Dimensiunea Minkowski-Bouligand

În geometria fractală , dimensiunea Minkowski-Boulingand , cunoscută și sub numele de dimensiunea Minkowski sau dimensiunea numărului de celule , este un mijloc de determinare a dimensiunii fractale a unui set S în spațiul euclidian. $R^{n}$ ${\ displaystyle R ^ {n}}$ ${\ displaystyle R ^ {n}}$ , sau mai general într-un spațiu metric ( X , d ).

Pentru a calcula această dimensiune a unui fractal S , imaginați-vă că această fractală se află pe o rețea răspândită pe întreg spațiul și numărați câte celule sunt necesare pentru a acoperi întregul. Mărimea măsurării celulei este calculată prin observarea modului în care acest număr se modifică pe măsură ce grila este mai fină.

Să presupunem că N ( ε ) este numărul de celule cu lungime laterală ε necesare pentru a acoperi setul.

Apoi, dimensiunea măsurării celulei este definită astfel:

\dim _{\rm {box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}

{\ displaystyle \ dim _ {\ rm {box}} (S): = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {\ log N (\ varepsilon)} {\ log (1 / \ varepsilon)} }}

{\ displaystyle \ dim _ {\ rm {box}} (S): = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {\ log N (\ varepsilon)} {\ log (1 / \ varepsilon)} }}

Dacă convergența limitei nu există, atunci trebuie să vorbim despre dimensiunea superioară a celulelor și dimensiunea inferioară a celulelor care corespund limita superioară și limita inferioară din expresia de mai sus. Cu alte cuvinte, dimensiunea măsurii celulei este bine definită numai dacă dimensiunea superioară și inferioară a celulelor sunt aceleași. Dimensiunea superioară a celulelor este uneori numită dimensiunea etropiei , dimensiunea Kolmogorov, capacitatea Kolmogorov sau dimensiunea superioară a lui Minkowski, în timp ce dimensiunea inferioară a celulelor este numită dimensiunea inferioară a lui Minkowski .

Ambele sunt strâns legate de dimensiunea Hausdorff mai populară. Doar în aplicațiile cu adevărat specializate este necesar să se facă o distincție între toate cele trei. Vezi relațiile cu dimensiunea Hausdorff pentru mai multe detalii. De asemenea, o altă măsură a dimensiunilor fractale este dimensiunea de corelație .

Definiții alternative

Este posibil să se definească dimensiunea celulelor folosind vecinătăți sferice (bile), atât cu numărul de învelitoare, cât și cu numărul de pachete sferice . Numărul de închidere $N_{\rm {covering}}(\varepsilon )$ ${\ displaystyle N _ {\ rm {acoperire}} (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle N _ {\ rm {acoperire}} (\ varepsilon)}$ este numărul minim de vecinătăți sferice deschise de rază ε necesare pentru a acoperi (topologia) fractalului sau, cu alte cuvinte, astfel încât uniunea conține fractalul.

Putem lua în considerare și numărul de acoperire intrinsecă $N'_{\rm {covering}}(\varepsilon )$ ${\ displaystyle N '_ {\ rm {acoperire}} (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle N '_ {\ rm {acoperire}} (\ varepsilon)}$ , care este definit în același mod, dar cu cerința suplimentară ca centrele cartierelor sferice deschise să se afle în setul S. numărul de pachete $N'_{\rm {packing}}(\varepsilon )$ ${\ displaystyle N '_ {\ rm {ambalare}} (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle N '_ {\ rm {ambalare}} (\ varepsilon)}$ este numărul maxim de seturi disjuncte de cartiere sferice de ε raza , care pot fi amplasate în așa fel încât centrele lor sunt în interiorul fractale Deși N, N _acoperind, N ' care _acoperă și N de _ambalare nu sunt exact identice, ele sunt strâns legate, și dau naștere la definiții identice ale dimensiunilor celulei inferioare și superioare. Acest lucru poate fi demonstrat cu ușurință după ce s-au dovedit următoarele inegalități:

N'_{\rm {covering}}(2\varepsilon )\leq N_{\rm {covering}}(\varepsilon ),N_{\rm {packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\rm {covering}}(\varepsilon ).

{\ displaystyle N '_ {\ rm {acoperire}} (2 \ varepsilon) \ leq N _ {\ rm {acoperire}} (\ varepsilon), N _ {\ rm {ambalare}} (\ varepsilon) \ leq N '_ {\ rm {acoperire}} (\ varepsilon).}

{\ displaystyle N '_ {\ rm {acoperire}} (2 \ varepsilon) \ leq N _ {\ rm {acoperire}} (\ varepsilon), N _ {\ rm {ambalare}} (\ varepsilon) \ leq N '_ {\ rm {acoperire}} (\ varepsilon).}

acestea la rândul lor urmează cu puțin efort din inegalitatea triunghiulară . Avantajul utilizării vecinătăților sferice în locul vecinătăților pătrate este că definiția este generalizată la orice spațiu metric . cu alte cuvinte, pentru definirea celulei este extern - trebuie să presupunem că fractala este conținută într-un spațiu euclidian și să definim celulele în funcție de structura externă impusă de spațiul care le conține. definiția vecinătății sferice este internă . vă puteți imagina fractalul deconectat de la limita sa, puteți defini vecinătățile sferice folosind distanța dintre punctele de pe fractal și puteți calcula dimensiunea (pentru a fi mai precis, definiția N _Acoperire este, de asemenea, externă, dar celelalte două sunt interne.

Avantajul utilizării celulelor este că, în multe cazuri, N (ε) poate fi calculat cu ușurință în mod explicit și că, pentru celule, capacul și numerele de ambalare (definite echivalent) sunt aceleași.

Logaritmul numerelor de pachet și de acoperire sunt adesea denumite numere entropice și sunt oarecum analogi (deși nu identici) cu conceptele de entropie termodinamică și entropie în teoria informației , în măsura în care măsoară cantitatea de tulburare din spațiu. sau un fractal la scară $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , și măsoară, de asemenea, câți biți sunt necesari pentru a descrie cu precizie un element de spațiu metric sau un fractal $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

O altă definiție echivalentă a dimensiunii măsurii celulei, care este încă externă , este dată de formulă

\dim _{\rm {box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\rm {vol}}(S_{r})}{\log r}},

{\ displaystyle \ dim _ {\ rm {box}} (S) = n- \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {\ log {\ rm {vol}} (S_ {r})} {\ jurnal r}},}

{\ displaystyle \ dim _ {\ rm {box}} (S) = n- \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {\ log {\ rm {vol}} (S_ {r})} {\ jurnal r}},}

unde pentru fiecare r > 0, setul $S_{r}$ ${\ displaystyle S_ {r}}$ ${\ displaystyle S_ {r}}$ este definit ca r- limita lui S , adică mulțimea tuturor punctelor din $R^{n}$ ${\ displaystyle R ^ {n}}$ $R ^ {n}$ care sunt mai mici decât r de la S (sau echivalent $S_{r}$ ${\ displaystyle S_ {r}}$ ${\ displaystyle S_ {r}}$ este uniunea tuturor vecinătăților sferice deschise de rază r care sunt centrate într-un punct de S ).

Proprietate

ambele dimensiuni ale celulelor sunt finit aditive, adică dacă { A ₁ , .... A _n } este o colecție finită de mulțimi atunci

\dim(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim A_{1},\dots ,\dim A_{n}\}

{\ displaystyle \ dim (A_ {1} \ cup \ dotsb \ cup A_ {n}) = \ max \ {\ dim A_ {1}, \ dots, \ dim A_ {n} \}}

{\ displaystyle \ dim (A_ {1} \ cup \ dotsb \ cup A_ {n}) = \ max \ {\ dim A_ {1}, \ dots, \ dim A_ {n} \}}

Cu toate acestea, ele nu sunt mulțimi cu măsurabilitate aditivă , adică această egalitate nu este valabilă pentru o secvență de "mulțimi" de mulțimi. De exemplu, dimensiunea celulei unui singur punct este 0, dar dimensiunea celulei setului de numere raționale din intervalul [0, 1] are dimensiunea 1. Dimensiunea Hausdorff în comparație este măsurabilă aditivă.

O proprietate interesantă a dimensiunii celulei superioare care nu este împărțită atât cu dimensiunea celulei inferioare, cât și cu dimensiunea Hausdorff este conexiunea cu suma seturilor. Dacă „A” și „B” sunt două seturi în spațiul euclidian, atunci „A” + „B” se obține luând toate perechile de puncte „a, b” unde „a” aparține „A” și „b” aparține a "B" și adăugând "a + b" avem

\dim _{\rm {upper\;box}}(A+B)\leq \dim _{\rm {upper\;box}}(A)+\dim _{\rm {upper\;box}}(B).

{\ displaystyle \ dim _ {\ rm {upper \; box}} (A + B) \ leq \ dim _ {\ rm {upper \; box}} (A) + \ dim _ {\ rm {upper \; casetă}} (B).}

{\ displaystyle \ dim _ {\ rm {upper \; box}} (A + B) \ leq \ dim _ {\ rm {upper \; box}} (A) + \ dim _ {\ rm {upper \; casetă}} (B).}

Relațiile cu dimensiunea Hausdorff

Mărimea măsurării celulei este una dintre o serie de definiții ale dimensiunii care pot fi aplicate fractalelor. Pentru mulți fractali care funcționează bine, aceste dimensiuni sunt aceleași. de exemplu dimensiunea Hausdorff , dimensiunea celulei inferioare și dimensiunea celulei superioare a setului Cantor sunt egale cu log (2) / log (3). Cu toate acestea, definițiile nu sunt echivalente.

Dimensiunea celulei și dimensiunea Hausdorff sunt legate prin inegalitate

\dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}

{\ displaystyle \ dim _ {\ text {Haus}} \ leq \ dim _ {\ text {caseta inferioară}} \ leq \ dim _ {\ text {caseta superioară}}}

{\ displaystyle \ dim _ {\ text {Haus}} \ leq \ dim _ {\ text {caseta inferioară}} \ leq \ dim _ {\ text {caseta superioară}}}

În general, ambele inegalități pot fi înguste . Dimensiunea celulei superioare poate fi mai mare decât dimensiunea celulei inferioare, dacă fractalul are comportamente diferite în diferite gradații.

De exemplu, examinați intervalul [0,1] și examinați setul de numere care îndeplinesc condiția

"pentru orice n, toate cifrele

2^{2n}

{\ displaystyle 2 ^ {2n}}

{\ displaystyle 2 ^ {2n}}

-a cifra la

2^{2n+1}-1

{\ displaystyle 2 ^ {2n + 1} -1}

{\ displaystyle 2 ^ {2n + 1} -1}

-th sunt zerouri "

Cifrele din „locurile ciudate”, adică cele dintre $2^{2n+1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {2n + 1}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {2n + 1}}$ și $2^{2n+2}-1$ ${\ displaystyle 2 ^ {2n + 2} -1}$ ${\ displaystyle 2 ^ {2n + 2} -1}$ nu sunt restricționate și pot lua orice valoare. Această fractală are o dimensiune superioară a celulei 2/3 și o dimensiune inferioară a celulei 1/3, fapt care poate fi ușor verificat prin calcularea N (ε) pentru $\varepsilon =10^{-2^{n}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 10 ^ {- 2 ^ {n}}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 10 ^ {- 2 ^ {n}}}$ și nimic altceva în afară de valorile lor se comportă diferit atât pentru „n” par, cât și pentru impar. Pentru a vedea că dimensiunea Hausdorff poate fi mai mică decât dimensiunea celulei inferioare, reveniți la exemplul de numere raționale din [0, 1], discutat mai devreme. Dimensiunea Hausdorff a acestui set este zero.

Mărimea dimensiunii celulei nu are, de asemenea, anumite proprietăți de stabilitate, care sunt de așteptat de la o dimensiune. De exemplu, se poate aștepta ca adăugarea unui set măsurabil să nu aibă niciun efect asupra dimensiunii setului. Această proprietate nu se aplică dimensiunii celulei. Intr-adevar

\dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.

{\ displaystyle \ dim _ {\ text {box}} \ left \ {0,1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} { 4}}, \ ldots \ right \} = {\ frac {1} {2}}.}

{\ displaystyle \ dim _ {\ text {box}} \ left \ {0,1, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} { 4}}, \ ldots \ right \} = {\ frac {1} {2}}.}

Elemente conexe

Referințe

(EN) Eric W. Weisstein, Dimensiunea Minkowski-Bouligand în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria haosului
Teoria bifurcației	Furcă de bifurcație · Nod de șa de bifurcație · Bifurcație imperfectă · Bifurcație transcritică · Bifurcație Hopf · Larva Pin (sistem dinamic)
Fractale	Arta fractală · Buddhabrot · navă de ardere · compresie fractală · Koch fulg de zăpadă · curba Peano · curba Sierpinski · Dimensiunea Hausdorff · dimensiunii fractale · Funcția Cantor · Set Cantor · Set Julia · Mandelbrot · Fractalii pentru dimensiune Hausdorff · Cantor de praf · Sterling · Sierpinski Triangle · Dimensiunea Minkowski-Bouligand
Atractorii	Sistem Lorenz · Atractorul din Hénon · Harta Poincaré · Harta logistică · Harta potcoavelor · Spațiul de fază
Teoreticienii haosului	Edward Norton Lorenz · Aleksandr Lyapunov · Benoît Mandelbrot · Edward October · Henri Poincare · David Ruelle · Stephen Wolfram · James Yorke