Curbură secțională

În geometria diferențială , curbura secțională măsoară curbura unui distribuitor riemannian de -a lungul planurilor de spațiu tangente la un punct din distribuitor. Curbura secțională conține aceeași cantitate de informații ca și tensorul Riemann .

Definiție

Este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un punct dintr-o varietate riemanniană $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , Și $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ un plan (care trece prin origine) în spațiul tangent $T_{p}$ ${\ displaystyle T_ {p}}$ $T_ {p}$ în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Harta exponențială trimite o deschidere de $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ care conține originea pe o suprafață $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , cuprins în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și tangent la $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Aceasta este suprafața obținută prin luarea locală a tuturor geodezilor care ies din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ mită a $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ .

Curbură secțională $K(\sigma )$ ${\ displaystyle K (\ sigma)}$ ${\ displaystyle K (\ sigma)}$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în comparație cu $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ este curbura gaussiană a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Relația cu tensorul Riemann

Curbura secțională poate fi obținută din tensorul Riemann . Lasa-i sa fie $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ doi vectori care generează planul $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ ; formula este valabilă

K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle  \over \langle u,u\rangle \cdot \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}

{\ displaystyle K (\ sigma) = {\ langle R (u, v) v, u \ rangle \ over \ langle u, u \ rangle \ cdot \ langle v, v \ rangle - \ langle u, v \ rangle ^ {2}}}

{\ displaystyle K (\ sigma) = {\ langle R (u, v) v, u \ rangle \ over \ langle u, u \ rangle \ cdot \ langle v, v \ rangle - \ langle u, v \ rangle ^ {2}}}

unde este $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este tensorul Riemann, iar produsul scalar este dat de tensorul metric .

Pe de altă parte, tensorul Riemann poate fi exprimat pe deplin în termeni de curburi secționale la punct.

Spații cu curbură secțională constantă

O varietate constantă de curbură secțională este o varietate riemanniană în care curbura secțională este întotdeauna o valoare $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , indiferent de punct $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ iar din avion $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ . Dacă nu scalăm tensorul metric cu un factor constant, se poate presupune că această curbură este $K=-1$ ${\ displaystyle K = -1}$ ${\ displaystyle K = -1}$ , sau $1$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle 1}$ . Colectorul este numit apoi hiperbolic , plat și , respectiv, eliptic .

Pentru orice dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ există (dacă nu este redimensionat) exact un colector hiperbolic, plat și eliptic, care este, de asemenea, conectat, pur și simplu conectat și complet . Acestea sunt respectiv spațiul hiperbolic $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ , spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ și sfera $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ .

Orice alt distribuitor eliptic hiperbolic, plat și complet are unul dintre aceste trei modele ca acoperire universală și, prin urmare, este construit din acesta ca un coeficient al unui grup adecvat de izometrii .

De exemplu, spațiul proiectiv real $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ mathbb {P} ^ {n}}$ este o varietate eliptică obținută prin citarea sferei $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ prin harta antipodală .

Bibliografie

( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică