Dimensiune (spațiu vectorial)

În matematică , dimensiunea unui spațiu vector este cardinalitatea bazei sale. ^[1] Dacă această cardinalitate este finită, dimensiunea coincide cu numărul de vectori care alcătuiesc baza considerată. Uneori se numește dimensiunea Hamel sau dimensiunea algebrică , pentru a o deosebi de alte tipuri de dimensiuni . Toate bazele aceluiași spațiu vectorial au aceeași cardinalitate, așa cum este stabilită de teorema dimensiunii pentru spațiile vectoriale și, prin urmare, dimensiunea unui spațiu vectorial este definită în mod unic. Dimensiunea unui spațiu vector $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe teren $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este indicat cu $\dim _{F}(V)$ ${\ displaystyle \ dim _ {F} (V)}$ $\ dim _ {F} (V)$ . Se spune că $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este finit-dimensional sau infinit-dimensional dacă dimensiunea lui $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este respectiv finit sau infinit.

Exemple

Spațiul vectorial $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ are $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ ${\ displaystyle \ {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}}$ $\ {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}$ ca bază și, prin urmare, avem $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3$ ${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {R}} (\ mathbb {R} ^ {3}) = 3}$ $\ dim _ {{\ mathbb {R}}} (\ mathbb {R} ^ {3}) = 3$ . Mai general, $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n$ ${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {R}} (\ mathbb {R} ^ {n}) = n}$ $\ dim _ {{\ mathbb {R}}} (\ mathbb {R} ^ {n}) = n$ . Și și mai general, pentru spațiul vectorial $F^{n}$ ${\ displaystyle F ^ {n}}$ $F ^ {n}$ da ai $\dim _{F}(F^{n})=n$ ${\ displaystyle \ dim _ {F} (F ^ {n}) = n}$ $\ dim _ {{F}} (F ^ {n}) = n$ .
Numere complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ sunt în același timp un spațiu vectorial real și complex, dar cu dimensiuni diferite: avem $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ ${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {R}} (\ mathbb {C}) = 2}$ $\ dim _ {{\ mathbb {R}}} (\ mathbb {C}) = 2$ Și $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1$ ${\ displaystyle \ dim _ {\ mathbb {C}} (\ mathbb {C}) = 1}$ $\ dim _ {{\ mathbb {C}}} (\ mathbb {C}) = 1$ . Deci dimensiunea depinde de câmp.
Un spațiu vectorial de dimensiune 0 este alcătuit dintr-un singur punct.
Matrice cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ linii și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coloanele formează un spațiu vectorial de dimensiune $n*m$ ${\ displaystyle n * m}$ $n * m$ .
Matricile simetrice $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ formează un subspațiu al matricelor pătrate de dimensiune $(n+1)n/2$ ${\ displaystyle (n + 1) n / 2}$ $(n + 1) n / 2$ .
Polinoame cu coeficienți într-un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ formează un spațiu vectorial $F[x]$ ${\ displaystyle F [x]}$ $F [x]$ care nu are o bază finită: se spune deci că spațiul are o dimensiune infinită. Polinomii de grad cel mult $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cu toate acestea, ei formează un subspatiu de $F[x]$ ${\ displaystyle F [x]}$ $F [x]$ in marime $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ .

Proprietate

De sine $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este un subspatiu vectorial al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , asa de $\dim(W)\leq \dim(V)$ ${\ displaystyle \ dim (W) \ leq \ dim (V)}$ $\ dim (W) \ leq \ dim (V)$ .
Pentru a arăta că două spații vectoriale cu dimensiuni finite sunt egale, este adesea folosit următorul criteriu: dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite e $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ este un subspatiu liniar al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ cu $\dim(W)=\dim(V)$ ${\ displaystyle \ dim (W) = \ dim (V)}$ $\ dim (W) = \ dim (V)$ , asa de $W=V$ ${\ displaystyle W = V}$ $W = V$ .
Orice două spații vectoriale pornite $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ având aceeași dimensiune sunt izomorfe . Fiecare hartă bijectivă între bazele lor poate fi extinsă într-un mod numai la o hartă liniară bijectivă între spații vectoriale. De sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este un set dat, un spațiu vectorial de dimensiune $|B|$ ${\ displaystyle | B |}$ $| B |$ pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ poate fi construit în felul următor: luați întregul $F^{(B)}$ ${\ displaystyle F ^ {(B)}}$ $F ^ {{(B)}}$ a tuturor funcțiilor $f:B\to F$ ${\ displaystyle f: B \ to F}$ $f: B \ to F$ astfel încât $f(b)=0$ ${\ displaystyle f (b) = 0}$ $f (b) = 0$ pentru toți $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ (în număr finit) în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Aceste funcții pot fi adăugate și multiplicate cu elemente de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , și astfel $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ - spațiul dorit.
Formula lui Grassmann și teorema mărimii sunt două rezultate importante care leagă dimensiunile unor sub-spații în anumite configurații.
De sine $F/K$ ${\ displaystyle F / K}$ $F / K$ este o extensie a câmpului , atunci $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este în special un spațiu vectorial pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . În plus, fiecare $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ -spaţiu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este, de asemenea, un $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ -spaţiu. Dimensiunile sunt legate de formula:

\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V)

{\ displaystyle \ dim _ {K} (V) = \ dim _ {K} (F) \ dim _ {F} (V)}

\ dim _ {K} (V) = \ dim _ {K} (F) \ dim _ {F} (V)

În special, fiecare spațiu vectorial complex de dimensiunea n este un spațiu vectorial real de dimensiunea 2n .

Unele formule simple raportează dimensiunea unui spațiu vectorial cu cardinalitatea câmpului de bază și cardinalitatea spațiului în sine. De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un spațiu vectorial pe un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , apoi, indicând dimensiunea $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ cu $\dim(V)$ ${\ displaystyle \ dim (V)}$ $\ dim (V)$ , avem:

De sine

\dim(V)

{\ displaystyle \ dim (V)}

\ dim (V)

s-a terminat atunci

|V|=|F|^{\dim(V)}

{\ displaystyle | V | = | F | ^ {\ dim (V)}}

| V | = | F | ^ {{\ dim (V)}}

.

De sine

\dim(V)

{\ displaystyle \ dim (V)}

\ dim (V)

este infinit atunci

|V|=\max(|F|,\dim(V))

{\ displaystyle | V | = \ max (| F |, \ dim (V))}

| V | = \ max (| F |, \ dim (V))

.

Generalizări

Un spațiu vectorial poate fi văzut ca un caz particular al unui matroid , iar în acesta din urmă există o noțiune bine definită de dimensiune. Lungimea unui modul și rangul unui grup abelian au ambele proprietăți similare cu dimensiunea unui spațiu vectorial.

Dimensiunea Krull a unui inel comutativ, numit după Wolfgang Krull (1899-1971), este definită ca numărul maxim de incluziuni înguste în lanțul în creștere al idealurilor prime din inel.

Urmă

Același subiect în detaliu: Trace (matrice) .

Dimensiunea unui spațiu vectorial poate fi, de asemenea, caracterizată ca urmele operatorului de identitate . De exemplu, $\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbf {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2$ ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ \ operatorname {id} _ {\ mathbf {R} ^ {2}} = \ operatorname {tr} \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {smallmatrix}} \ right) = 1 + 1 = 2}$ $\ operatorname {tr} \ \ operatorname {id} _ {{{\ mathbf {R}} ^ {2}}} = \ operatorname {tr} \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {smallmatrix}} \ right) = 1 + 1 = 2$ . Această definiție permite generalizări utile.

În primul rând, vă permite să definiți o noțiune de dimensiune atunci când aveți o pistă, dar nu aveți o bază în sensul "natural". De exemplu, se poate întâmpla să aveți o algebră $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu o hartă $\eta \colon K\to A$ ${\ displaystyle \ age \ colon K \ to A}$ $\ age \ colon K \ to A$ unitatea respectivă și o hartă $\epsilon \colon A\to K$ ${\ displaystyle \ epsilon \ colon A \ to K}$ $\ epsilon \ colon A \ to K$ corespunzător urmei, numită counità : compoziția $\epsilon \circ \eta \colon K\to K$ ${\ displaystyle \ epsilon \ circ \ eta \ colon K \ to K}$ $\ epsilon \ circ \ eta \ colon K \ to K$ este un scalar (fiind o transformare liniară pe un spațiu unidimensional) corespunzător „urmelor identității” și oferă o noțiune de dimensiune pentru o algebră abstractă. În practică, în bialgebre, această hartă trebuie să fie identitatea, care poate fi obținută prin normalizarea țării (pentru a face acest lucru, este împărțită la dimensiunea: $\epsilon :=1/n\operatorname {tr}$ ${\ displaystyle \ epsilon: = 1 / n \ operatorname {tr}}$ $\ epsilon: = 1 / n \ operatorname {tr}$ ), astfel încât, în astfel de cazuri, constanta de normalizare să corespundă dimensiunii.

Alternativ, putem lua în considerare urmele operatorilor pe spații cu dimensiuni infinite: în acest caz este definită o urmă (finită), chiar dacă în absența unei dimensiuni specificate, și oferă o noțiune de "dimensiune operator". Aceste probleme se confruntă în studiul operatorilor de clasă de urmărire (operatori nucleari) pe spații Hilbert sau spații Banach .

O generalizare subtilă se obține luând în considerare urma unei familii de operatori, așa cum se întâmplă adesea în teoria reprezentării . În acest context, caracterul unei reprezentări este urmarea reprezentării și, prin urmare, o funcție $\chi \colon G\to K$ ${\ displaystyle \ chi \ colon G \ to K}$ $\ chi \ colon G \ to K$ la valorile dintr-un câmp al scalarilor $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ definit pe un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , a cărui valoare asupra identității $1\in G$ ${\ displaystyle 1 \ în G}$ $1 \ în G$ este dimensiunea reprezentării, mapează identitatea $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ în matricea de identitate :

\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.

{\ displaystyle \ chi (1_ {G}) = \ operatorname {tr} \ I_ {V} = \ dim V.}

{\ displaystyle \ chi (1_ {G}) = \ operatorname {tr} \ I_ {V} = \ dim V.}

Notă

^ Lang, S. , p. 49 .

Bibliografie

Serge Lang , Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Lang, S. , p. 49 .

[1]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema