Fiecare corp, sau mai corect fiecare sistem izotrop continuu , supus unui stres , se deformează proporțional cu intensitatea efortului aplicat, natura materialului și alte condiții fizice. În general, o deformare elastică este o deformare care dispare atunci când stresul încetează, altfel există o deformare plastică sau permanentă. În general, există materiale care au practic doar deformare plastică și materiale care sunt elastice până la o anumită valoare a stresului, după care există plasticitate până la eșec .
Mai mult, putem defini deformarea ca fiind omogenă, atunci fiecare element de volum al sistemului continuu se deformează în același mod, indiferent de poziția sa, și nu omogen, dacă aceleași elemente de volum ale corpului se deformează diferit în funcție de poziție.
Elasticitate
Elasticul este o deformare, în general mică, care dispare când încetează stresul. Discuția despre elasticitate presupune acceptarea unor ipoteze:
- că corpul este în echilibru sub acțiunea forțelor aplicate;
- că deformațiile sunt proporționale cu deplasările (în acest caz vorbim de elasticitate liniară);
- că deplasările sunt funcții infinitesimale și regulate în vecinătatea punctului considerat.
Cel mai ilustrativ exemplu este acela de a lua în considerare un cilindru metalic de lungime {\ displaystyle l} , diametru {\ displaystyle d} a suprafețelor de bază {\ displaystyle S} . Dacă specimenul cilindric este supus la două forțe {\ displaystyle F} se poate observa tracțiune opusă aplicată pe axa longitudinală:
- procentul de deformare axială, deformarea relativă a lungimii:
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {l} = {\ frac {l'-l} {l}} = {\ frac {\ Delta l} {l}}}
- deformare procentuală laterală, deformare a lățimii relative:
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {d} = {\ frac {d'-d} {d}} = {\ frac {\ Delta d} {d}}}
- Aceste deformări pot fi grupate în deformarea de volum mai generală:
- {\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {V'-V} {V}} = {\ frac {\ Delta V} {V}}}
unde clar {\ displaystyle the} , {\ displaystyle d '} Și {\ displaystyle V '} sunt noile dimensiuni ale specimenului în echilibru odată cu aplicarea stresului.
Un alt tip de deformare, torsiunea , care se datorează aplicării unui moment de răsucire , se observă o rotație în jurul axei longitudinale a specimenului. Acest tip de deformare nu dă naștere unei variații a dimensiunilor și, prin urmare, se numește deformare a formei .
O altă deformare a formei este cea numită deformare de forfecare sau alunecare, în urma aplicării unei perechi de forțe, de exemplu la două baze ale unui cub. În acest caz, schimbarea formei cubului creează un unghi {\ displaystyle \ theta} a fețelor laterale:
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {t} = tan \ theta}
În general, pentru deformări mici, corpurile respectă legea lui Hooke . Tipurile de deformări sunt prezentate mai jos.
Deformații elastice omogene
- Deformare axială (compresie sau tracțiune):
- {\ displaystyle \ sigma = E \ cdot \ varepsilon _ {l}}
unde este {\ displaystyle E} este modulul de elasticitate sau modulul lui Young.
Deformația laterală este proporțională cu cea axială:
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {d} = - \ nu \ cdot \ varepsilon _ {l}}
unde este {\ displaystyle \ nu} este raportul lui Poisson .
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {V} = {\ frac {\ sigma} {K}}}
unde este {\ displaystyle K} se numește modulul de compresibilitate .
- Deformarea prin fluare sau forfecare
În acest caz se formează un unghi în urma aplicării unui cuplu pe elementul de volum, cuantificabil ca:
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {t} = {\ frac {t} {G}}}
unde este {\ displaystyle G} se numește modul de rigiditate .
