Descompunerea Cholesky

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În algebra liniară descompunerea Cholesky este factorizarea unei matrice definite hermitiene și pozitive într-o matrice triunghiulară inferioară și transpunerea conjugată a acesteia. Poate fi considerat ca un caz special al descompunerii LU mai generale. Denumirea acestei descompuneri amintește de matematicianul francez André-Louis Cholesky (1875-1918).

Definiție

Este o matrice definită pătrată , ermitiană și pozitivă pe un câmp ; astfel de poate fi descompus ca:

cu matrice triunghiulară inferioară cu elemente diagonale pozitive e matricea conjugată transpusă a .

Dacă matricea este real și simetric , conjugatul transpus al lui coincide cu transpunerea și descompunerea este simplificată:

Algoritmul lui Cholesky

Algoritmul Cholesky , folosit pentru a calcula matricea de descompunere , este o versiune modificată a algoritmului Gauss .

Algoritmul recursiv începe cu luarea în considerare:

Este definit pentru următoarele i:

astfel încât:

Recursiunea se termină după n pași unde . Vedem că matricea triunghiulară inferioară se calculează ca:

Algoritm Cholesky Banachiewicz

Algoritmul Cholesky Banachiewicz oferă o formulă pentru calcularea directă a intrărilor matricei triunghiulare inferioare . Începe prin formarea colțului din stânga sus al matricei și continuă să calculeze matricea rând cu rând:

          
                 
                                        
                             

Algoritm Cholesky-Crout

Algoritmul Cholesky-Crout oferă o procedură oarecum diferită pentru calcularea intrărilor matricei triunghiulare inferioare . Începeți prin formarea colțului din stânga sus al matricei și continuă să calculeze matricea coloană cu coloană:

          
                            
                
                                       

Exemplu

Un exemplu practic pentru o descompunere Cholesky a unei matrice 2x2:

          

      

               

Bibliografie

  • ( RO ) SJ Julier și JK Uhlmann. O metodă generală pentru aproximarea transformărilor neliniare ale distribuției probabilității .
  • ( RO ) SJ Julier și JK Uhlmann, O nouă extensie a filtrului Kalman la sisteme neliniare, în Proc. AeroSense: 11th Int. Symp. Aerospace / Defense Sensing, Simulation and Controls, 1997, pp. 182–193.

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică