ theta \ end {cases}}}
atunci derivatele sale sunt:
{\ displaystyle {\ begin {cases} \ phi '(\ theta) = r' (\ theta) \ cos \ theta -r (\ theta) \ sin \ theta \\\ psi '(\ theta) = r' ( \ theta) \ sin \ theta + r (\ theta) \ cos \ theta \ end {cases}}}
Un abscisă curbiliniară sau un parametru de lungime a arcului este definit ca reparameterizarea particulară obținută prin fixarea extremității inferioare a integrării {\ displaystyle a} astfel încât integralul:
{\ displaystyle s (t) = \ int _ {a} ^ {t} \ | \ alpha '(u) \ | du}
depinde doar de extremul superior {\ displaystyle t} destinat ca variabilă. Această funcție este lungimea arcului unei curbe începând de la un punct fix {\ displaystyle a} și poate avea un semn. Puteți oricând să refaceți curba în abscisa curbiliniară. În acest fel, dacă vrem să calculăm dreapta tangentă într-un punct, știm că este paralelă cu un vector tangent unitar, adică cu un versor. Se arată că o curbă poate fi oricând reparameterizată prin intermediul abscisei curvilinei după cum urmează:
de cand {\ displaystyle s '(t) = \ | \ alpha' (t) \ |> 0} atunci poate fi inversat {\ displaystyle s (t)} iar dacă inversul său este {\ displaystyle t = t (s)} atunci avem reparametrizarea curbată a absciselor dată de:
{\ displaystyle \ beta (s) = \ alpha (t (s))}
Se arată apoi că vectorul tangent este unitar după cum urmează:
Este {\ displaystyle \ beta (s)} o curbă parametrizată în funcție de abscisa curvilinie e {\ displaystyle \ beta '(s)} versorul său tangent. Funcția este luată în considerare {\ displaystyle k (s): S \ to \ mathbb {R}} care se asociază cu fiecare {\ displaystyle s \ în S} valoarea {\ displaystyle k (s) = \ | \ beta '' (s) \ |} . Functia {\ displaystyle k (s) \ geq 0} este curbura curbei.
Dacă curba este reprezentată în mod explicit, curbura sa este:
{\ displaystyle k = {\ frac {f '' (x)} {\ left (1 + f '^ {2} \ right) ^ {3/2}}}}
în timp ce pentru o curbă reprezentată de o ecuație implicită:
O curbă (suficient de regulată) în spațiu are în fiecare dintre punctele sale un sistem de referință, numit triedrul lui Frenet , dat de un triplet de vectori tangenți , normali și binormali . Această curbă este plană exact atunci când vectorul binormal este întotdeauna constant.
Este {\ displaystyle \ beta (s) = (\ phi (s), \ psi (s))} o curbă parametrizată în funcție de abscisa curbiliniară. Vectorul tangent este dat de:
{\ displaystyle T (s) = \ beta '(s) = (\ phi' (s), \ psi '(s))}
Vectorul unitar normal este dat de:
{\ displaystyle N (s) = i \ cdot T (s) = (- \ psi '(s), \ phi' (s))}
unde este {\ displaystyle I} este unitatea imaginară. Folosind definiția curburii, o altă formă poate fi dată vectorului unitar normal:
{\ displaystyle N (s) = {\ frac {T '(s)} {\ | T' (s) \ |}} = {\ frac {T '(s)} {k (s)}} v}
Se arată că vectorul {\ displaystyle T '} este ortogonală la {\ displaystyle T} și deci paralel cu {\ displaystyle N} .
În cele din urmă, formulele Frenet și curbura pentru o curbă plană cu orice parametrizare {\ displaystyle \ alpha (t) = (\ phi (t), \ psi (t))} Sunt: