În matematică , o diferență finită este o expresie sub forma unei diferențe între valorile asumate de o funcție în două puncte specifice:
{\ displaystyle f (x + b) -f (x + a)}
Dacă diferența finită este împărțită la {\ displaystyle ba} se obține un raport incremental . De obicei este indicat cu litera greacă {\ displaystyle \ Delta} urmată de cantitatea care suferă această variație (de exemplu {\ displaystyle \ Delta x} ). [1]
{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}} - f '(x) = O (h) \ quad (h \ to 0)}
și aceeași formulă este valabilă pentru diferența finită înapoi:
{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {- h} [f] (x)} {h}} - f '(x) = O (h)}
Cu toate acestea, diferența centrată finită oferă o aproximare mai precisă. În acest caz, eroarea este proporțională cu pătratul pasului {\ displaystyle h} , dacă funcția este continuu diferențiată de două ori, aceasta este a doua derivată {\ displaystyle f ^ {''}} este continuu pentru fiecare {\ displaystyle x} :
{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {0} [f] (x)} {h}} - f '(x) = O (h ^ {2})}
Un operator abstract care acționează asupra unui spațiu funcțional care, dată fiind o funcție, își întoarce diferența finită cu centrul {\ displaystyle c} și trece {\ displaystyle h} spunem un operator diferență . De exemplu, cel înainte poate fi exprimat ca:
{\ displaystyle \ Delta _ {h} = T_ {h} -I}
unde este {\ displaystyle T_ {h}} este operatorul de schimb{\ displaystyle T_ {h} (f) = f (x + h)} Și {\ displaystyle I}identitate . În mod similar, celelalte două tipuri pot fi descrise.
{\ displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {b} \ Delta _ {h} f (n) = f (b + 1) -f (a)}
{\ displaystyle \ sum _ {n = a} ^ {b} \ Delta _ {- h} f (n) = f (b) -f (a-1)}
Diferențe finite de ordin superior
Aproximările pot fi definite iterativ pentru derivatele de ordinul următor.
De exemplu, folosind diferențe centrate pentru a aproxima {\ displaystyle f '(x + h / 2) -f' (xh / 2)} obținem diferența centrată finită de ordinul doi:
{\ displaystyle \ Delta _ {0} ^ {2} f (x) = f (x + h) -2f (x) + f (xh)}
Mai general, diferențele finite ale {\ displaystyle n} - ordinul al treilea sunt definite respectiv ca:
{\ displaystyle \ Delta _ {h} ^ {n} f (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f ( x + (ni) h)}
{\ displaystyle \ Delta _ {- h} ^ {n} f (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f (x-ih)}
{\ displaystyle \ Delta _ {0} ^ {n} f (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ binom {n} {i}} f \ left (x + \ left ({\ frac {n} {2}} - i \ right) h \ right)}
Dacă este necesar, cele trei tipuri pot fi amestecate centrând aproximarea succesiv în diferite puncte.
Proprietate
Pentru {\ displaystyle k} Și {\ displaystyle n} pozitiv:
unde este {\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {0}, \ ldots, \ alpha _ {n})} este vectorul coeficienților săi. O altă generalizare apare atunci când suma este înlocuită cu o serie infinită, obținându-se diferența infinită .
De asemenea, pot fi redați coeficienți {\ displaystyle \ alpha _ {k}} dependent de punct {\ displaystyle x} , adică {\ displaystyle \ alpha _ {k} = \ alpha _ {k} (x)} , obținându-se astfel o diferență „ponderată”. Poate fi și dependent {\ displaystyle h} din punct {\ displaystyle x} , adică {\ displaystyle h = h (x)} : acest lucru este util de exemplu pentru a defini diferite module de continuitate .