Derivat slab
În matematică , derivata slabă este o generalizare a conceptului de derivată a unei funcții cu funcții care nu sunt neapărat diferențiate , ci doar integrabile , adică funcții care aparțin spațiului L 1 .
Definiția derivatului slab generează soluții slabe în spațiile Sobolev ale problemelor diferențiale parțiale , frecvente în diverse sectoare de analiză, în special de analiză funcțională .
Definiție
Este o funcție în . Se spune că este derivatul slab al dacă, pentru fiecare astfel încât , este adevarat ca:
Această definiție este motivată de tehnica de integrare pe părți .
Același concept poate fi generalizat pentru spațiile a dimensiune: if aparține spațiului funcțiilor integrabile local în (adică fixat un punct , poate fi integrat într-un cartier din ), sau daca , apoi, dat un multi-index , se spune -al derivat slab al dacă pentru fiecare (spațiu de funcții infinit diferențiate și cu suport compact ), susține că:
De sine admite un derivat slab, este de obicei indicat ca:
Conceptul de derivată slabă a motivat introducerea, în secolul al XX-lea , a unor noi spații de funcții: spațiile lui Sobolev .
Exemple
- Funcția de valoare absolută , nediferențiat pentru , admite ca un derivat slab funcția semn :
- Funcția caracteristică a numerelor raționale sau funcția Dirichlet , care nu este diferențiat în niciun moment al domeniului, admite o derivată slabă nulă: de fapt, deoarece măsura Lebesgue a este 0, pentru fiecare
Proprietate
- Dacă două funcții sunt derivatele slabe ale aceleiași funcții, atunci ele diferă pe un set de măsuri zero. Dacă luăm în considerare clase de echivalență a funcțiilor, derivata slabă devine unică.
- Dacă o funcție este diferențiată în sens tradițional, atunci derivata și derivata slabă coincid (întotdeauna până la seturi de măsuri zero). Din acest motiv, derivatul slab este considerat o generalizare a derivatului tradițional. Mai mult, regulile clasice de derivare a sumei și produsului se extind neschimbate la derivatele slabe.
Bibliografie
- ( EN ) David Gilbarg, Neil Trudinger , Ecuații diferențiale parțiale eliptice de ordinul doi , Berlin, Springer, 2001, p. 149, ISBN 3-540-41160-7 .
- ( EN ) Evans, Lawrence C., Ecuații diferențiale parțiale , Providence, RI, American Mathematical Society, 1998, p. 242, ISBN 0-8218-0772-2 .
- ( EN ) Knabner, Peter; Angermann, Lutz, Metode numerice pentru ecuații parțiale eliptice și parabolice , New York, Springer, 2003, p. 53, ISBN 0-387-95449-X .
Elemente conexe
- Derivat
- Formulare slabă
- Funcție diferențiată
- Funcție integrabilă
- Funcție integrabilă local
- Generalizări ale derivatei
- Integrare pe piese
- Spațiul Sobolev
linkuri externe
- (EN) Brian Krummel - Definiția notelor derivate slabe (PDF) pe dpmms.cam.ac.uk.