Diferențial exact

În calcul , un diferențial exact sau diferențial total este o formă diferențială exactă 1 :

\operatorname {d} Q=A_{1}(x_{1},x_{2},\dots )\operatorname {d} x_{1}+A_{2}(x_{1},x_{2},\dots )\operatorname {d} x_{2}+\dots

{\ displaystyle \ operatorname {d} Q = A_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots) \ operatorname {d} x_ {1} + A_ {2} (x_ {1}, x_ { 2}, \ dots) \ operatorname {d} x_ {2} + \ dots}

{\ displaystyle \ operatorname {d} Q = A_ {1} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots) \ operatorname {d} x_ {1} + A_ {2} (x_ {1}, x_ { 2}, \ dots) \ operatorname {d} x_ {2} + \ dots}

adică pentru care există o funcție $Q(x_{1},x_{2},\dots )$ ${\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, \ dots)}$ $Q (x_ {1}, x_ {2}, \ dots)$ , numit potențial , care satisface: ^[1]

A_{1}={\frac {\partial Q}{\partial x_{1}}}\qquad A_{2}={\frac {\partial Q}{\partial x_{2}}}\qquad \dots

{\ displaystyle A_ {1} = {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {1}}} \ qquad A_ {2} = {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {2}}} \ qquad \ dots}

A_ {1} = {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {1}}} \ qquad A_ {2} = {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {2}}} \ qquad \ dots

Un diferențial este exact dacă și numai dacă este integrabil , adică dacă cantitatea $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ poate fi exprimat ca o funcție de clasă $C^{2}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ 2$ , a cărui imagine este un subset al numerelor reale . Implicația directă depinde de faptul că a doua clasă de continuitate admite întotdeauna doar un diferențial $\operatorname {d} Q$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} Q}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} Q}$ . Pentru a generaliza noțiunea de diferențial ca infinitesimal la cantitate $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ definit în mod arbitrar este util să ai un criteriu pentru a determina dacă $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este exprimabilă în funcție de variabilele sale, sau dacă nu este, de asemenea, deoarece, în acest din urmă caz, nu este conservată pe o integral închisă în variabilele sale.

Definiție

În cele ce urmează este luat în considerare cazul tridimensional, chiar dacă discuția este valabilă într-un spațiu de dimensiuni arbitrare.

O formă diferențială $A(x,y,z)\operatorname {d} x+B(x,y,z)\operatorname {d} y+C(x,y,z)\operatorname {d} z$ ${\ displaystyle A (x, y, z) \ operatorname {d} x + B (x, y, z) \ operatorname {d} y + C (x, y, z) \ operatorname {d} z}$ ${\ displaystyle A (x, y, z) \ operatorname {d} x + B (x, y, z) \ operatorname {d} y + C (x, y, z) \ operatorname {d} z}$ se numește o formă diferențială exactă pe un domeniu $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}$ $D \ subset {\ mathbb {R}} ^ {3}$ dacă există o anumită funcție scalară $Q=Q(x,y,z)$ ${\ displaystyle Q = Q (x, y, z)}$ $Q = Q (x, y, z)$ definit pe $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ astfel încât:

\operatorname {d} Q\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\operatorname {d} x+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{z,x}\operatorname {d} y+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\operatorname {d} z=A\operatorname {d} x+B\operatorname {d} y+C\operatorname {d} z

{\ displaystyle \ operatorname {d} Q \ equiv \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} \ right) _ {y, z} \ operatorname {d} x + \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial y}} \ right) _ {z, x} \ operatorname {d} y + \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial z}} \ right) _ {x , y} \ operatorname {d} z = A \ operatorname {d} x + B \ operatorname {d} y + C \ operatorname {d} z}

{\ displaystyle \ operatorname {d} Q \ equiv \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} \ right) _ {y, z} \ operatorname {d} x + \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial y}} \ right) _ {z, x} \ operatorname {d} y + \ left ({\ frac {\ partial Q} {\ partial z}} \ right) _ {x , y} \ operatorname {d} z = A \ operatorname {d} x + B \ operatorname {d} y + C \ operatorname {d} z}

în ansamblu $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ . Acest lucru este echivalent cu a spune că câmpul vector $(A,B,C)$ ${\ displaystyle (A, B, C)}$ $(A, B, C)$ este un câmp vector conservator , corespunzător gradientului unui câmp scalar (numit potențial ) $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ .

Într-o dimensiune, o formă diferențială $A(x)\operatorname {d} x$ ${\ displaystyle A (x) \ operatorname {d} x}$ ${\ displaystyle A (x) \ operatorname {d} x}$ este exact dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are un primitiv. În caz contrar, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu posedă primitiv nu poate fi scris $\operatorname {d} Q=A(x)\operatorname {d} x$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} Q = A (x) \ operatorname {d} x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} Q = A (x) \ operatorname {d} x}$ iar forma nu este exactă.

În două dimensiuni, prin teorema lui Schwarz fiecare funcție $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ suficient de regulat are proprietatea:

{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} Q} {\ partial x \ partial y}} = {\ frac {\ partial ^ {2} Q} {\ partial y \ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} Q} {\ partial x \ partial y}} = {\ frac {\ partial ^ {2} Q} {\ partial y \ partial x}}}

de aici rezultă că într-o regiune pur și simplu conectată $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ al planului xy, un diferențial

\operatorname {d} Q=A(x,y)\,\operatorname {d} x+B(x,y)\,\operatorname {d} y

{\ displaystyle \ operatorname {d} Q = A (x, y) \, \ operatorname {d} x + B (x, y) \, \ operatorname {d} y}

{\ displaystyle \ operatorname {d} Q = A (x, y) \, \ operatorname {d} x + B (x, y) \, \ operatorname {d} y}

este un diferențial exact dacă și numai dacă relația se menține

\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial y}} \ right) _ {x} = \ left ({\ frac {\ partial B} {\ partial x}} \ right) _ { y}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial y}} \ right) _ {x} = \ left ({\ frac {\ partial B} {\ partial x}} \ right) _ { y}}

În trei dimensiuni, un diferențial

\operatorname {d} Q=A(x,y,z)\,\operatorname {d} x+B(x,y,z)\,\operatorname {d} y+C(x,y,z)\,\operatorname {d} z

{\ displaystyle \ operatorname {d} Q = A (x, y, z) \, \ operatorname {d} x + B (x, y, z) \, \ operatorname {d} y + C (x, y, z) \, \ operatorname {d} z}

{\ displaystyle \ operatorname {d} Q = A (x, y, z) \, \ operatorname {d} x + B (x, y, z) \, \ operatorname {d} y + C (x, y, z) \, \ operatorname {d} z}

este un diferențial exact într-o regiune pur și simplu conectată $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ spațiu xyz dacă între funcții $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ relația există

\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}\qquad \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}\qquad \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial y}} \ right) _ {x, z} \! \! \! = \ left ({\ frac {\ partial B} {\ partial x}} \ right) _ {y, z} \ qquad \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial z}} \ right) _ {x, y} \! \! \! = \ left ( {\ frac {\ partial C} {\ partial x}} \ right) _ {y, z} \ qquad \ left ({\ frac {\ partial B} {\ partial z}} \ right) _ {x, y } \! \! \! = \ left ({\ frac {\ partial C} {\ partial y}} \ right) _ {x, z}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial y}} \ right) _ {x, z} \! \! \! = \ left ({\ frac {\ partial B} {\ partial x}} \ right) _ {y, z} \ qquad \ left ({\ frac {\ partial A} {\ partial z}} \ right) _ {x, y} \! \! \! = \ left ( {\ frac {\ partial C} {\ partial x}} \ right) _ {y, z} \ qquad \ left ({\ frac {\ partial B} {\ partial z}} \ right) _ {x, y } \! \! \! = \ left ({\ frac {\ partial C} {\ partial y}} \ right) _ {x, z}}

unde variabilele considerate constante în timpul diferențierii sunt indicate în afara parantezelor din partea de jos.

În rezumat, atunci când un diferențial este exact, acesta există $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și:

\int _{i}^{f}\operatorname {d} Q=Q(f)-Q(i)

{\ displaystyle \ int _ {i} ^ {f} \ operatorname {d} Q = Q (f) -Q (i)}

{\ displaystyle \ int _ {i} ^ {f} \ operatorname {d} Q = Q (f) -Q (i)}

indiferent de calea integrării urmată.

Criteriul lui Schwarz

Dacă funcția $Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle Q (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle Q (\ mathbf {x})}$ din n variabile, cu $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ , admite un diferențial, corespunde produsului scalar al gradientului $\nabla Q$ ${\ displaystyle \ nabla Q}$ ${\ displaystyle \ nabla Q}$ din $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și $\operatorname {d} \mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \ mathbf {x}}$ :

\operatorname {d} Q=\nabla Q\cdot \operatorname {d} \mathbf {x} =\sum _{i}{\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\operatorname {d} x_{i}

{\ displaystyle \ operatorname {d} Q = \ nabla Q \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {x} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {i}}} \ operatorname {d} x_ {i}}

{\ displaystyle \ operatorname {d} Q = \ nabla Q \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {x} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {i}}} \ operatorname {d} x_ {i}}

unde în ultima egalitate se face explicit produsul scalar. Integrare:

Q(\mathbf {x} )=\sum _{i}\int {\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\operatorname {d} x_{i}

{\ displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} \ int {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {i}}} \ operatorname {d} x_ {i}}

{\ displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} \ int {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {i}}} \ operatorname {d} x_ {i}}

este permis dacă și numai dacă toate funcțiile integrale depind de alte variabile cu aceeași tendință:

{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial Q}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}\quad \forall i,j\in (1,...,n)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j }}} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {i}}} \ quad \ forall i, j \ in (1, ..., n)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j }}} {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {i}}} \ quad \ forall i, j \ in (1, ..., n)}

și anume dacă $Q[\mathbf {x} ]$ ${\ displaystyle Q [\ mathbf {x}]}$ ${\ displaystyle Q [\ mathbf {x}]}$ verifică teorema lui Schwarz , declarație validă pentru funcții $Q(\mathbf {x} )$ ${\ displaystyle Q (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle Q (\ mathbf {x})}$ a clasei a doua de continuitate . Întrucât diferențialul de $Q[\mathbf {x} ]$ ${\ displaystyle Q [\ mathbf {x}]}$ ${\ displaystyle Q [\ mathbf {x}]}$ este de obicei construit ca o dependență implicită de diferențialele variabilelor, și anume sub forma:

Q(\mathbf {x} )=\sum _{i}\int A_{i}\operatorname {d} x_{i}

{\ displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} \ int A_ {i} \ operatorname {d} x_ {i}}

{\ displaystyle Q (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i} \ int A_ {i} \ operatorname {d} x_ {i}}

criteriul se traduce prin testarea dacă:

{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\quad \forall i,j\in (1,...,n)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial A_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ quad \ forall i, j \ in (1, ..., n)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial A_ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ quad \ forall i, j \ in (1, ..., n)}

și în acest caz $Q[\mathbf {x} ]$ ${\ displaystyle Q [\ mathbf {x}]}$ ${\ displaystyle Q [\ mathbf {x}]}$ are diferențial exact, care poate fi exprimat ca $\operatorname {d} Q$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} Q}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} Q}$ . Pentru o funcție cu o singură variabilă, evident, aceasta se reduce la verificarea acestui lucru $Q[x]$ ${\ displaystyle Q [x]}$ ${\ displaystyle Q [x]}$ aparține primei clase de continuitate, și anume că $A(x)$ ${\ displaystyle A (x)}$ ${\ displaystyle A (x)}$ este o funcție continuă în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Relațiile dintre derivatele parțiale

Dacă trei variabile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ sunt legate de relație $F(x,y,z)={\text{costante}}$ ${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ text {constant}}}$ ${\ displaystyle F (x, y, z) = {\ text {constant}}}$ pentru o anumită funcție diferențiată $F(x,y,z)$ ${\ displaystyle F (x, y, z)}$ ${\ displaystyle F (x, y, z)}$ , atunci există următoarele diferențiale exacte:

dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz

{\ displaystyle dx = {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y}} \ right)} _ {z} \, dy + {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial z}} \ dreapta)} _ {y} \, dz}

{\ displaystyle dx = {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y}} \ right)} _ {z} \, dy + {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial z}} \ dreapta)} _ {y} \, dz}

dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy

{\ displaystyle dz = {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} \, dx + {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x} \, dy}

{\ displaystyle dz = {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} \, dx + {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x} \, dy}

Inserarea primei ecuații în a doua obține:

dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy

{\ displaystyle dz = {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} \ left [{\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y }} \ right)} _ {z} dy + {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial z}} \ right)} _ {y} dz \ right] + {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x} dy}

{\ displaystyle dz = {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} \ left [{\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y }} \ right)} _ {z} dy + {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial z}} \ right)} _ {y} dz \ right] + {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x} dy}

dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz

{\ displaystyle dz = \ left [{\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y }} \ right)} _ {z} + {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x} \ right] dy + {\ left ({\ frac { \ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial z}} \ right)} _ {y} dz}

{\ displaystyle dz = \ left [{\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y }} \ right)} _ {z} + {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x} \ right] dy + {\ left ({\ frac { \ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial z}} \ right)} _ {y} dz}

\left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy

{\ displaystyle \ left [1 - {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial z }} \ right)} _ {y} \ right] dz = \ left [{\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y}} \ right)} _ {z} + {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x} \ right] dy}

{\ displaystyle \ left [1 - {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial z }} \ right)} _ {y} \ right] dz = \ left [{\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y}} \ right)} _ {z} + {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x} \ right] dy}

De cand $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ sunt variabile independente, $d y$ ${\ displaystyle dy}$ ${\ displaystyle dy}$ Și $d z$ ${\ displaystyle dz}$ ${\ displaystyle dz}$ pot fi alese arbitrar. Pentru ca ultima relație să fie valabilă în general, termenii dintre paranteze trebuie să fie nul.

Plasând primul termen între paranteze drepte, avem:

{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1

{\ displaystyle {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial z}} \ right) } _ {y} = 1}

{\ displaystyle {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial z}} \ right) } _ {y} = 1}

ceea ce cu pași simpli duce la relația de reciprocitate :

{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}

{\ displaystyle {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} = {\ frac {1} {{\ left ({\ frac {\ partial x} { \ partial z}} \ right)} _ {y}}}}

{\ displaystyle {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} = {\ frac {1} {{\ left ({\ frac {\ partial x} { \ partial z}} \ right)} _ {y}}}}

Plasând al doilea termen între paranteze drepte, avem:

{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}

{\ displaystyle {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y}} \ right) } _ {z} = - {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x}}

{\ displaystyle {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y}} \ right) } _ {z} = - {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x}}

și folosirea uneia dintre relațiile reciproce pentru $\partial z/\partial y$ ${\ displaystyle \ partial z / \ partial y}$ ${\ displaystyle \ partial z / \ partial y}$ obținem relația ciclică , cunoscută și sub numele de „regula produsului triplu”:

{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1

{\ displaystyle {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y}} \ right)} _ {z} {\ left ({\ frac {\ partial y} {\ partial z}} \ right) } _ {x} {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} = - 1}

{\ displaystyle {\ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial y}} \ right)} _ {z} {\ left ({\ frac {\ partial y} {\ partial z}} \ right) } _ {x} {\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y} = - 1}

Dacă, pe de altă parte, utilizați o relație de reciprocitate pentru $\partial x/\partial y$ ${\ displaystyle \ partial x / \ partial y}$ ${\ displaystyle \ partial x / \ partial y}$ obținem o formulă standard pentru diferențierea implicită:

{\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}

{\ displaystyle {\ left ({\ frac {\ partial y} {\ partial x}} \ right)} _ {z} = - {\ frac {{\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y}} {{\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x}}}}

{\ displaystyle {\ left ({\ frac {\ partial y} {\ partial x}} \ right)} _ {z} = - {\ frac {{\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right)} _ {y}} {{\ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right)} _ {x}}}}

Aplicare în termodinamică

Luați în considerare cantitatea de căldură $\delta Q$ ${\ displaystyle \ delta Q}$ ${\ displaystyle \ delta Q}$ schimbate într-o transformare infinitesimală:

\operatorname {\delta } Q[T,V]=\operatorname {d} U+\operatorname {\delta } W=C_{v}\,\operatorname {d} T+p\,\operatorname {d} V

{\ displaystyle \ operatorname {\ delta} Q [T, V] = \ operatorname {d} U + \ operatorname {\ delta} W = C_ {v} \, \ operatorname {d} T + p \, \ operatorname { d} V}

{\ displaystyle \ operatorname {\ delta} Q [T, V] = \ operatorname {d} U + \ operatorname {\ delta} W = C_ {v} \, \ operatorname {d} T + p \, \ operatorname { d} V}

unde capacitatea termică la volum constant, variația temperaturii, presiunea și variația volumului apar în ordine. Ecuația traduce prima lege a termodinamicii pentru gaze perfecte ; este ușor de văzut că, în general:

{\frac {\partial C_{v}}{\partial V}}=0\neq {\frac {\partial p}{\partial T}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial C_ {v}} {\ partial V}} = 0 \ neq {\ frac {\ partial p} {\ partial T}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial C_ {v}} {\ partial V}} = 0 \ neq {\ frac {\ partial p} {\ partial T}}}

prin urmare $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ nu are diferențial exact, deci căldura nu este o funcție de stare a sistemului.

Luând în considerare în schimb creșterea infinitesimală a entropiei $\operatorname {\delta } \!S$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ delta} \! S}$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ delta} \! S}$ avem:

\operatorname {\delta } \!S={\frac {\operatorname {\delta } Q}{T}}={\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+{\frac {p}{T}}\,\operatorname {d} V

{\ displaystyle \ operatorname {\ delta} \! S = {\ frac {\ operatorname {\ delta} Q} {T}} = {\ frac {C_ {v}} {T}} \, \ operatorname {d} T + {\ frac {p} {T}} \, \ operatorname {d} V}

{\ displaystyle \ operatorname {\ delta} \! S = {\ frac {\ operatorname {\ delta} Q} {T}} = {\ frac {C_ {v}} {T}} \, \ operatorname {d} T + {\ frac {p} {T}} \, \ operatorname {d} V}

și întrucât pentru gazele ideale pe care le deține $pV=RT$ ${\ displaystyle pV = RT}$ ${\ displaystyle pV = RT}$ primesti:

\operatorname {d} S={\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+{\frac {R}{V}}\,\operatorname {d} V

{\ displaystyle \ operatorname {d} S = {\ frac {C_ {v}} {T}} \, \ operatorname {d} T + {\ frac {R} {V}} \, \ operatorname {d} V }

{\ displaystyle \ operatorname {d} S = {\ frac {C_ {v}} {T}} \, \ operatorname {d} T + {\ frac {R} {V}} \, \ operatorname {d} V }

De data aceasta avem:

{\frac {\partial }{\partial V}}{\frac {C_{v}}{T}}=0={\frac {\partial }{\partial T}}{\frac {R}{V}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial V}} {\ frac {C_ {v}} {T}} = 0 = {\ frac {\ partial} {\ partial T}} {\ frac {R } {V}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial V}} {\ frac {C_ {v}} {T}} = 0 = {\ frac {\ partial} {\ partial T}} {\ frac {R } {V}}}

asa de $\operatorname {d} S$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} S}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} S}$ este un diferențial exact pentru gazele ideale. Prin urmare, entropia este o funcție de stare:

S=\int \operatorname {d} S=\int {\frac {C_{v}}{T}}\,\operatorname {d} T+\int {\frac {p}{T}}\,\operatorname {d} V=C_{v}\,\ln T+R\ln V+{\rm {cost}}

{\ displaystyle S = \ int \ operatorname {d} S = \ int {\ frac {C_ {v}} {T}} \, \ operatorname {d} T + \ int {\ frac {p} {T}} \, \ operatorname {d} V = C_ {v} \, \ ln T + R \ ln V + {\ rm {cost}}}

{\ displaystyle S = \ int \ operatorname {d} S = \ int {\ frac {C_ {v}} {T}} \, \ operatorname {d} T + \ int {\ frac {p} {T}} \, \ operatorname {d} V = C_ {v} \, \ ln T + R \ ln V + {\ rm {cost}}}

Notă

^ Enciclopedia Treccani - Diferențial , pe treccani.it . Adus la 26 iulie 2011 .

Bibliografie

(EN) Thomas, GB, Jr. și Finney, RL Calculus și Geometrie Analitică, ed. A VIII-a. Reading, MA: Addison-Wesley, 1996.
( EN ) Perrot, P. (1998). De la A la Z a Termodinamicii. New York: Oxford University Press.
( EN ) Zill, D. (1993). Un prim curs în ecuații diferențiale, ediția a 5-a Boston: PWS-Kent Publishing Company.
( EN ) Yunus A. Çengel, Boles, Michael A., Thermodynamics Property Relations , in Thermodynamics - An Engineering Approach , McGraw-Hill Series in Mechanical Engineering , 3rd, Boston, MA., McGraw-Hill, 1998 [1989] , ISBN 0-07-011927-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Diferențial inexact - de la Wolfram MathWorld
( EN ) Diferențiale exacte și inexacte - Universitatea din Arizona
( EN ) Diferențiale exacte și inexacte - Universitatea din Texas
( EN ) Diferențial exact - de la Wolfram MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Enciclopedia Treccani - Diferențial , pe treccani.it . Adus la 26 iulie 2011 .

[1]