Diffeomorfism

Un difeomorfism este o funcție între două varietăți diferențiate cu proprietatea de a fi diferențiat , inversabil și având diferențiat invers.

Definiție

Dă două soiuri $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , o hartă diferențiată $f\colon M\rightarrow N$ ${\ displaystyle f \ colon M \ rightarrow N}$ ${\ displaystyle f \ colon M \ rightarrow N}$ se numește difeomorfism dacă este o bigecție și, de asemenea, invers $f^{-1}\colon N\rightarrow M$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ colon N \ rightarrow M}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ colon N \ rightarrow M}$ este diferențiat. Dacă aceste funcții sunt diferențiate pentru continuitate $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ori, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se numește a $C^{r}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$ -diffeomorfism.

Două soiuri $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ sunt difeomorfe (de obicei indicate cu $M\simeq N$ ${\ displaystyle M \ simeq N}$ ${\ displaystyle M \ simeq N}$ ) dacă există un difeomorfism $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ la $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . eu sunt $C^{r}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$ ${\ displaystyle C ^ {r}}$ - difeomorf dacă există între ele o hartă bijectivă care poate fi diferențiată prin continuitate $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ori al căror invers este diferențiat și prin continuitate $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ori.

În spațiile euclidiene

În realitate, pentru a defini o varietate diferențiată, este utilizat conceptul de difeomorfism, chiar dacă este limitat la cazul regiunilor spațiilor euclidiene . Din acest motiv, este necesar, în scopul rigorii formale, să existe o definiție a difeomorfismului între spațiile euclidiene, independent de conceptul de varietate diferențiată; asa de:

O funcție între două regiuni ( seturi deschise și conectate ) ale spațiilor euclidiene $f\colon U\to V$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to V}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to V}$ , cu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ regiune a $\mathbb {R} ^{d}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ regiune a $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ R ^ m$ , este un difeomorfism dacă este diferențiat, inversabil și inversul său este, de asemenea, diferențiat.

Într-o variabilă, un difeomorfism este o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu diferențial $d_{f}\neq 0$ ${\ displaystyle d_ {f} \ neq 0}$ ${\ displaystyle d_ {f} \ neq 0}$ deci inversabil cu invers $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ de asemenea diferențiat. În mod clar, odată ce varietățile diferențiate sunt definite, a doua definiție devine un caz special al primei.

Diffeomorfisme și homeomorfisme

De fapt, difeomorfismele joacă același rol în geometria diferențială ca homeomorfismele din topologie .

Este destul de ușor să găsești un homeomorfism între soiuri diferențiate care să nu fie un difeomorfism, mai puțin ușor este să găsești soiuri homeomorfe care nu sunt, de asemenea, difeomorfe. Este posibil să se arate că pentru dimensiuni mai mici sau egale cu 3, toate soiurile homeomorfe sunt, de asemenea, difeomorfe; pentru dimensiuni mai mari de 3 este posibil să se găsească contraexemple. Primul contraexemplu de acest tip a fost construit de John Milnor în dimensiunea 7: sfera lui Milnor .

Bibliografie

Augustin Banyaga, Structura grupurilor de difeomorfism clasic , Matematica și aplicațiile sale, 400, Kluwer Academic, 1997, ISBN 0-7923-4475-8 .
Peter L. Duren, Harmonic Mappings in the Plane , Cambridge Mathematical Tracts, 156, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-64121-7 .
Morris Hirsch, Topologie diferențială , Berlin, New York, Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-90148-0 .
Andreas Kriegl și Peter Michor, The convenient setting of global analysis , Mathematical Surveys and Monographs, 53, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0780-3 .
JA Leslie, Despre o structură diferențială pentru grupul de difeomorfisme , în Topologie. Un jurnal internațional de matematică , vol. 6, 1967, pp. 263-271, ISSN 0040-9383 ( WC ACNP ) , MR 0210147 .
John Milnor , Collected Works Vol. III, Topology Differential , American Mathematical Society, 2007, ISBN 0-8218-4230-7 .
Hideki Omori, Grupuri de minciuni cu dimensiuni infinite , Traduceri ale monografiilor matematice, 158, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-4575-6 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy