Dimensiunea topologică

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , dimensiunea topologică sau Lebesgue este o noțiune de dimensiune care se aplică oricărui spațiu topologic .

La fel ca dimensiunea Hausdorff , dimensiunea topologică a spațiului euclidian Și . Cele două noțiuni de dimensiune diferă însă pentru spații mai complicate, cum ar fi fractali .

Definiție

Este un spațiu topologic . O copertă deschisă din este o colecție de cele deschise din a cărei unire este totul . Un rafinament al acestuia este o altă acoperire deschisă astfel încât fiecare este conținut în cel puțin unul .

Dimensiunea topologică a este cel mai mic întreg prin care orice acoperire deschisă a are un rafinament în care fiecare punct este conținut cel mult seturi.

Exemple

Linie reală

Este o acoperire arbitrară a liniei reale . Fiecare este o deschidere și, prin urmare, este o uniune de intervale deschise . Rafinamentul poate fi întotdeauna găsit realizat numai din intervale deschise. De asemenea, este posibil să rafinăm în continuare această suprapunere și să ne asigurăm că aceste intervale se suprapun cât mai puțin posibil, adică că trei intervale nu se intersectează niciodată. Din această construcție rezultă că linia are o dimensiune mai mică sau egală cu Pe de altă parte, linia dreaptă este conectată și, prin urmare, nu poate fi descrisă ca o uniune disjunctă de intervale mici: adică nu are dimensiune zero. Prin urmare, linia are o dimensiune topologică

Spații euclidiene

Mai general, spațiul are o dimensiune topologică . Noțiunile Hamel , topologice și Hausdorff de dimensiune coincid, prin urmare, pentru spații vectoriale reale.

Grafice

Un grafic având un număr finit de vârfuri și muchii are o dimensiune topologică

Fractale

O aproximare a buretelui Menger , o fractală cu dimensiune topologică.

Setul Cantor are zero dimensiune topologică. Cu toate acestea, are o dimensiune Hausdorff pozitivă, egală cu .

Buretele Menger are o dimensiune topologică una. Buretele este o curbă universală : fiecare spațiu metric compact de dimensiune topologică 1 este conținut în el.

Bibliografie

  • Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces , (1926) Comunicări către Academia de Științe din Amsterdam. Traducere în engleză retipărită în Classics on Fractals , Gerald A. Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  • Karl Menger, Dimensionstheorie , (1928) BG Teubner Publishers, Leipzig.
  • AR Pears, Dimension Theory of General Spaces , (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8
  • VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , care apare în Enciclopedia științelor matematice, Volumul 17, Topologie generală I , (1993) AV Arkhangel'skii și LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178- 4 .

Elemente conexe

Controlul autorității LCCN ( EN ) sh85038035
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică