Diofant al Alexandriei

Diofant al Alexandriei (în greacă: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; ... - ...) a fost un matematician antic grec , cunoscut ca tatăl algebrei .

Titlul ediției din 1621 a Aritmeticii lui Diofant, tradusă la Paris în latină de Claude Gaspard Bachet de Méziriac .

Se știe puțin despre viața sa. Locuit în Alexandria, în Egipt, în perioada cuprinsă între secolele al III-lea și al IV-lea, unii cred că el a fost ultimul dintre marii matematicieni eleni.

Diofant a scris un tratat privind numerele și fracțiile poligonale , dar lucrarea sa principală este Arithmetica , tratată în treisprezece volume din care doar șase au ajuns la noi ^[1] . Faima sa este legată în principal de două subiecte: ecuații nedeterminate și simbolism matematic.

Introducere în ecuații

Un sistem de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ecuații de gradul I în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ necunoscute sau are o singură soluție sau nu are soluție sau are infinit. De exemplu, sistemul a două ecuații:

\left\{{\begin{matrix}x+y=9\\x-y=5\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + y = 9 \\ xy = 5 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + y = 9 \\ x-y = 5 \ end {matrix}} \ right.}

admite singura soluție $(x=7,y=2)$ ${\ displaystyle (x = 7, y = 2)}$ ${\ displaystyle (x = 7, y = 2)}$ , în timp ce sistemul

\left\{{\begin{matrix}x+y=9\\2x+2y=15\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + y = 9 \\ 2x + 2y = 15 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + y = 9 \\ 2x + 2y = 15 \ end {matrix}} \ right.}

nu admite soluții (așa cum vedem imediat, a doua ecuație este incompatibilă cu prima), în cele din urmă sistemul

\left\{{\begin{matrix}x+y=9\\2x+2y=18\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + y = 9 \\ 2x + 2y = 18 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + y = 9 \\ 2x + 2y = 18 \ end {matrix}} \ right.}

admite infinit multe (de fapt, a doua ecuație nu adaugă nimic la prima în ceea ce privește soluțiile). În acest din urmă caz, se spune că sistemul și problema asociată sunt nedeterminate. Cu toate acestea, dacă se adaugă unele condiții adecvate, problema poate înceta să fie nedeterminată și poate admite un număr finit de soluții. De exemplu, dacă la sistemul precedent nedeterminat adăugăm condițiile ca soluțiile infinite posibile să le afecteze doar pe cele reprezentate de numere întregi pozitive și că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este mai mare decât $5$ ${\ displaystyle 5}$ $5$ aveți doar cele trei soluții $(x=6,y=3),$ ${\ displaystyle (x = 6, y = 3),}$ ${\ displaystyle (x = 6, y = 3),}$ $(x=7,y=2)$ ${\ displaystyle (x = 7, y = 2)}$ ${\ displaystyle (x = 7, y = 2)}$ , $(x=8,y=1)$ ${\ displaystyle (x = 8, y = 1)}$ ${\ displaystyle (x = 8, y = 1)}$ .

Ecuații diofantine

Ecuațiile (nu neapărat de gradul I) pentru care se caută numai numere întregi ca soluții iau numele de Diofant , deoarece Diofant a fost cel care s-a dedicat cu un angajament special studiului unor astfel de ecuații, în special a celor nedeterminate (în realitate Diofant nu căuta soluții întregi, dar raționale).

Ecuațiile diofantine, în multe cazuri, admit un număr finit de soluții. O ecuație diofantină liniară generică este de tipul:

ax+by=c\qquad a,b,c\in \mathbb {N}

{\ displaystyle ax + by = c \ qquad a, b, c \ in \ mathbb {N}}

{\ displaystyle ax + by = c \ qquad a, b, c \ in \ mathbb {N}}

.

Se arată că ecuația admite soluții întregi dacă și numai dacă $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este divizibil cu cel mai mare divizor comun al $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b .$ ${\ displaystyle b.}$ ${\ displaystyle b.}$ De exemplu, ecuația $4x+3y=24$ ${\ displaystyle 4x + 3y = 24}$ ${\ displaystyle 4x + 3y = 24}$ are soluții întregi infinite, dar singura soluție întreagă pozitivă este $(x=3,y=4)$ ${\ displaystyle (x = 3, y = 4)}$ ${\ displaystyle (x = 3, y = 4)}$ .

Poate că cea mai faimoasă ecuație diofantină arată astfel:

x^{n}+y^{n}=z^{n}\qquad x,y,z,n\in \mathbb {N} ,n\geq 2

{\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n} \ qquad x, y, z, n \ in \ mathbb {N}, n \ geq 2}

{\ displaystyle x ^ {n} + y ^ {n} = z ^ {n} \ qquad x, y, z, n \ in \ mathbb {N}, n \ geq 2}

.

In caz $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ are soluții infinite întregi, așa-numitele „ tripluri pitagorice ”. În schimb, pentru orice eventualitate $n>2$ ${\ displaystyle n> 2}$ ${\ displaystyle n> 2}$ nu are soluții întregi non-banale (adică nu există trei numere întregi nenule care să satisfacă ecuația dată) și acest rezultat care a angajat numeroși matematicieni de secole este adesea cunoscut ca „ ultima teoremă a lui Fermat ”, deși a fost doar dovedit în 1994 de Andrew Wiles .

Notatii pentru expresii aritmetice

Simbolismul matematic sintetic utilizat în prezent (de exemplu, simbolul $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ pentru adaos sau ${\sqrt {}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {}}}$ pentru extragerea rădăcinilor, utilizarea parantezelor, literelor pentru a indica cantități numerice etc.) este o realizare relativ recentă: nu mai mult de trei sau patru secole comparativ cu mileniile anterioare în care matematica era predominant descriptivă, adică bazată pe utilizarea cuvântului .

Calea către atingerea simbolismului actual a fost lentă și treptată: în primele zile (până la Diofant) se folosea doar limbajul natural, fără a recurge la niciun semn. De exemplu, în stabilirea calculelor, anticii au fost obligați să recurgă la discursuri lungi ținute integral. Astfel, expresia $3x+7=4x$ ${\ displaystyle 3x + 7 = 4x}$ ${\ displaystyle 3x + 7 = 4x}$ a fost spus (și scris) aproximativ așa: de trei ori o cantitate necunoscută adăugată la șapte unități este egală cu de patru ori aceeași cantitate necunoscută .

Primul care încearcă să elaboreze o scriere matematică mai slabă este Diofant. El este cel care introduce câteva simboluri pentru a reprezenta cei mai comuni operatori aritmetici împrumutându-i din alfabetul grecesc; de exemplu, înlocuiește expresia isoi eisin , care în greacă înseamnă „sunt egali”, cu simbolul $\iota$ ${\ displaystyle \ iota}$ $\iotă$ ( iota ); necunoscutul cu simbolul ς '; necunoscutul pătrat cu simbolul $\delta {\breve {\upsilon }}$ ${\ displaystyle \ delta {\ short {\ upsilon}}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ short {\ upsilon}}}$ ( dinamis ; pătrat); etc. Cu o aplicație mai riguroasă (nu întotdeauna prezentă în Diophantus) s-ar fi obținut un sistem de scriere algebrică extrem de perfecționat, dacă excludem reprezentarea numerelor, pentru care sistemul valorilor poziției a continuat să fie ignorat.

Evoluția notațiilor pentru ecuații

Abia de la sfârșitul secolului al XVI-lea se introduce astăzi scrierea simbolică în uz, în care semnele sunt folosite pentru a reprezenta operații și un limbaj simbolic nu numai pentru a rezolva ecuații, ci și pentru a dovedi reguli generale. Această inovație a fost introdusă, cel puțin în principiu și în forma sa cea mai generală, de Vieta ( 1540 - 1603 ). Metoda modernă de reprezentare a cantităților numerice cu litere minuscule cursive ale alfabetului latin a fost puțin mai târziu, de Thomas Harriot ( 1560 - 1621 ), și în cele din urmă de Euler ( 1707 - 1783 ), care a introdus alte simboluri precum $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ pentru baza logaritmilor naturali , $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ pentru unitatea imaginară, $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ pentru însumare.

Ceea ce s-a spus este pur orientativ, deoarece procesul care a condus la simbolistica matematică actuală a fost lung, contrastat și dificil, iar nu toate inovațiile trebuie atribuite matematicienilor pe care i-am indicat; de exemplu, semnele „plus” și „minus” erau deja folosite de algebraștii germani înainte ca Vieta să le folosească. Puținele „zgură” care rămân în Vieta, precum indicarea puterii prin cuvinte, vor fi eliminate în deceniile următoare, iar în intervalul de aproximativ o sută cincizeci de ani simbolismul matematic va fi atins practic forma actuală.

Problema mormântului lui Diofant

Diofant este responsabil pentru o problemă faimoasă, pe care el însuși și-a dorit să o scrie pe mormântul său sub forma unui epitaf:

( GRC )

«Οὑτός τοι Διόφαντον ἔχει τάφος · ἆ μέγα θαῦμα!
καὶ τάφος ἐκ τέχνης μέτρα βίοιο λέγει.
Ἕκτην κουρίζειν βιότου θεὸς ὤπασε μοίρην,
δωδεκάτην δ 'ἐπιθείς μῆλα πόρεν χνοάειν ·
τῇ δ 'ἄρ' ἑβδομάτῃ τὸ γαμήλιον ἥψατο φέγγος,
ἐκ δὲ γάμων πέμπτῳ παῖδ 'ἐπένευσεν ἔτει.
Αἰαῖ, τηλύγετον δειλὸν τέκος, ἥμισυ πατρός
+ τοῦδε καὶ ἡ κρυερός + μέτρον ἑλὼν βιότου.
Πένθος δ 'αὖ πισύρεσσι παρηγορέων ἐνιαυτοῖς
τῇδε πόσου σοφίῃ τέρμ 'ἐπέρησε βίου. "

( IT )

«Acest mormânt îl ține pe Diofant și, minunează-te!
spune matematic cât a trăit.
O șesime din viața lui a fost copilăria,
a adăugat o doisprezecea pentru a-și acoperi obrajii cu fuzz-ul adolescenței.
După încă un șapte din viața sa, a luat o soție,
iar după cinci ani de căsătorie a avut un fiu.
Nefericit (fiul) a murit brusc
când a ajuns la jumătatea vârstei în care trăia tatăl său.
Părintele supraviețuitor a fost în doliu timp de patru ani
și în cele din urmă a ajuns la sfârșitul vieții sale ".

( Anth. Pal. XIV ^[2] , 126 )

Soluția la ghicitoare constă în următoarea ecuație:

{\frac {x}{6}}+{\frac {x}{12}}+{\frac {x}{7}}+5+{\frac {x}{2}}+4=x

{\ displaystyle {\ frac {x} {6}} + {\ frac {x} {12}} + {\ frac {x} {7}} + 5 + {\ frac {x} {2}} + 4 = x}

{\ displaystyle {\ frac {x} {6}} + {\ frac {x} {12}} + {\ frac {x} {7}} + 5 + {\ frac {x} {2}} + 4 = x}

,

din care derivăm epoca lui Diofant, $x=84$ ${\ displaystyle x = 84}$ ${\ displaystyle x = 84}$ .

Notă

^ Există, de asemenea, o traducere în arabă a operei lui Diofant în șapte cărți: din aceasta - datorită lui Fuat Sezgin - avem ultimele patru cărți, în timp ce primele trei ne sunt cunoscute datorită rezumatului făcut de un comentator: cf. Diophante, Les Arithmétiques , tom III, texte établi et traduit par R. Rashed, Paris, Les Belles Lettres, 1984, p. IX.
^ Cartea XIV a Antologiei Palatine conține epigrame și ghicitori aritmetice. Epigrama în cauză este atribuită lui Metrodor din Bizanț .

Bibliografie

Aritmeticorum libri 6., 1670

( LA ) Diophantus of Alexandria, Aritmeticorum libri 6. , Tolosae, excudebat Bernardus Bosc, este regiunea Collegij Societatis Iesu, 1670. Adus pe 12 aprilie 2015 .

Alte proiecte

Wikisource conține o pagină dedicată lui Diofant din Alexandria
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Diofantul Alexandriei

linkuri externe

Diofant al Alexandriei , pe Sapienza.it , De Agostini .
(EN) Diophantus of Alexandria / Diophantus of Alexandria (altă versiune) , de Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Diophantus of Alexandria , pe MacTutor , Universitatea din St Andrews, Scoția.
Lucrări de Diophantus din Alexandria , pe openMLOL , Horizons Unlimited srl.
( RO ) Lucrări ale lui Diofant din Alexandria , în Biblioteca Deschisă , Internet Archive .
(EN) Diophantus of Alexandria , on Goodreads .
( EN ) Diofant al Alexandriei; un studiu în istoria algebrei grecești de Sir Thomas L. Heath , 1910
( ES ) Biografie pe site-ul web Astroseti

Controlul autorității	VIAF (EN) 2604182 · ISNI (EN) 0000 0001 0863 2588 · LCCN (EN) n82149799 · GND (DE) 118 525 913 · BNF (FR) cb129812620 (dată) · BNE (ES) XX826113 (dată) · BAV (EN ) 495/44422 · CERL cnp01357016 · WorldCat Identities (EN) lccn-n82149799

Portal Biografii

Portalul elenismului

Portalul de matematică

[1] Există, de asemenea, o traducere în arabă a operei lui Diofant în șapte cărți: din aceasta - datorită lui Fuat Sezgin - avem ultimele patru cărți, în timp ce primele trei ne sunt cunoscute datorită rezumatului făcut de un comentator: cf. Diophante, Les Arithmétiques , tom III, texte établi et traduit par R. Rashed, Paris, Les Belles Lettres, 1984, p. IX.

[2] Cartea XIV a Antologiei Palatine conține epigrame și ghicitori aritmetice. Epigrama în cauză este atribuită lui Metrodor din Bizanț .

[1]

[2]