Descompunerea unei matrice

În matematică , în special în algebra liniară , descompunerea unei matrice sau factorizarea unei matrice este factorizarea unei matrice în produsul mai multor matrice. Există mai multe descompuneri matriciale în literatură, fiecare dintre ele fiind asociată cu o anumită clasă de probleme.

Lista unora dintre cele mai utilizate descompuneri

Descompunerea LU
- Se aplică: matricilor pătrate .
- Descompunere: $A=LU$ ${\ displaystyle A = LU}$ ${\ displaystyle A = LU}$ , unde este $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este o matrice triunghiulară inferioară e $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ o matrice triunghiulară superioară.
Descompunerea Cholesky
- Se aplică: matricilor pătrate , matricilor simetrice , pozitive definite .
- Descompunere: $A=U^{T}U$ ${\ displaystyle A = U ^ {T} U}$ ${\ displaystyle A = U ^ {T} U}$ , unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o matrice triunghiulară superioară cu elemente diagonale pozitive.
Descompunerea QR
- Aplicabil: matricilor de dimensiuni $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ .
- Descompunere: $A=QR$ ${\ displaystyle A = QR}$ ${\ displaystyle A = QR}$ unde este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este o matrice ortogonală a dimensiunii $m\times m$ ${\ displaystyle m \ times m}$ $m \ times m$ Și $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ o matrice triunghiulară superioară a dimensiunii $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ .
Descompunerea la valori singulare
- Aplicabil: matricilor de dimensiuni $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ .
- Descompunere: $A=UDV^{H}$ ${\ displaystyle A = UDV ^ {H}}$ ${\ displaystyle A = UDV ^ {H}}$ , unde este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este o matrice diagonală non-negativă, $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt matrici unitare și $V^{H}$ ${\ displaystyle V ^ {H}}$ ${\ displaystyle V ^ {H}}$ denotă transpunerea conjugată a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .
Teorema spectrală
- Aplicabil: matricilor pătrate cu vectori proprii distincti (dar nu neapărat și valori proprii distincte).
- Descompunere: $A=VDV^{-1}$ ${\ displaystyle A = VDV ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle A = VDV ^ {- 1}}$ , unde este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este o matrice diagonală compusă din valori proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și coloanele din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt vectorii proprii corespunzători.
Forma canonică Iordania
- Se aplică: matricilor pătrate.
- Forma canonică a lui Jordan generalizează descompunerea spectrală la cazurile în care există valori proprii repetate și diagonalizarea nu este posibilă. Există, de asemenea, descompunerea Jordan-Chevalley , care poate fi descrisă cu ușurință atunci când este cunoscută forma canonică a Iordaniei; spre deosebire de acesta, însă, există sub ipoteze mai slabe (nu necesită alegerea unei baze).
Descompunerea Schur
- Se aplică: matricilor pătrate.
- Descompunere (versiune complexă): $A=UTU^{H}$ ${\ displaystyle A = UTU ^ {H}}$ ${\ displaystyle A = UTU ^ {H}}$ , unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o matrice unitară, $U^{H}$ ${\ displaystyle U ^ {H}}$ ${\ displaystyle U ^ {H}}$ este conjugatul transpune e $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o matrice triunghiulară superioară numită formă Schur complexă, care are valorile proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe diagonală. O matrice complexă admite întotdeauna o descompunere Schur.
- Descompunere (versiune reală): $A=VSV^{T}$ ${\ displaystyle A = VSV ^ {T}}$ ${\ displaystyle A = VSV ^ {T}}$ , unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $V^{T}$ ${\ displaystyle V ^ {T}}$ ${\ displaystyle V ^ {T}}$ (transpunerea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ) sunt matrici reale. Atunci $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este ortogonal, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o matrice triunghiulară superioară bloc numită forma reală Schur. O matrice reală admite o descompunere Schur dacă și numai dacă are toate valorile proprii reale.
Descompunerea QZ
- Aplicabil: două matrice pătrate.
- Descompunere (versiune complexă): $A=QSZ^{H}$ ${\ displaystyle A = QSZ ^ {H}}$ ${\ displaystyle A = QSZ ^ {H}}$ Și $B=QTZ^{H}$ ${\ displaystyle B = QTZ ^ {H}}$ ${\ displaystyle B = QTZ ^ {H}}$ unde este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ sunt unitare, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ triunghiular superior.
- Descompunere (versiune reală): $A=QSZ^{T}$ ${\ displaystyle A = QSZ ^ {T}}$ ${\ displaystyle A = QSZ ^ {T}}$ Și $B=QTZ^{T}$ ${\ displaystyle B = QTZ ^ {T}}$ ${\ displaystyle B = QTZ ^ {T}}$ , unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ , $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ sunt matrici reale. Atunci $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ sunt ortogonale, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ blocuri triunghiulare superioare.
Factorizarea Takagi
- Se aplică: matricilor pătrate, complexe și simetrice.
- Descompunere: $A=VDV^{T}$ ${\ displaystyle A = VDV ^ {T}}$ ${\ displaystyle A = VDV ^ {T}}$ , unde este $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este diagonală și non-negativă e $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este unitar.
Factorizarea non-negativă
- Aplicabil: matricilor de dimensiuni $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ non-negativ.
- Descompunere: $A=WH$ ${\ displaystyle A = WH}$ ${\ displaystyle A = WH}$ , unde este $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ au elemente pozitive.
- Factorizarea non-negativă este o soluție, de obicei a unui minim local, a funcției obiective:

f(W,H)={\frac {1}{2}}\|A-WH\|_{F}^{2}

{\ displaystyle f (W, H) = {\ frac {1} {2}} \ | A-WH \ | _ {F} ^ {2}}

{\ displaystyle f (W, H) = {\ frac {1} {2}} \ | A-WH \ | _ {F} ^ {2}}

cu constrângeri

w_{i,j}\geq 0

{\ displaystyle w_ {i, j} \ geq 0}

{\ displaystyle w_ {i, j} \ geq 0}

Și

h_{h,k}\geq 0

{\ displaystyle h_ {h, k} \ geq 0}

{\ displaystyle h_ {h, k} \ geq 0}

.

Alte descompuneri

Bibliografie

( EN ) Ben Noble și James W. Daniel, Algebra liniară aplicată , Londra, Pearson Education, 1987, ISBN 978-01-30-41260-7 . pp. Sectă. 9.4–9.5
( EN ) David M. Young și Robert T. Gregory, Un sondaj de matematică numerică , Dover Pubs, 1989, ISBN 978-04-86-65691-5 .
( EN ) Gilbert Strang, Algebra liniară și aplicațiile sale , Boston, Cengage Learning, Inc, 2004, ISBN 978-05-34-42200-4 .
( EN ) Josef Stoer și Roland Bulirsch, Introducere în analiza numerică , Berlin, Springer, 1993.
(EN) Harm Bart, Israel Gohberg și Marinus A. Kaashoek, Factorizarea minimă a funcțiilor matricei și a operatorilor, Basel, Birkhäuser, 1979 ISBN 978-37-64-31139-1 .
( EN ) Carl P. Simon și Lawrence E. Blume, Matematică pentru economiști , New York, WW Norton & Co, 2010, ISBN 978-03-93-11752-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) M. Hazewinkel, Factorizarea matricei , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
Calculator de matrice online , la bluebit.gr . Adus la 17 aprilie 2014 (arhivat din original la 12 decembrie 2008) .
GraphLab Bibliotecă de filtrare colaborativă GraphLab, implementare paralelă pe scară largă a metodelor de descompunere a matricei (în C ++) pentru multicore.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema