Diagonală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea altor semnificații, consultați Diagonală (dezambiguizare) .
Segmentul B'D 'este o diagonală a poligonului A'B'C'D' și a cubului. Segmentul A'C este doar o diagonală a cubului

În geometrie , segmentul care unește două vârfuri non-consecutive ale unui poligon sau un poliedru se numește diagonală . Diagonalele pot fi interne sau externe față de perimetrul poligonului sau de volumul poliedrului, în special toate sunt interne dacă figura este convexă.

Pentru a afla câte diagonale pornesc de la un vârf al unui poligon de vârfuri toate vârfurile sunt numărate cu excepția vârfului considerat și a celor două consecutive, deoarece segmentele obținute ar constitui două laturi (și, prin urmare, nu ar fi „diagonale” conform definiției date mai sus), deci avem diagonale.

Numărul total de diagonale ale unui poligon de vârfurile sunt date de formula

Demonstrații

Demonstrația 1

Diagonalele unui poligon.png

Uitați poligonul pentru o clipă și înlocuiți-l cu setul de punctele corespunzătoare ale conducerii superioare. Din fiecare punct trageți diagonalele către fiecare dintre cele rămase (pentru simplitate, nu se va face nicio distincție între laturi și diagonale); prin urmare, avem că din fiecare vârf al poligonului încep în total diagonale, dar dacă doriți să le numărați corect, trebuie să faceți următoarele raționamente:

din pleacă diagonale;
din pleacă diagonale (cea care vine de la );
din pleacă diagonale (cele care provin din Și );
...
din pleacă diagonale (fiecare punct este deja unit de propria diagonală).

Numărul total de diagonale este deci suma unei progresii aritmetice

din care, însă, este necesar să se elimine laturile, care erau considerate inițial diagonale pentru simplitate, prin urmare

După cum se poate vedea din formulă, triunghiul cu cele 3 laturi este singurul poligon care nu are diagonale.

Demonstrația 2

Să începem prin a spune că sunt necesare două vârfuri pentru a forma o diagonală. Plus segmentul iar segmentul ele reprezintă aceeași diagonală, deci ordinea în care sunt luate vârfurile nu este importantă. Apoi este o chestiune de numărare cu câte configurații ordonate pot forma obiecte luate câte 2 câteodată. Combinația ne ajută să numărăm aceste configurații, de fapt configurațiile posibile sunt combinații simple de obiecte clasa 2

Aceste configurații sunt apoi scăzute din cele obținute luând două vârfuri consecutive, de unde și numărul a vârfurilor poligonului

de la care

Analiză empirică

Tendința numărului de diagonale în funcție de numărul de laturi ale poligonului corespunde conicii formulei , unde este este numărul laturilor și este numărul de diagonale

Încercând să trasăm diagonalele diferitelor poligoane obținem următorul tabel:

Părțile laterale Diagonale
3 0
4 2
5 5
6 9
7 14
8 20
9 27
10 35
Părțile laterale Diagonale
11 44
12 54
13 65
14 77
15 90
16 104
17 119
18 135
Părțile laterale Diagonale
19 152
20 170
21 189
22 209
23 230
24 252
25 275
26 299
Părțile laterale Diagonale
27 324
28 350
29 377
30 406
31 434
32 464
33 495
34 527
Părțile laterale Diagonale
35 560
36 594
37 629
38 665
39 702
40 740
41 779
42 819

Se observă că, în timp ce laturile se succed liniar, numărul diagonalelor respective crește în mod parabolic (pentru a fi convins de acest lucru este suficient să introduceți datele într-un plan cartezian ), prin urmare formula soluției trebuie să fie o secundă ecuația gradului . Pentru a-l găsi, utilizați un sistem de 3 ecuații

unde este este numărul laturilor și este numărul de diagonale corespunzătoare. Pentru ca este acea sunt cunoscute (cel puțin pentru un număr finit de cazuri), necunoscutele sunt . Înlocuind, de exemplu, și valorile corespunzătoare ale da ai

și rezolvarea sistemului pe care îl obținem .

Deci formula soluției este care pe plan cartezian ia forma conicii cu Și .

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică