Diferență finită

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o diferență finită este o expresie sub forma unei diferențe între valorile asumate de o funcție în două puncte specifice:

Dacă diferența finită este împărțită la se obține un raport incremental . De obicei este indicat cu litera greacă urmată de cantitatea care suferă această variație (de exemplu ). [1]

Definiție

O diferență cu centrul și trece este definit ca:

Patru tipuri de diferențe finite sunt studiate în principal:

  • Diferența finită înainte (diferența directă):
  • Diferența față de înapoi (diferență înapoi):
  • Diferența centrată finită :
  • Diferența finită (diferență medie):

Diferențele finite sunt centrale în analiza numerică pentru aproximarea derivatelor și, prin urmare, în soluția numerică a ecuațiilor diferențiale .

Relația cu instrumentele derivate

Derivata unei funcții în este definit ca limita raportului incremental :

De sine , în loc să se anuleze, își asumă o valoare fixă, astfel încât termenul din dreapta poate fi scris:

astfel încât diferența să fie finită înainte împărțită la aproximează valoarea derivatei pentru mic.

Eroarea legată de această aproximare poate fi derivată prin intermediul teoremei lui Taylor . Asumând o funcție diferențiată cu continuitate eroarea este:

și aceeași formulă este valabilă pentru diferența finită înapoi:

Cu toate acestea, diferența centrată finită oferă o aproximare mai precisă. În acest caz, eroarea este proporțională cu pătratul pasului , dacă funcția este continuu diferențiată de două ori, aceasta este a doua derivată este continuu pentru fiecare :

Metoda diferenței finite

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: metoda diferenței finite .

Diferențele finite pot fi utilizate pentru discretizarea unei ecuații diferențiale obișnuite . Un exemplu clasic este metoda lui Euler , care exploatează alternativ cele trei tipuri de diferențe finite prezentate.

Operator

Un operator abstract care acționează asupra unui spațiu funcțional care, dată fiind o funcție, își întoarce diferența finită cu centrul și trece spunem un operator diferență . De exemplu, cel înainte poate fi exprimat ca:

unde este este operatorul de schimb Și identitate . În mod similar, celelalte două tipuri pot fi descrise.

Orice operator la diferențele celor văzute este liniar și îndeplinește regula lui Leibniz .

Relația lui Taylor poate fi apoi exprimată în termeni simbolici ca:

unde este este operatorul diferențial care transformă o funcție în derivata sa.

Proprietate

În analogie cu regulile de derivare, pentru un operator de diferență avem:

  • De sine este constantă
  • Liniaritate:
cu Și sunt constante.
  • Regula produsului:
  • Regula cotientului:
  • Reguli de însumare:

Diferențe finite de ordin superior

Aproximările pot fi definite iterativ pentru derivatele de ordinul următor.

De exemplu, folosind diferențe centrate pentru a aproxima obținem diferența centrată finită de ordinul doi:

Mai general, diferențele finite ale - ordinul al treilea sunt definite respectiv ca:

Dacă este necesar, cele trei tipuri pot fi amestecate centrând aproximarea succesiv în diferite puncte.

Proprietate

  • Pentru Și pozitiv:

Generalizări

O diferență finită generalizată este adesea definită ca:

unde este este vectorul coeficienților săi. O altă generalizare apare atunci când suma este înlocuită cu o serie infinită, obținându-se diferența infinită .

De asemenea, pot fi redați coeficienți dependent de punct , adică , obținându-se astfel o diferență „ponderată”. Poate fi și dependent din punct , adică : acest lucru este util de exemplu pentru a defini diferite module de continuitate .

Operatorul de diferență se generalizează la formula de inversare Möbius pe un set parțial ordonat .

Interpolația lui Newton

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: polinomul lui Newton .

Formula de interpolare a lui Newton, introdusă de Newton în Philosophiae Naturalis Principia Mathematica din 1687, [2] este analogul discret al expansiunii lui Taylor continuă:

care se aplică pentru orice funcție polinomială și pentru multe funcții analitice . Expresia:

este coeficientul binomial , în timp ce:

este factorial descrescător . Produsul gol deține și 1.

Notă

Bibliografie

  • (EN) Richtmeyer și D. Morton, KW, (1967). Metode de diferență pentru problemele de valoare inițială , ediția a II-a, Wiley, New York.
  • ( EN ) H. Levy și Lessman, F., Finite Difference Equations , Dover, 1992, ISBN 0-486-67260-3 .
  • ( EN ) Ames, WF, (1977). Metode numerice pentru ecuații diferențiale parțiale , secțiunea 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1 .
  • ( EN ) Hildebrand, FB, (1968). Ecuații și simulații cu diferență finită , secțiunea 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică