Dimensiune

De la stânga la dreapta, pătratul este bidimensional. „Glisat” în a treia dimensiune, formează un cub , un obiect tridimensional. În mod similar, „trăgând” cubul într-o a patra dimensiune construiește un hipercub în patru dimensiuni sau teserat : nu este posibil să desenăm un astfel de obiect, doar o proiecție a acestuia este reprezentată aici, în același mod în care cubul prezentat aici este doar o imagine bidimensională a cubului văzută în perspectivă.

Dimensiunea (din latina dimensio , „măsură”) este, în esență, numărul de grade de libertate disponibile pentru mișcarea unui punct material într-un spațiu . În utilizarea obișnuită, dimensiunile unui obiect devin măsurile care definesc forma și dimensiunea acestuia. Această semnificație este legată de utilizarea făcută în această intrare, dar diferă de aceasta în mai multe privințe.

Dimensiuni fizice

Spațiul- timp în care trăim poate fi interpretat de la începutul secolului trecut ^{[1] ca} fiind un spațiu Hilbert cel puțin în patru dimensiuni ^[2] . În mod convențional, se separă la distanțele și viteza experienței noastre zilnice în trei dimensiuni spațiale și o singură dimensiune temporală. Ne putem deplasa în sus sau în jos, spre nord sau sud, est sau vest, iar mișcările în orice direcție pot fi exprimate în termenii acestor trei mișcări. O mișcare descendentă este echivalentă cu o mișcare ascendentă a unei cantități negative. O mișcare de nord-vest este pur și simplu o combinație între o mișcare de nord și o mișcare de vest.

Timpul este adesea denumit „a patra dimensiune”. Este oarecum diferit de cele trei dimensiuni spațiale, deoarece există doar una, iar mișcarea pare posibilă doar într-o singură direcție. La nivel macroscopic, procesele fizice nu sunt simetrice în raport cu timpul . Pe de altă parte, la nivel subatomic ( scara Planck ), aproape toate procesele fizice sunt simetrice în raport cu timpul (adică ecuațiile utilizate pentru a descrie aceste procese sunt aceleași indiferent de direcția timpului), deși acest lucru nu implică faptul că particulele subatomice se pot deplasa înapoi.în timp.

Unele teorii din ultima jumătate de secol, cum ar fi teoria șirurilor, presupun că spațiul în care trăim are mult mai multe dimensiuni (adesea 10, 11 sau 26), dar că universul măsurat de-a lungul acestor dimensiuni suplimentare are magnitudine subatomică.

Dimensiuni matematice

În matematică , nu există o definiție a dimensiunii care să înțeleagă în mod adecvat toate situațiile în care am dori să o folosim. Drept urmare, matematicienii au venit cu multe definiții ale dimensiunii pentru diferite tipuri de spațiu. Cu toate acestea, toate se bazează în cele din urmă pe conceptul de dimensiune a unui spațiu vector , cum ar fi un spațiu euclidian E ⁿ de dimensiunea n : un punct E ⁰ este un spațiu 0-dimensional, o linie E ¹ este 1-dimensională, un plan E ² este bidimensional, în general E ⁿ este n- dimensional.

Un teseract sau hipercub este un exemplu de obiect cu patru dimensiuni.

Ca o notă istorică, se poate aminti că în literatura matematică din trecut termenul de hiperspațiu a fost utilizat pe scară largă pentru a desemna spații cu mai mult de 3 dimensiuni.

În restul acestei intrări vom examina unele dintre definițiile mai importante ale dimensiunii matematice.

Dimensiunea Hamel

Pentru spațiile vectoriale și spațiile Hilbert , noțiunea naturală de dimensiune corespunde formal cardinalității bazelor sale Hamel . O varietate diferențiată , topologică și conectată este local homeomorfă la un spațiu euclidian, deci se poate arăta că dimensiunea sa este definită în mod unic pentru fiecare varietate diferențiată, topologică și conectată. Topologia algebrică se caracterizează prin faptul că cazurile într-una sau două dimensiuni sunt relativ elementare, cazurile cu dimensiuni mari ( n > 4) sunt simplificate având dimensiuni suplimentare în care să lucreze, iar cazurile cu n = 3 și 4 sunt într-un anumit sens cel mai dificil. Această stare a lucrurilor a fost subliniată de conjectura lui Poincaré , unde sunt utilizate patru metode diferite de probă.

Mărimea Lebesgue

Dimensiunea unui spațiu topologic este generalizată utilizând conceptul Schauder Basis la cel mai mic număr întreg n astfel încât fiecare copertă deschisă are un rafinament (un al doilea capac în care fiecare element este un subset al unui element al primului) în care nu este inclus niciun punct în mai mult de n + 1 elemente. Pentru varietăți diferențiate, coincide cu dimensiunea Hamel. Dacă nu există n , atunci dimensiunea este infinită.

Dimensiunea Hausdorff

Dimensiunea spațiilor metrice, cum ar fi fractalii, este limita inferioară a tuturor h > 0 astfel încât, pentru fiecare δ> 0, E poate fi acoperit de o cantitate numărabilă de seturi închise de diametru ≤ δ, și suma tuturor puterilor s - al treilea dintre aceste diametre este mai mic sau egal cu h . Spre deosebire de cele anterioare, poate avea valori care nu sunt întregi.

Dimensiunea Krull

Mărimea unui inel comutativ este definită ca numărul maxim de incluziuni înguste într-un lanț în creștere de idealuri prime din inel.

Notă

^ în special după prima confirmare a relativității generale din 1919
^ în sensul lui Hamel, așa cum se va vedea mai târziu

Bibliografie

Thomas Banchoff , Dincolo de a treia dimensiune: geometrie, grafică computerizată și dimensiuni superioare, ediția a doua , 1996, Freeman
Clifford A. Pickover , Surfing through Hyperspace: Understanding Higher Universes in Six Easy Lessons , 1999, Oxford University Press
Rudy Rucker , A patra dimensiune , 1984, Houghton-Mifflin
Edwin A. Abbott , Flatland (Flatland), 1884