Deformare axială
În inginerie și știința materialelor , deformarea axială (în engleză Cauchy strain sau inginerie ) se calculează ca raportul dintre măsura tensiunii totale și dimensiunea inițială a corpului la care sunt aplicate forțele de suprafață. Deformația normală sau deformarea nominală {\ displaystyle e} a unui element material liniar sau a unei fibre încărcate axial este definită ca schimbarea lungimii {\ displaystyle {\ Delta L}} pe unitate de lungime inițială {\ displaystyle L} a elementului liniar sau a fibrei. Deformarea normală este pozitivă dacă tensiunea este aplicată materialului și negativă dacă materialul este comprimat. De la care:
- {\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ Delta L} {L}} = {\ frac {lL} {L}}}
unde este {\ displaystyle l} este lungimea finală a elementului.
Măsura tensiunii, care este un număr pur, de exemplu printr-un dispozitiv de măsurare a tensiunii , este adesea exprimată în părți per milion sau microstrain .
- {\ displaystyle microstrain = {\ varepsilon} \ times {10 ^ {6}}}
Microepsilon sau microstrain nu sunt permise în sistemul internațional. Măsura deformării longitudinale este adimensională și poate fi exprimată în {\ displaystyle [\ mu m / m]} sau în ppm. [1]
Deformații elastice neomogene
În cele din urmă, considerăm torsiunea care apare pentru aplicarea unui moment paralel cu axa de simetrie:
{\ displaystyle M = C \ cdot \ theta}
unde este {\ displaystyle C} se numește modul de torsiune .
Tensorul tensiunii
Să luăm în considerare un punct{\ displaystyle P ({\ vec {r}})} (de exemplu, în coordonate carteziene tridimensionale {\ displaystyle P (x, y, z)} ) a unui sistem continuu izotrop nedefinit și a unui alt punct {\ displaystyle Q ({\ vec {r}} + d {\ vec {r}})} (în cc3D {\ displaystyle Q (x + dx, y + dy, z + dz)} ) departe de {\ displaystyle P} a unei secțiuni suficient de mici {\ displaystyle d {\ vec {r}}} (în coordonate carteziene {\ displaystyle \ left (dx, dy, dz \ right)} ). În urma unei deformări punctul {\ displaystyle P} vei aduce {\ displaystyle P '} călător {\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {P}} '- {\ vec {P}}} (în cc3D {\ displaystyle \ left (u_ {x}, u_ {y}, u_ {z} \ right)} ) Și {\ displaystyle Q} vei aduce {\ displaystyle Q '} , de o secțiune suficient de mică {\ displaystyle {\ vec {u}} + d {\ vec {u}} = {\ vec {Q}} '- {\ vec {Q}}} (în cc3D {\ displaystyle \ left (u_ {x} + du_ {x}, u_ {y} + du_ {y}, u_ {z} + du_ {z} \ right)} ). Practic vectorul {\ displaystyle {\ vec {PQ}}} (în cc3D corespunde: {\ displaystyle \ left (dx, dy, dz \ right)} ) se va transforma în{\ displaystyle {\ vec {P'Q '}}} (în cc3D {\ displaystyle \ left (du_ {x}, du_ {y}, du_ {z} \ right)} ). De exemplu, n coordonate carteziene tridimensionale:
- {\ displaystyle {\ begin {cases} du_ {x} = {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial y}} dy + {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial z}} dz \\ du_ {y} = {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial x}} dx + {\ frac { \ partial u_ {y}} {\ partial y}} dy + {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial z}} dz \\ du_ {z} = {\ frac {\ partial u_ {z} } {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial y}} dy + {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial z}} dz \ end {cases }}}
Putem exprima aceste relații sub formă de matrice în care notăm o matrice diferențială parțială numită matrice de deformare {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} . În cazul cc3D:
{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} du_ {x} \\ du_ {y} \\ du_ {z} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial u_ {x}} { \ partial x}} & {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial z}} \\ {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial z}} \\ {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial z} } \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} dx \\ dy \\ dz \ end {bmatrix}}}
prin urmare, în acest caz de cc3D, matricea de deformare este:
{\ displaystyle {\ bar {\ bar {\ varepsilon}}} (x, y, z) \ equiv {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial x}} și {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial z}} \\ {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial x }} & {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial z}} \\ {\ frac {\ partial u_ {z} } {\ partial x}} & {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial z}} \ end {bmatrix}}}
și cu această definiție, ecuația de deplasare din cc3D poate fi implicit rescrisă sub formă de matrice:
{\ displaystyle d {\ vec {u}} (x, y, z) = {\ bar {\ bar {\ varepsilon}}} (x, y, z) \ cdot d {\ vec {r}} (x , y, z)}
Această ecuație este de fapt mult mai generală și mai precisă în orice sistem de coordonate ortogonale n-dimensionale. Ecuația de deplasare într-un sistem ortogonal generic poate fi scrisă sub formă de tensor :
- {\ displaystyle d {\ vec {u}} = (d {\ vec {r}} \ cdot \ nabla) {\ vec {u}} = \ left (d {\ vec {r}} \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial {\ vec {r}}}} \ right) {\ vec {u}}}
adică adoptând notația lui Einstein :
- {\ displaystyle du_ {i} = {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial r_ {j}}} dr_ {j}}
În general, tensorul de deformare este definit ca:
- {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ equiv \ nabla {\ vec {u}} = {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial {\ vec {r}}}}}
sau în notația lui Einstein:
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial r_ {j}}}}
Tensorul de deformare este generic și nu este legat de sistemul de coordonate adoptat; tensorul reprezintă mai degrabă o anumită matrice decât alta, în funcție de sistemul de coordonate ales (2D cartezian, 2D polar, 3D cartezian, 3D cilindric, 3D sferic etc.).
În acest fel, ecuația de deplasare poate fi exprimată într-o formă tensorică generică, care nu depinde de sistemul de coordonate ales:
- {\ displaystyle d {\ vec {u}} = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ cdot d {\ vec {r}}}
sau în notația lui Einstein:
- {\ displaystyle du_ {i} = \ varepsilon _ {ij} dr_ {j}}
Acum, o teoremă generală a calculului tensorial afirmă că orice tensor poate fi descompus într-un tensor simetric plus un tensor antisimetric{\ displaystyle u = u_ {s} + u_ {a}} . În coordonate carteziene tridimensionale, de exemplu:
{\ displaystyle u_ {s} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial x}} și {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial x}} \ right) & {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial x}} \ right) \\ {\ frac {1} {2}} \ left ( {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial y}} \ right) & {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial y}} și {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial u_ {z}} { \ partial y}} \ right) \\ {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial u_ {x }} {\ partial z}} \ right) & {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial z}} \ right) & {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial z}} \ end {bmatrix}}}
{\ displaystyle u_ {a} = {\ begin {bmatrix} 0 & {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial x}} \ right) și {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial z}} - { \ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial x}} \ right) \\ {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial x} } - {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial y}} \ right) & 0 & {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {y}} { \ partial z}} - {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial y}} \ right) \\ {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {z }} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial z}} \ right) și {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial z}} \ right) & 0 \ end {bmatrix}}}
Tensorul simetric descrie deformările după cum urmează:
- expansiuni relative sau alungiri, reprezentate de elementele de pe diagonala principală:
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {ii} = {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial r_ {i}}}}
- alunecări sau distorsiuni, reprezentate de elemente în afara diagonalei principale:
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ varepsilon _ {ji} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial r_ {j}}} + {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial r_ {j}}} \ right)}
Tensorul antisimetric, pe de altă parte, descrie rotații rigide în jurul punctului P , care nu reprezintă o deformare. De exemplu, în coordonatele carteziene tridimensionale:
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {xy} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial u_ {y }} {\ partial x}} \ right)}
reprezintă rotație {\ displaystyle d \ theta _ {z}} în jurul axei z, în jurul punctului P.
Urma tensorului de deformare, egală cu divergența deplasării, reprezintă un invariant și se numește coeficient de expansiune cubic:
- {\ displaystyle tr ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = \ varepsilon _ {ii} = \ nabla \ cdot {\ vec {u}}} .
unde este {\ displaystyle \ nabla} reprezintă operatorul nabla . În coordonatele carteziene, de exemplu, forma explicită a invariantului este:
{\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial u_ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial u_ {z}} {\ partial z}}}
Efort
Pentru a ști ce se întâmplă în interiorul corpului supus unui stres, trebuie să introducem conceptul de efort . În general, atât forțele de volum, cât și forțele de suprafață vor acționa asupra unui element de volum al sistemului izotrop continuu.
- Forțele de volum sunt acele forțe datorate interacțiunii corpului cu corpurile externe și sunt proporționale cu densitatea corpului în sine. În general, acestea nu intervin în tratamentul elasticității liniare.
- Forțele de suprafață, pe de altă parte, sunt acele forțe situate pe suprafețele corpului care sunt transmise către toate suprafețele infinitezimale în care se poate considera că corpul continuu este împărțit.
Prin tensiune se înțelege forța transmisă pe unitate de suprafață, în jurul unui punct, care este creată în urma aplicării tensiunilor externe pe un sistem, pentru a menține echilibrul; forța nu neapărat perpendiculară pe suprafață. Putem reprezenta mai ușor efortul ca:
- {\ displaystyle \ sigma = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {n}} = F \ cos \ theta}
- solicitare tangențială sau de forfecare:
- {\ displaystyle \ tau = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {t}} = F \ sin \ theta}
unde este {\ displaystyle {\ vec {n}}} Și {\ displaystyle {\ vec {t}}} ele reprezintă vectororii normali și respectiv tangenți la suprafața pe care se aplică forța.
Unitatea de efort este Pascal, sau Newton pe metru pătrat.
Relația cauchy
Considerăm un element de volum suficient de mic {\ displaystyle dV} în cadrul unui sistem izotrop continuu și alegem cele trei suprafețe coincidente cu planurile de coordonate {\ displaystyle d \ pi _ {x}} , {\ displaystyle d \ pi _ {y}} , {\ displaystyle d \ pi _ {z}} , ale căror versori de ieșire sunt respectiv {\ displaystyle {\ vec {i}}} , {\ displaystyle {\ vec {j}}} , {\ displaystyle {\ vec {k}}}
Să vedem ce relație există între aceste suprafețe și o suprafață infinitesimală generică {\ displaystyle d \ pi} orientat cu versor de ieșire {\ displaystyle {\ vec {n}}} .
Să luăm în considerare tensiunile care acționează pe suprafețe cu referințe evidente ale indexurilor la versori: {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {x}} , {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {y}} , {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {z}} , {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {n}} ; pentru starea de echilibru:
- {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {x} d \ pi _ {x} + {\ vec {\ sigma}} _ {y} d \ pi _ {y} + {\ vec {\ sigma} } _ {z} d \ pi _ {z} + {\ vec {\ sigma}} _ {n} d \ pi _ {n} = 0}
din care obținem relația Cauchy :
- {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {n} = - \ left ({\ vec {\ sigma}} _ {x} \ cos {\ widehat {ni}} + {\ vec {\ sigma}} _ {y} \ cos {\ widehat {nj}} + {\ vec {\ sigma}} _ {z} \ cos {\ widehat {nk}} \ right)}
unde totul este împărțit pentru {\ displaystyle d \ pi _ {n}} și știind asta {\ displaystyle {\ frac {d \ pi _ {x}} {d \ pi _ {n}}} = \ cos {\ widehat {ni}}} , si asa mai departe.
Tensorul de stres
Pornind de la relația Cauchy putem dezvolta relația vectorială în componente ale {\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {n}} , cu referințe evidente pentru indexuri:
- {\ displaystyle \ sigma _ {xn} = \ sigma _ {xx} \ cos ni + \ sigma _ {xy} \ cos nj + \ sigma _ {xz} \ cos nk}
- {\ displaystyle \ sigma _ {yn} = \ sigma _ {yx} \ cos ni + \ sigma _ {yy} \ cos nj + \ sigma _ {yz} \ cos nk}
- {\ displaystyle \ sigma _ {zn} = \ sigma _ {zx} \ cos ni + \ sigma _ {zy} \ cos nj + \ sigma _ {zz} \ cos nk}
În acest fel, obținem o matrice numită tensor de tensiune pe suprafața infinitesimală generică a versorului {\ displaystyle {\ vec {n}}} :
{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {xx} & \ sigma _ {xy} & \ sigma _ {xz} \\\ sigma _ {yx} & \ sigma _ {yy} & \ sigma _ {yz} \\\ sigma _ {zx} & \ sigma _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ end {bmatrix}}}
Termenii de pe diagonala principală sunt tensiunile normale care acționează pe suprafața generică. Termenii din afara diagonalei principale reprezintă componentele eforturilor de forfecare. Trebuie să subliniem pentru elementele din afara diagonalei principale că:
{\ displaystyle \ sigma _ {ij} = \ sigma _ {ji}}
de aceea tensorul este simetric, iar elementele independente din cc3D devin șase în loc de nouă. Urma acestui tensor este un invariant și este utilizată pentru a generaliza definiția presiunii într-un mod mai abstract. De fapt, în coordonatele carteziene tridimensionale:
{\ displaystyle 3p \ equiv \ sigma _ {xx} + \ sigma _ {yy} + \ sigma _ {zz}} .
În general, în coordonatele ortogonale într-un spațiu cu dimensiunea n, presiunea este definită după cum urmează:
{\ displaystyle p \ equiv {\ frac {\ sigma _ {ii}} {n}}}
unde notația lui Einstein a fost folosită pentru concizie.
Relațiile stres-încordare
Am spus că, după aplicarea unor solicitări pur normale, avem deformări axiale:
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {x} = {\ frac {\ sigma _ {xx}} {E}} - {\ frac {\ nu} {E}} \ cdot \ sigma _ {yy} - {\ frac { \ nu} {E}} \ cdot \ sigma _ {zz}}
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {y} = - {\ frac {\ nu} {E}} \ cdot \ sigma _ {xx} + {\ frac {\ sigma _ {yy}} {E}} - {\ frac {\ nu} {E}} \ cdot \ sigma _ {zz}}
- {\ displaystyle \ varepsilon _ {z} = - {\ frac {\ nu} {E}} \ cdot \ sigma _ {xx} - {\ frac {\ nu} {E}} \ cdot \ sigma _ {yy} + {\ frac {\ sigma _ {zz}} {E}}}
Inversând aceste relații găsim una dintre constantele Lamé .
Mai mult, dacă cele trei eforturi normale sunt egale: {\ displaystyle \ sigma _ {xx} = \ sigma _ {yy} = \ sigma _ {zz} = \ sigma} , asa de:
{\ displaystyle \ varepsilon _ {l} = {\ frac {1-2 \ nu} {E}} \ cdot \ sigma} .
și determinați deformarea volumului:
{\ displaystyle \ varepsilon _ {V} = 3 \ cdot \ varepsilon = {\ frac {3 \ sigma \ left (1-2 \ nu \ right)} {E}}}
unde este {\ displaystyle K = {\ frac {E} {3 \ left (1-2 \ nu \ right)}}} este modulul de compresibilitate.
Derivăm deformarea laterală:
{\ displaystyle \ varepsilon _ {d} = {\ frac {\ left (1+ \ nu \ right) \ sigma} {E}}}
Deformația laterală poate fi legată de deformarea de forfecare:
{\ displaystyle \ varepsilon _ {t} = {\ frac {\ tau} {G}} = {\ frac {2 \ sigma \ left (1+ \ nu \ right)} {E}}}
unde este {\ displaystyle G = {\ frac {E} {2 \ left (1+ \ nu \ right)}}} este modulul de rigiditate.
Notă
- ^ Teoria și practica măsurătorii, G. Fanti, edițiile Libreria Progetto Padova, 2017. (pagina 189) .
Bibliografie
Voci correlate