Derivat slab

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , derivata slabă este o generalizare a conceptului de derivată a unei funcții cu funcții care nu sunt neapărat diferențiate , ci doar integrabile , adică funcții care aparțin spațiului L 1 .

Definiția derivatului slab generează soluții slabe în spațiile Sobolev ale problemelor diferențiale parțiale , frecvente în diverse sectoare de analiză, în special de analiză funcțională .

Definiție

Este o funcție în . Se spune că este derivatul slab al dacă, pentru fiecare astfel încât , este adevarat ca:

Această definiție este motivată de tehnica de integrare pe părți .

Același concept poate fi generalizat pentru spațiile a dimensiune: if aparține spațiului funcțiilor integrabile local în (adică fixat un punct , poate fi integrat într-un cartier din ), sau daca , apoi, dat un multi-index , se spune -al derivat slab al dacă pentru fiecare (spațiu de funcții infinit diferențiate și cu suport compact ), susține că:

De sine admite un derivat slab, este de obicei indicat ca:

Conceptul de derivată slabă a motivat introducerea, în secolul al XX-lea , a unor noi spații de funcții: spațiile lui Sobolev .

Exemple

  • Funcția de valoare absolută , nediferențiat pentru , admite ca un derivat slab funcția semn :

Proprietate

  • Dacă două funcții sunt derivatele slabe ale aceleiași funcții, atunci ele diferă pe un set de măsuri zero. Dacă luăm în considerare clase de echivalență a funcțiilor, derivata slabă devine unică.
  • Dacă o funcție este diferențiată în sens tradițional, atunci derivata și derivata slabă coincid (întotdeauna până la seturi de măsuri zero). Din acest motiv, derivatul slab este considerat o generalizare a derivatului tradițional. Mai mult, regulile clasice de derivare a sumei și produsului se extind neschimbate la derivatele slabe.

Bibliografie

  • ( EN ) David Gilbarg, Neil Trudinger , Ecuații diferențiale parțiale eliptice de ordinul doi , Berlin, Springer, 2001, p. 149, ISBN 3-540-41160-7 .
  • ( EN ) Evans, Lawrence C., Ecuații diferențiale parțiale , Providence, RI, American Mathematical Society, 1998, p. 242, ISBN 0-8218-0772-2 .
  • ( EN ) Knabner, Peter; Angermann, Lutz, Metode numerice pentru ecuații parțiale eliptice și parabolice , New York, Springer, 2003, p. 53, ISBN 0-387-95449-X .

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică