Curbură scalară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În geometria diferențială, curbura scalară (sau scalara lui Ricci) este cea mai simplă invariantă de curbură a unei varietăți riemanniene . Fiecare punct al varietății asociază un număr real determinat de geometria intrinsecă a varietății în jurul acelui punct. Curbura scalară este definită pornind de la tensorul de curbură Ricci , care este la rândul său definit pornind de la tensorul Riemann .

Definiție

Este un soi Riemannian sau soi pseudo-Riemannian . Curbura scalară este o funcție diferențiată care se asociază fiecărui punct de un număr real , definit prin contractarea celor doi indici ai tensorului de curbură Ricci după cum urmează:

Tensorul de curbură Ricci este un tensor de tip , care este o formă biliniară . Curbura scalară este urmele acestei forme biliniare. Pentru a calcula urmele este necesar să se utilizeze tensorul metric , prezent în formulă.

Curbura scalară este un tensor de tip , care este o funcție.

Proprietate

Simboluri ale lui Christoffel

Într-un sistem de coordonate , curbura scalară depinde de simbolurile Christoffel și de derivatele lor parțiale după cum urmează:

Volum

Curbura scalară poate fi interpretată geometric ca un număr care măsoară modul în care volumul din jurul unui punct este distorsionat.

Când curbura scalară într-un punct este pozitivă, volumul unei bile mici centrat în punct a soiului Riemannian are un volum mai mic decât o minge de aceeași rază în spațiul euclidian . Pe de altă parte, dacă curbura scalară este negativă, bila are un volum mai mare. Din punct de vedere cantitativ, această relație poate fi exprimată după cum urmează. Raportul dintre volumele unei mingi de rază este dat de

A doua derivată a acestui raport, evaluată în , este exact

În mod similar, marginile acestor bile sunt -sferele, ale căror zone satisfac următoarea relație:

Obiect riemannian

Spre deosebire de tensorul Riemann și tensorul Ricci , curbura scalară necesită puternic tensorul metric să fie definit. Prin urmare, nu există o definiție a curburii scalare în contextul mai larg al conexiunilor .

Exemple

Suprafaţă

Pe o suprafață, curbura scalară este egală cu curbura Gaussiană înmulțit cu două:

Minge

Curbura scalară a unei hipersfere de rază este constant în fiecare punct și este egal cu

Bibliografie

  • ( EN ) JL Synge și A. Schild, Tensor Calculus , prima publicație Dover 1978 ediția, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2 .
  • ( EN ) JR Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists , Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5 .
  • ( EN ) DC Kay, Tensor Calculus , Schaum's Outlines, McGraw Hill (SUA), 1988, ISBN 0-07-033484-6 .
  • ( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
  • ( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică