Panta liniei
{\ displaystyle t_ {1}} este dat de derivata parțială a
{\ displaystyle f} cu privire la prima variabilă din
{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} . Panta liniei
{\ displaystyle t_ {2}} este dat de derivata lui
{\ displaystyle f} față de a doua variabilă în același punct
În analiza matematică , derivata parțială este o primă generalizare a conceptului de derivată a unei funcții reale la funcții ale mai multor variabile. Dacă pentru funcții reale derivata într-un punct reprezintă panta graficului funcției (o curbă conținută în plan {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} ), derivata parțială la un punct față de (de exemplu) prima variabilă a unei funcții {\ displaystyle f (x, y)} reprezintă panta liniei tangente la curba obținută prin intersecția graficului lui {\ displaystyle f} (o suprafață conținută în spațiu {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} ) cu un plan care trece prin punctul paralel cu planul {\ displaystyle y = 0} .
Ca tehnică de calcul, derivata parțială a unei funcții față de o variabilă {\ displaystyle x} (același argument poate fi repetat pentru celelalte variabile {\ displaystyle y} , {\ displaystyle z} etc.) într-un punct se obține derivând funcția numai în variabilă {\ displaystyle x} , considerând toate celelalte variabile ca și cum ar fi constante.
Definiție
Este {\ displaystyle \ mathbf {F}: E \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}} o funcție definită pe un set deschis de spațiu euclidian {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}
Spus {\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {i} \} _ {1 \ leq i \ leq n}} Și {\ displaystyle \ {\ mathbf {u} _ {i} \} _ {1 \ leq i \ leq m}} baza canonică a {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} Și {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}} funcția poate fi scrisă astfel:
- {\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} ^ {m} F_ {i} (\ mathbf {x}) \ mathbf {u} _ {i} \ quad \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ în E}
Componenta {\ displaystyle i} -alea din funcție este atunci:
- {\ displaystyle F_ {i} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {u} _ {i} \ quad 1 \ leq i \ leq m.}
Este definit ca o derivată parțială a {\ displaystyle F_ {i}} în ceea ce privește variabila {\ displaystyle x_ {j}} limita: [1]
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial F_ {i} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {F_ {i} (\ mathbf {x} + t \ mathbf {e} _ {j}) - F_ {i} (\ mathbf {x})} {t}} = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {F_ {i } (x_ {1}, x_ {2}, \ dots x_ {j} + t, \ dots, x_ {n}) - F_ {i} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ { n})} {t}}.}
Această limită este uneori numită limita raportului incremental al {\ displaystyle f} în sens {\ displaystyle \ mathbf {x}} , și este, de asemenea, notat cu {\ displaystyle D_ {j} F_ {i}} . Derivata parțială a unei funcții sau, în cazul unei funcții vectoriale a uneia dintre componentele sale, se realizează apoi luând în considerare alte variabile decât cea cu privire la care se dorește derivarea ca constante și calculând raportul lor incremental.
Dacă o funcție este diferențiată în {\ displaystyle \ mathbf {x}} , atunci toate derivatele parțiale există în {\ displaystyle \ mathbf {x}} , [1] și determinați complet aplicația liniară {\ displaystyle \ mathbf {L}: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}} care permite aproximarea funcției la punctul: [2]
- {\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0} + \ mathbf {h}) - \ mathbf {F} (\ mathbf {x} _ {0}) = \ mathbf {L} (\ mathbf {x} _ {0}) \ mathbf {h} + \ mathbf {r} (\ mathbf {h})}
unde este {\ displaystyle \ mathbf {r} (\ mathbf {h})} este anulat atunci când incrementul este anulat {\ displaystyle \ mathbf {h}} .
Transformarea {\ displaystyle \ mathbf {L}} este reprezentat în baza canonică de matricea iacobiană și se numește derivatul funcției în {\ displaystyle \ mathbf {x}} .
Calculul derivatelor parțiale se poate face prin calcularea derivatelor obișnuite. Presupunând că doriți să calculați {\ displaystyle \ partial f (\ mathbf {x}) / \ partial x_ {k}} , este definit {\ displaystyle \ phi (t) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {k} + t, \ ldots, x_ {n})} . Atunci:
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {k}}} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} ( 0).}
Derivata parțială a {\ displaystyle f} în {\ displaystyle x} în comparație cu {\ displaystyle x_ {k}} este derivata obținută prin considerarea funcției ca funcție a tălpii {\ displaystyle x_ {k}} și luând în considerare cele rămase constante.
Derivați parțiali în R 2
Luați în considerare o funcție {\ displaystyle f} cu domeniul în {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} , set format din toate perechile ordonate {\ displaystyle (x, y)} cu {\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R},} și cu valori în{\ displaystyle \ mathbb {R}.} Această funcție în fiecare punct {\ displaystyle \ left ({x _ {{\ rm {0}} {\ rm {,}}} y _ {\ rm {0}}} \ right)} din propriul domeniu poate fi derivat atât în ceea ce privește {\ displaystyle x} :
- {\ displaystyle f_ {x} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x_ {0}, y_ {0}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x_ {0} + h, y_ {0}) - f (x_ {0}, y_ {0})} {h}}}
atât cu privire la {\ displaystyle y} :
- {\ displaystyle f_ {y} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ partial f \ over \ partial y} (x_ {0}, y_ {0}) = \ lim _ {k \ to 0} {\ frac {f (x_ {0}, y_ {0} + k) -f (x_ {0}, y_ {0})} {k}}}
Dacă ambele limite există finite, atunci funcția {\ displaystyle f} se spune că este diferențiat în {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in \ mathbb {R} ^ {2}} . Vectorul care are pentru componente {\ displaystyle {f_ {x}}} Și {\ displaystyle {f_ {y}}} se numește gradientul funcției {\ displaystyle f \;} în{\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})} iar tu indicați
{\ displaystyle \ operatorname {grad} f = \ nabla f = (f_ {x}, f_ {y})}
Derivată direcțională
Derivata parțială este un caz special al unei derivate direcționale . Folosind acest concept putem defini derivata parțială ca:
- {\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {k}}} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ mathbf {v}}} (\ mathbf { X}),}
cu {\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {e} _ {k} = (0, \ ldots, 0,1,0, \ ldots, 0)} , acesta este versorul {\ displaystyle k} -alea, adică acel vector, de modul unitar, care are toate componentele nule cu excepția la {\ displaystyle k} -alea care este egală cu {\ displaystyle 1} .
Notări
Cea mai comună notație folosește simbolul {\ displaystyle \ partial} [3] similar cu {\ displaystyle d} utilizat în notația Leibniz pentru derivarea funcțiilor unei variabile. Alte notații pentru a indica derivatul lui {\ displaystyle f (x, y)} cu privire la prima variabilă ( {\ displaystyle x} ) Sunt:
- {\ displaystyle \ partial _ {x} f (x, y) \ qquad f_ {x} (x, y) \ qquad \ mathrm {D} _ {x} f (x, y) \ qquad \ mathrm {D} ^ {(1,0)} f (x, y)}
unde ultima notație folosește așa-numitele multiindici .
Derivate parțiale de ordin superior
Operațiile de derivare pot fi aplicate și funcțiilor obținute ca derivate parțiale ale unei funcții date. Prin urmare, pot fi definite derivate parțiale de ordin mai mare decât prima.
În acest moment, se face distincția între derivatele parțiale pure , cele obținute prin derivarea repetată întotdeauna în raport cu aceeași variabilă și derivatele parțiale mixte , adică cele în care variabilele de derivare nu sunt întotdeauna aceleași. Un rezultat important, cunoscut sub numele de teorema lui Schwarz , afirmă că, dacă derivatele mixte de ordinul doi sunt continue, atunci ordinea derivării este irelevantă (adică derivă înainte {\ displaystyle x_ {i}} și apoi respect {\ displaystyle x_ {j}} duce la același rezultat al derivării primei cu privire la {\ displaystyle x_ {j}} și apoi respect {\ displaystyle x_ {i}} ).
Continuitatea derivatelor parțiale
Dacă o funcție {\ displaystyle f (\ mathbf {x})} are derivate parțiale prime continue în domeniul său în {\ displaystyle D \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}} , se spune că este o funcție de clasă {\ displaystyle C ^ {1} (D)} (citește funcția de clasă C una în {\ displaystyle D} ).
În general pentru orice număr întreg pozitiv {\ displaystyle m} dacă toate derivatele parțiale de ordin mai mici sau egale cu {\ displaystyle m} ale funcției sunt continue în setul de definiții {\ displaystyle D} , se spune că {\ displaystyle f} este elegant {\ displaystyle C ^ {m} (D).}
Un punct {\ displaystyle P} a unei suprafețe de ecuație {\ displaystyle F (x, y, z) = 0} , se numește punct simplu dacă cele trei derivate parțiale ale funcției sunt continue și nu zero. Dacă, pe de altă parte, derivatele cu privire la cele trei variabile sunt zero sau una nu există, se spune că punctul este singular .
Notă
- ^ a b W. Rudin , Pagina 216 .
- ^ W. Rudin , pagina 213 .
- ^ Simbolul corespunde minusculei „D” a alfabetului chirilic cursiv și citește „de” (vezi Д ).
Bibliografie
- Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lessons in Mathematical Analysis Due , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 , capitolul 3.
- Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .
Elemente conexe
linkuri externe