A sferei și a cilindrului

Această intrare pe tema geometriei este doar o schiță . Contribuiți la îmbunătățirea acestuia în conformitate cu convențiile Wikipedia . Urmați sfaturile de proiectare de referință .

A sferei și a cilindrului
Alte titluri	De sphaera et cylindro
Autor	Arhimede
Prima ed. original	Al III-lea î.Hr.
Tip	tratat
Subgen	matematica
Limba originală	Greacă
Editați datele pe Wikidata · Manual

Pe sferă și cilindru este o carte dublă scrisă de Arhimede și privește relațiile dintre cele două figuri geometrice.

Portretul lui Arhimede

Prima ediție ilustrată latină a tratatului a fost publicată la Veneția în 1573 de matematicianul Niccolò Tartaglia , în colaborare cu tipograful Venturini-Ruffinelli. ^[1]

Unele dintre propoziții conținute

1. suprafața laterală a unui cilindru drept se măsoară prin înmulțirea circumferinței bazei cu înălțimea sa;
2. suprafața laterală a unui con se obține prin înmulțirea circumferinței bazei cu jumătate din latură;
3. suprafața unei sfere este egală cu de patru ori cea a unui cerc mare din aceeași sferă;
4. pentru a obține volumul unui cilindru, cercul de bază se înmulțește cu înălțimea sa;
5. pentru a avea volumul unui con, cercul de bază se înmulțește cu treimea înălțimii;
6. pentru a obține volumul unei sfere, suprafața acesteia este înmulțită cu treimea razei.

De asemenea, conține celebra propoziție: „suprafața solidului inscripționat este egală cu 2/3 din suprafața totală a cilindrului; și astfel volumul sferei este 2/3 din volumul cilindrului”.

Pe sferă și cilindru

Cupa lui Luca Valerio

Luca Valerio ^{[ neclar ]}

Volumul sferei este 2/3 din cel al unui cilindru având ca bază un cerc maxim al sferei și diametrul său pentru înălțime

O demonstrație a acestui rezultat important al lui Arhimede este prezentată mai jos, în urma unui raționament datorat lui Luca Valerio , un matematician din secolul al XVI-lea foarte apreciat de Galilei .

Dat fiind un cilindru având o bază de rază r și înălțime r, iar în el sunt înscrise o jumătate de sferă și un con, ca în figură. Să luăm în considerare conul și solidul obținut prin scăderea jumătății sferei din cilindru ( vasul lui Luca Valerio). Prin tăierea acestor două figuri cu un plan paralel cu baza, se obțin două secțiuni concentrice: o coroană circulară A ₁ și un cerc A ₂ cu raza h. Se poate vedea cu ușurință că zonele acestor două secțiuni sunt aceleași:

A ₁ = π * r ² - π * (r ² - h ² ) = π * h ² = A ₂

Acest rezultat al egalității este valabil pentru toate planurile de disecare posibile paralele cu baza figurilor. Luca Valerio, folosind metoda indivizibilă , consideră bolul și conul ca fiind compuse din infinitele "foi" de grosime infinitesimală generate de planurile de secțiune și ajunge la concluzia că cele două volume, fiind compuse din foi de suprafață egală, sunt egal. Dar volumul conului este 1/3 din cel al cilindrului. Apoi, volumul jumătății de sferă este egal cu 2/3 din cel al cilindrului, ceea ce este exact enunțul teoremei. Pe scurt, aceste rezultate se pot spune în felul următor: Cele trei volume: ale conului, ale sferei și ale cilindrului, stau împreună ca numerele 1,2 și 3.

Se spune că Arhimede a vrut figura unei sfere și a unui cilindru gravate pe piatra sa funerară, în memoria marii sale descoperiri. Și se spune că această testament a fost îndeplinită de consulul Marcello. Cicero spune că, pe vremea când era chestor în Sicilia, curiozitatea l-a determinat să caute mormântul lui Arhimede și, găsindu-se într-o zi în fața porții Siracuzei, a văzut printre alte morminte o coloană cu figura unei sfere și un cilindru gravat. pe el. După ce a curățat locul de arbuști, a recunoscut, din inscripțiile corodate în timp, că acesta era tocmai mormântul lui Arhimede pe care îl căuta.

spf_surface ^{[ neclar ]}

Suprafața sferei este egală cu suprafața laterală a unui cilindru având ca bază cercul maxim al sferei și diametrul său pentru înălțime .

Dovedind această propoziție, dovedim, de asemenea, că suprafața sferei este de 4 ori cercul său mare. De fapt, suprafața laterală a cilindrului pe care o considerăm este: S = 2πr * 2r = 4πr ² .

Să considerăm două planuri orizontale generice la o distanță infinitesimală, care taie suprafețele sferei și ale cilindrului așa cum se arată în figură. Demonstrăm că suprafața laterală a cilindrului elementar de înălțime A'B '= dr este egală cu suprafața generată de rotația segmentului AB în jurul axei OP', adică:

dr * 2πR = AB * 2πr

adică:

dr * R = AB * r

sau:

dr / r = AB / R

Dar această proporție este evidentă în figură, dată fiind asemănarea triunghiurilor OPP 'și ABC, formate din linii perpendiculare între ele. Luând distanțele dr infinit de mici, astfel încât să rectifice arcele APB, apoi, prin adăugarea tuturor suprafețelor elementare ale cilindrului și sferei, se obțin două suprafețe egale.

Notă

Bibliografie

• Arhimede și timpul său de P. Midolo - Arnaldo Lombardi Editore (1989) dintr-o reeditare din 1912.
• Lucio Lombardo Radice, Matematica de la Pitagora la Newton , Roma, Editori Riuniti, 1971.
• Attilio Frajese, Lucrările lui Arhimede , Torino, UTET, 1974.

Alte proiecte

• Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Sfera și cilindrul

linkuri externe

• ( EN ) Pe sferă și cilindru , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică