Dipol electric

Liniile de forță ale câmpului electric generate de un dipol electric. Dipolul este format din două încărcături punctuale de polaritate opusă, amplasate una lângă alta.

Un dipol electric , în electrostatică , este un sistem compus din două sarcini electrice cu semn egal și opus și separate printr-o distanță constantă în timp ^[1] . Este unul dintre cele mai simple sisteme de sarcini care poate fi studiat și reprezintă primul termen al dezvoltării în multipoli ai câmpului electric generat de un set de sarcini neutre la nivel global.

Momentul electric al dipolului

Un dipol electric

Având în vedere un sistem de sarcini, un moment electric sau moment dipolar este definit ca o mărime vectorială în modul egală cu produsul sarcinii pozitive prin distanța dintre sarcini și a cărei direcție este aceea care merge de la sarcina negativă la cea pozitivă . Dimensiunile sunt cele ale unei sarcini pentru o lungime și, prin urmare, în SI se măsoară în Coulombs pe metru . Deci, dacă am două acuzații egale, dar cu semn opus $+q$ ${\ displaystyle + q}$ ${\ displaystyle + q}$ Și $-q$ ${\ displaystyle -q}$ $-q$ de la distanță $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , momentul dipol este:

\mathbf {p} =q\mathbf {d}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = q \ mathbf {d}}

\ mathbf {p} = q \ mathbf {d}

unde este $\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ $\ mathbf d$ este vectorul de poziție de la sarcina negativă la sarcina pozitivă și, în electrostatică , se presupune că $\mathbf {\dot {d}} =\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {d}} = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {d}} = \ mathbf {0}}$ aceasta este derivata vectorului $\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ $\ mathbf d$ în ceea ce privește timpul, acesta trebuie să fie zero, adică vectorul $\mathbf {d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ $\ mathbf d$ rămâne constantă (în mărime, direcție și direcție) în timp.

Potential electric

Schema potențialului electric generat de un dipol orientat orizontal.

Același subiect în detaliu: potențialul electric .

Într-un punct situat la o distanță mare de centrul dipolului ( mare , trebuie înțeles, cu privire la extensia fizică d a dipolului însuși), potențialul electrostatic generat de dipol este foarte bine aproximat prin următoarea formulă :

{\ displaystyle V _ {\ mathbf {p}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {qd \ cos \ theta} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {2}}} = {\ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {3}}}}

unde este:

${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\ textstyle \ mathbf {p}}$ ${\ textstyle \ mathbf {p}}$ este vectorul moment dipolar (conform definiției ${\textstyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} }$ ${\ textstyle \ mathbf {p} = q \ mathbf {d}}$ ${\ textstyle \ mathbf {p} = q \ mathbf {d}}$ );
${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ este vectorul care identifică punctul generic P în spațiu față de punctul mediu al dipolului (cu ${\textstyle |\mathbf {r} |\gg |\mathbf {d} |}$ ${\ textstyle | \ mathbf {r} | \ gg | \ mathbf {d} |}$ ${\ textstyle | \ mathbf {r} | \ gg | \ mathbf {d} |}$ adică $r\gg d$ ${\ displaystyle r \ gg d}$ ${\ displaystyle r \ gg d}$ );
${\textstyle \varepsilon }$ ${\ textstyle \ varepsilon}$ ${\ textstyle \ varepsilon}$ este permitivitatea electrică a mediului (această ecuație este valabilă și într-un mediu diferit de vid).

Din această formulă este evident că valoarea potențialului electrostatic în punctul P depinde de vectori ${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\ textstyle \ mathbf {p}}$ ${\ textstyle \ mathbf {p}}$ ( moment dipol ) e ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ (poziția punctului P față de punctul mediu dintre cele două sarcini) și, prin urmare, și din orientarea lor respectivă.

În special potențialul:

scade cu inversul pătratului distanței punctului P de la centrul dipolului;
este zero în plan perpendicular pe dipol ( ${\textstyle \theta =\pm {\frac {\pi }{2}}}$ ${\ textstyle \ theta = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ textstyle \ theta = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}$ ) și trecând prin centrul său;
la aceeași distanță, este maxim (în valoare absolută) de-a lungul direcției ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ (deci când ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ este paralel cu ${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\ textstyle \ mathbf {p}}$ ${\ textstyle \ mathbf {p}}$ sau când ${\textstyle \theta =0}$ ${\ textstyle \ theta = 0}$ ${\ textstyle \ theta = 0}$ );

Considerațiile privind dipolul sunt valabile formal atât în vid, cât și în prezența materiei când $d\ll r$ ${\ displaystyle d \ ll r}$ ${\ displaystyle d \ ll r}$ .

Derivarea formulei potențiale dipolice

Potențialul electrostatic generat de o distribuție discretă a sarcinilor N puncte este dat de:

{\ displaystyle V (\ mathbf {r}; \ mathbf {r} _ {1}, \ dots, \ mathbf {r} _ {N}, q_ {1}, \ dots, q_ {N}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {q_ {i}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} |}}}

unde este:

${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ identifică un punct generic P în spațiu cu privire la originea O;
${\textstyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r} _ {i}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r} _ {i}}$ este vectorul care identifică poziția a taxei mii j- în ceea ce privește originea O;
${\textstyle q_{i}}$ ${\ textstyle q_ {i}}$ ${\ textstyle q_ {i}}$ este valoarea taxei mii j-;
${\textstyle \varepsilon }$ ${\ textstyle \ varepsilon}$ ${\ textstyle \ varepsilon}$ este permitivitatea electrică a mediului (această ecuație este valabilă și într-un mediu diferit de vid).

Din această formulă generală este posibil să derivăm cazul particular al potențialului generat de un dipol sau de un sistem de două sarcini ( N = 2 ) egale în valoare absolută, dar cu semn opus ( ${\textstyle {q_{1}}=q}$ ${\ textstyle {q_ {1}} = q}$ ${\ textstyle {q_ {1}} = q}$ Și ${\textstyle {q_{2}}=-q}$ ${\ textstyle {q_ {2}} = - q}$ ${\ textstyle {q_ {2}} = - q}$ , cu ${\textstyle q>0}$ ${\ textstyle q> 0}$ ${\ textstyle q> 0}$ ) ale căror poziții în spațiu sunt identificate respectiv de ${\textstyle \mathbf {r_{1}} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {1}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {1}}}$ Și ${\textstyle \mathbf {r_{2}} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {2}}}$ . Prin urmare, vectorul distanței dintre cele două încărcături va fi dat de ${\textstyle \mathbf {d} =\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }$ ${\ textstyle \ mathbf {d} = \ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {d} = \ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {2}}}$ și, în consecință, vectorul moment dipolar ${\textstyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} =q(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}$ ${\ textstyle \ mathbf {p} = q \ mathbf {d} = q (\ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {2}})}$ ${\ textstyle \ mathbf {p} = q \ mathbf {d} = q (\ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {2}})}$ . Prin aceste poziții, obținem deci că într-un punct generic P identificat de ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ , potențialul este dat de suprapunerea potențialelor (și, prin urmare, de suma lor) a sarcinilor unice:

{\begin{aligned}V(\mathbf {r} )&={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\right)={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}||\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf {r}) & = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon}} \ left ({\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {1} |}} - {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} |}} \ right) = {\ frac {q} { 4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} | - | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {1} |} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {1} || \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} |}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf {r}) & = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon}} \ left ({\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {1} |}} - {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} |}} \ right) = {\ frac {q} { 4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} | - | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {1} |} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {1} || \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} |}} \ end {align}}}

Prin definirea vectorului ${\textstyle \mathbf {r} _{o}={\frac {\mathbf {r_{1}} +\mathbf {r_{2}} }{2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r} _ {o} = {\ frac {\ mathbf {r_ {1}} + \ mathbf {r_ {2}}} {2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r} _ {o} = {\ frac {\ mathbf {r_ {1}} + \ mathbf {r_ {2}}} {2}}}$ care identifică poziția centrului dipolului (adică punctul de mijloc dintre cele 2 sarcini) și folosind definiția lui ${\textstyle \mathbf {d} }$ ${\ textstyle \ mathbf {d}}$ ${\ textstyle \ mathbf {d}}$ , este posibilă rescrierea vectorilor ${\textstyle \mathbf {r_{1}} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {1}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {1}}}$ Și ${\textstyle \mathbf {r_{2}} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {2}}}$ respectiv ca:

${\textstyle \mathbf {r_{1}} =\mathbf {r_{o}} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {1}} = \ mathbf {r_ {o}} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {1}} = \ mathbf {r_ {o}} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}}$ Și ${\textstyle \mathbf {r_{2}} =\mathbf {r_{o}} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {2}} = \ mathbf {r_ {o}} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {2}} = \ mathbf {r_ {o}} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}}$

De aici

${\begin{aligned}V(\mathbf {r} )&={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}+{\frac {\mathbf {d} }{2}}|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}-{\frac {\mathbf {d} }{2}}|}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}-{\frac {\mathbf {d} }{2}}||\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}+{\frac {\mathbf {d} }{2}}|}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf {r}) & = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {o} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} | - | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {o} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2} } |} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {o} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} || \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ { o} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} |}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf {r}) & = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {o} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} | - | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {o} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2} } |} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {o} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} || \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ { o} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} |}} \ end {align}}}$

Fără a pierde generalitatea, pentru comoditate originea axelor este fixată în centrul dipolului ${\textstyle \mathbf {r_{o}} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {o}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {o}}}$ , plasându-l astfel în mod convențional a ${\textstyle \mathbf {0} }$ ${\ textstyle \ mathbf {0}}$ ${\ textstyle \ mathbf {0}}$ . În virtutea acestei alegeri, poziția taxelor va rezulta, respectiv ${\textstyle \mathbf {r_{1}} ={\frac {\mathbf {d} }{2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {1}} = {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {1}} = {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}}$ Și ${\textstyle \mathbf {r_{2}} =-{\frac {\mathbf {d} }{2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {2}} = - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r_ {2}} = - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}}$ (rămânând întotdeauna în concordanță cu definiția pentru care ${\textstyle \mathbf {d} =\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }$ ${\ textstyle \ mathbf {d} = \ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {2}}}$ ${\ textstyle \ mathbf {d} = \ mathbf {r_ {1}} - \ mathbf {r_ {2}}}$ ) si acum ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ , care continuă să reprezinte poziția punctului P față de origine, identifică și poziția acestuia față de centrul dipolului.

${\begin{aligned}V(\mathbf {r} )&={\frac {q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {|\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|-|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}|}{|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}||\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf {r}) & = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {| \ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} | - | \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} |} {| \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {d} } {2}} || \ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} |}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} V (\ mathbf {r}) & = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {| \ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} | - | \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} |} {| \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {d} } {2}} || \ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} |}} \ end {align}}}$

Acum, plasându-te la o distanță mare de dipol (adică alegerea $r\gg d$ ${\ displaystyle r \ gg d}$ ${\ displaystyle r \ gg d}$ ), pentru numitor, vom avea că:

|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}||\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|\approx r^{2}

{\ displaystyle | \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} || \ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} | \ approx r ^ {2}}

{\ displaystyle | \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} || \ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} | \ approx r ^ {2}}

În timp ce pentru numărător, numirea ${\textstyle \theta }$ ${\ textstyle \ theta}$ ${\ textstyle \ theta}$ unghiul dintre vector ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ și vectorul ${\textstyle \mathbf {d} }$ ${\ textstyle \ mathbf {d}}$ ${\ textstyle \ mathbf {d}}$ (și în consecință și între ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ ${\ textstyle \ mathbf {r}}$ Și ${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\ textstyle \ mathbf {p}}$ ${\ textstyle \ mathbf {p}}$ ), obținem asta

${\begin{aligned}|\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}}|-|\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}}|={\sqrt {(\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}})\cdot (\mathbf {r} +{\frac {\mathbf {d} }{2}})}}-{\sqrt {(\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}})\cdot (\mathbf {r} -{\frac {\mathbf {d} }{2}})}}=\\\left[r^{2}+rd\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}-\left[r^{2}-rd\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}=\\r\left(\left[1+{\frac {d}{r}}\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}-\left[1-{\frac {d}{r}}\cos {\theta }+\left({\frac {d}{2r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}\right)\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} | \ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} | - | \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {d}} { 2}} | = {\ sqrt {(\ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}) \ cdot (\ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}})}} - {\ sqrt {(\ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}) \ cdot (\ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf { d}} {2}})}} = \\\ left [r ^ {2} + rd \ cos {\ theta} + \ left ({\ frac {d} {2}} \ right) ^ {2} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} - \ left [r ^ {2} -rd \ cos {\ theta} + \ left ({\ frac {d} {2}} \ right) ^ { 2} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} = \\ r \ left (\ left [1 + {\ frac {d} {r}} \ cos {\ theta} + \ left ({\ frac {d} {2r}} \ right) ^ {2} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} - \ left [1 - {\ frac {d} {r}} \ cos {\ theta } + \ left ({\ frac {d} {2r}} \ right) ^ {2} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ right) \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} | \ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}} | - | \ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {d}} { 2}} | = {\ sqrt {(\ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}) \ cdot (\ mathbf {r} + {\ frac {\ mathbf {d}} {2}})}} - {\ sqrt {(\ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf {d}} {2}}) \ cdot (\ mathbf {r} - {\ frac {\ mathbf { d}} {2}})}} = \\\ left [r ^ {2} + rd \ cos {\ theta} + \ left ({\ frac {d} {2}} \ right) ^ {2} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} - \ left [r ^ {2} -rd \ cos {\ theta} + \ left ({\ frac {d} {2}} \ right) ^ { 2} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} = \\ r \ left (\ left [1 + {\ frac {d} {r}} \ cos {\ theta} + \ left ({\ frac {d} {2r}} \ right) ^ {2} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} - \ left [1 - {\ frac {d} {r}} \ cos {\ theta } + \ left ({\ frac {d} {2r}} \ right) ^ {2} \ right] ^ {\ frac {1} {2}} \ right) \ end {align}}}$

Având în vedere că, conform dezvoltării lui Taylor trunchiat la prima ordine, adică neglijând termenii de ordine ${\textstyle \left({\frac {d}{r}}\right)^{2}}$ ${\ textstyle \ left ({\ frac {d} {r}} \ right) ^ {2}}$ ${\ textstyle \ left ({\ frac {d} {r}} \ right) ^ {2}}$ , aproximația este valabilă ${\textstyle {\sqrt {1\pm \epsilon }}\approx 1\pm {\frac {\epsilon }{2}}}$ ${\ textstyle {\ sqrt {1 \ pm \ epsilon}} \ approx 1 \ pm {\ frac {\ epsilon} {2}}}$ ${\ textstyle {\ sqrt {1 \ pm \ epsilon}} \ approx 1 \ pm {\ frac {\ epsilon} {2}}}$ , în numărător va fi ${\textstyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1}|\approx d\cos \theta }$ ${\ textstyle | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} | - | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {1} | \ approx d \ cos \ theta}$ ${\ textstyle | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {2} | - | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {1} | \ approx d \ cos \ theta}$

Expresia așteptată pentru potențialul dipol este apoi obținută în cele din urmă:

{\ displaystyle V _ {\ mathbf {p}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {qd \ cos \ theta} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {2}}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {p}} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {3}}}}

unde notația este contractată folosind produsul punct:

\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} =r\,p\cos \theta =r\,(q\,d)\cos {\theta }=q\,r\,d\cos {\theta }

{\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {p} = r \, p \ cos \ theta = r \, (q \, d) \ cos {\ theta} = q \, r \, d \ cos {\ theta}}

{\ displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {p} = r \, p \ cos \ theta = r \, (q \, d) \ cos {\ theta} = q \, r \, d \ cos {\ theta}}

Câmp electric

Fiind un câmp electrostatic conservator, avem:

\mathbf {E} _{0}=-\mathbf {\nabla } V_{0}

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} = - \ mathbf {\ nabla} V_ {0}}

\ mathbf E_0 = - \ mathbf \ nabla V_0

putem obține câmpul electric în coordonate polare sferice sau în coordonate carteziene (dipolul este orientat în funcție de axa z): ^[2]

{\begin{cases}E_{0r}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial r}}={\dfrac {2p\cos \theta }{4\pi \varepsilon r^{3}}}\\\\E_{0\theta }=-{\dfrac {1}{r}}{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial \theta }}={\dfrac {p\sin \theta }{4\pi \varepsilon r^{3}}}\\\\E_{0\phi }=-{\dfrac {1}{r\sin \theta }}{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial \phi }}=0\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}E_{0x}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial x}}={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}{\dfrac {3xz}{r^{5}}}\\\\E_{0y}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial y}}={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}{\dfrac {3yz}{r^{5}}}\\\\E_{0z}=-{\dfrac {\partial V_{0}}{\partial z}}={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}\left[{\dfrac {3z^{2}}{r^{5}}}-{\dfrac {1}{r^{3}}}\right]={\dfrac {p}{4\pi \varepsilon }}{\dfrac {3z^{2}-r^{2}}{r^{5}}}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} E_ {0r} = - {\ dfrac {\ partial V_ {0}} {\ partial r}} = {\ dfrac {2p \ cos \ theta} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {3}}} \\\\ E_ {0 \ theta} = - {\ dfrac {1} {r}} {\ dfrac {\ partial V_ {0}} {\ partial \ theta}} = {\ dfrac {p \ sin \ theta} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {3}}} \\\\ E_ {0 \ phi} = - {\ dfrac {1} {r \ sin \ theta}} {\ dfrac { \ partial V_ {0}} {\ partial \ phi}} = 0 \ end {cases}} \ qquad \ qquad {\ begin {cases} E_ {0x} = - {\ dfrac {\ partial V_ {0}} { \ partial x}} = {\ dfrac {p} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ dfrac {3xz} {r ^ {5}}} \\\\ E_ {0y} = - {\ dfrac {\ partial V_ {0}} {\ partial y}} = {\ dfrac {p} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ dfrac {3yz} {r ^ {5}}} \\\\ E_ {0z} = - {\ dfrac {\ partial V_ {0}} {\ partial z}} = {\ dfrac {p} {4 \ pi \ varepsilon}} \ left [{\ dfrac {3z ^ {2}} {r ^ {5 }}} - {\ dfrac {1} {r ^ {3}}} \ right] = {\ dfrac {p} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ dfrac {3z ^ {2} -r ^ {2 }} {r ^ {5}}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} E_ {0r} = - {\ dfrac {\ partial V_ {0}} {\ partial r}} = {\ dfrac {2p \ cos \ theta} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {3}}} \\\\ E_ {0 \ theta} = - {\ dfrac {1} {r}} {\ dfrac {\ partial V_ {0}} {\ partial \ theta}} = {\ dfrac {p \ sin \ theta} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {3}}} \\\\ E_ {0 \ phi} = - {\ dfrac {1} {r \ sin \ theta}} {\ dfrac { \ partial V_ {0}} {\ partial \ phi}} = 0 \ end {cases}} \ qquad \ qquad {\ begin {cases} E_ {0x} = - {\ dfrac {\ partial V_ {0}} { \ partial x}} = {\ dfrac {p} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ dfrac {3xz} {r ^ {5}}} \\\\ E_ {0y} = - {\ dfrac {\ partial V_ {0}} {\ partial y}} = {\ dfrac {p} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ dfrac {3yz} {r ^ {5}}} \\\\ E_ {0z} = - {\ dfrac {\ partial V_ {0}} {\ partial z}} = {\ dfrac {p} {4 \ pi \ varepsilon}} \ left [{\ dfrac {3z ^ {2}} {r ^ {5 }}} - {\ dfrac {1} {r ^ {3}}} \ right] = {\ dfrac {p} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ dfrac {3z ^ {2} -r ^ {2 }} {r ^ {5}}} \ end {cases}}}

cu intensitate egală cu:

|\mathbf {E} _{0}(r,\phi ,\psi )|=|\mathbf {E} _{0}(x,y,z)|={\frac {p{\sqrt {1+3\cos ^{2}\theta }}}{4\pi \varepsilon r^{3}}}={\frac {p{\sqrt {(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+3z^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}}{4\pi \varepsilon r^{5}}}

{\ displaystyle | \ mathbf {E} _ {0} (r, \ phi, \ psi) | = | \ mathbf {E} _ {0} (x, y, z) | = {\ frac {p {\ sqrt {1 + 3 \ cos ^ {2} \ theta}}} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {3}}} = {\ frac {p {\ sqrt {(x ^ {2} + y ^ {2 } + z ^ {2}) ^ {2} + 3z ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2})}} {4 \ pi \ varepsilon r ^ {5 }}}}

| \ mathbf E_0 (r, \ phi, \ psi) | = | \ mathbf E_0 (x, y, z) | = \ frac {p \ sqrt {1 + 3 \ cos ^ 2 \ theta}} {4 \ pi \ varepsilon r ^ 3} = \ frac {p \ sqrt { (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) ^ {2} + 3z ^ 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)}} {4 \ pi \ varepsilon r ^ 5}

.

Câmpul poate fi scris în continuare ca gradient al produsului între momentul electric și vectorul distanței reduse a pătratului acestuia. Calculul acestei cantități duce la următoarea expresie mai compactă:

\mathbf {E} ={\frac {3\left(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon r^{5}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ frac {3 \ left (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} \ right) \ mathbf {r} -r ^ {2} \ mathbf {p}} { 4 \ pi \ varepsilon r ^ {5}}}}

\ mathbf E = \ frac {3 \ left (\ mathbf p \ cdot \ mathbf r \ right) \ mathbf r - r ^ 2 \ mathbf p} {4 \ pi \ varepsilon r ^ 5}

Energie potențială electrostatică

Dacă un dipol este supus forțelor în orice câmp electric extern, energia potențială electrostatică a dipolului este dată de diferența de potențial dintre cele două sarcini, presupusă ca de obicei a fi foarte aproape: ^[3]

{\begin{aligned}U&=q\left[V(x+dx,y+dy,z+dz)-V(x,y,z)\right]\\&=q\left[V(x,y,z)+\mathbf {\nabla } V\cdot \mathbf {{\mbox{d}}\delta } -V(x,y,z)\right]\\&=q\mathbf {{\mbox{d}}\delta } \cdot \mathbf {\nabla } V(x,y,z)\\&=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} (x,y,z)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} U & = q \ left [V (x + dx, y + dy, z + dz) -V (x, y, z) \ right] \\ & = q \ left [ V (x, y, z) + \ mathbf {\ nabla} V \ cdot \ mathbf {{\ mbox {d}} \ delta} -V (x, y, z) \ right] \\ & = q \ mathbf {{\ mbox {d}} \ delta} \ cdot \ mathbf {\ nabla} V (x, y, z) \\ & = - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {E} (x, y, z ) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} U & = q \ left [V (x + dx, y + dy, z + dz) -V (x, y, z) \ right] \\ & = q \ left [ V (x, y, z) + \ mathbf {\ nabla} V \ cdot \ mathbf {{\ mbox {d}} \ delta} -V (x, y, z) \ right] \\ & = q \ mathbf {{\ mbox {d}} \ delta} \ cdot \ mathbf {\ nabla} V (x, y, z) \\ & = - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {E} (x, y, z ) \ end {align}}}

unde este $\mathbf {{\mbox{d}}\delta } =(dx,dy,dz)$ ${\ displaystyle \ mathbf {{\ mbox {d}} \ delta} = (dx, dy, dz)}$ $\ mathbf {\ mbox {d} \ delta} = (dx, dy, dz)$ Și $\mathbf {p} =q\mathbf {{\mbox{d}}\delta }$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = q \ mathbf {{\ mbox {d}} \ delta}}$ $\ mathbf p = q \ mathbf {\ mbox {d} \ delta}$ este momentul electric al dipolului. Explicarea produsului dot:

U=-pE\cos \theta

{\ displaystyle U = -pE \ cos \ theta}

U = -pE \ cos \ theta

cu $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ care reprezintă unghiul dintre cei doi vectori.

Forțe care acționează asupra unui dipol electric scufundat într-un câmp electric extern

Acțiune mecanică

Infinitezimal munca efectuată de către un sistem rigid care efectuează o traducere ${\mbox{d}}\mathbf {r}$ ${\ displaystyle {\ mbox {d}} \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {d}} \ mathbf {r}}$ și o rotație ${\mbox{d}}{\boldsymbol {\theta }}$ ${\ displaystyle {\ mbox {d}} {\ boldsymbol {\ theta}}}$ ${\ displaystyle {\ mbox {d}} {\ boldsymbol {\ theta}}}$ este valabil:

{\mbox{d}}L=\mathbf {F} \cdot {\mbox{d}}\mathbf {r} +\mathbf {M} \cdot {\mbox{d}}{\boldsymbol {\theta }}

{\ displaystyle {\ mbox {d}} L = \ mathbf {F} \ cdot {\ mbox {d}} \ mathbf {r} + \ mathbf {M} \ cdot {\ mbox {d}} {\ boldsymbol { \ theta}}}

{\ displaystyle {\ mbox {d}} L = \ mathbf {F} \ cdot {\ mbox {d}} \ mathbf {r} + \ mathbf {M} \ cdot {\ mbox {d}} {\ boldsymbol { \ theta}}}

Unde este $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ este rezultanta forței și $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ momentul mecanic rezultat.

Pe de altă parte, diferențierea energiei dipolului:

{\mbox{d}}U={\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {{\mbox{d}}r} +{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\mbox{d}}\theta =\mathbf {\nabla } U\cdot \mathbf {{\mbox{d}}(r,\theta )}

{\ displaystyle {\ mbox {d}} U = {\ frac {\ partial U} {\ partial \ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {{\ mbox {d}} r} + {\ frac {\ partial U} {\ partial \ theta}} {\ mbox {d}} \ theta = \ mathbf {\ nabla} U \ cdot \ mathbf {{\ mbox {d}} (r, \ theta)}}

\ mbox {d} U = \ frac {\ partial U} {\ partial \ mathbf r} \ cdot \ mathbf {\ mbox {d} r} + \ frac {\ partial U} {\ partial \ theta} \ mbox { d} \ theta = \ mathbf \ nabla U \ cdot \ mathbf {\ mbox {d} (r, \ theta)}

unde s-a folosit derivata direcțională deoarece, prin definiție, energia potențială aparține primei clase de continuitate . În acest moment putem compara cele două expresii anterioare în special pentru câmpul electric și, având în vedere că gradientul acționează numai pe coordonatele x , y , z și dependența de $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este conținut numai în produsul dot: ^[4]

\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U=(\mathbf {p} \cdot \nabla )\mathbf {E} \qquad \mathbf {M} =\mathbf {p} \times \mathbf {E}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ mathbf {\ nabla} U = (\ mathbf {p} \ cdot \ nabla) \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {M} = \ mathbf {p} \ times \ mathbf {E}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ mathbf {\ nabla} U = (\ mathbf {p} \ cdot \ nabla) \ mathbf {E} \ qquad \ mathbf {M} = \ mathbf {p} \ times \ mathbf {E}}

Dacă câmpul electric este uniform și atunci $\nabla \mathbf {E} =0$ ${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {E} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {E} = 0}$ există doar un moment mecanic care tinde să determine rotirea dipolului în direcția câmpului electric. În timp ce dacă câmpul electric este variabil spațial, odată ce dipolul este aliniat cu liniile de câmp locale, acționează asupra lui o forță care îl trage în regiunea în care câmpul este cel mai intens.

Distribuirea taxelor

În cazul unei distribuții continue a sarcinii care ocupă un volum $\mathrm {T}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T}}$ , putem generaliza definiția unui dipol definind momentul dipolului ca:

\mathbf {p} =\int \limits _{\mathrm {T} }\rho (\mathbf {r'} )\,\mathbf {r'} \ d^{3}\mathbf {r'}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ int \ limits _ {\ mathrm {T}} \ rho (\ mathbf {r '}) \, \ mathbf {r'} \ d ^ {3} \ mathbf {r ' }}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ int \ limits _ {\ mathrm {T}} \ rho (\ mathbf {r '}) \, \ mathbf {r'} \ d ^ {3} \ mathbf {r ' }}

unde este $\mathbf {r} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ ${\ mathbf r} '$ este vectorul care identifică elementul infinitesimal al volumului $d^{3}\mathbf {r} '$ ${\ displaystyle d ^ {3} \ mathbf {r} '}$ ${\ displaystyle d ^ {3} \ mathbf {r} '}$ în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $\rho (\mathbf {r} ')$ ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r} ')}$ ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r} ')}$ este densitatea volumetrică a distribuției continue a sarcinii.

Pentru o distribuție discretă a sarcinii, densitatea sarcinii este descrisă prin delta Dirac :

\rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \, \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i })}

\ rho (\ mathbf {r}) = \ sum_ {i = 1} ^ N \, q_i \, \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _i)

unde este $\mathbf {r} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf r_i$ este poziția sarcinii $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , și integrându-ne pe volumul pe care îl avem:

{\begin{aligned}\mathbf {p} &=\int \limits _{V}\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\delta (\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{i})\,\mathbf {r'} \ d^{3}\mathbf {r'} \\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\int \limits _{V}\delta (\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{i})\,\mathbf {r'} \ d^{3}\mathbf {r'} \\&=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\mathbf {r} _{i}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {p} & = \ int \ limits _ {V} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \, \ delta (\ mathbf { r '} - \ mathbf {r} _ {i}) \, \ mathbf {r'} \ d ^ {3} \ mathbf {r '} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \ int \ limits _ {V} \ delta (\ mathbf {r '} - \ mathbf {r} _ {i}) \, \ mathbf {r'} \ d ^ {3} \ mathbf {r '} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {p} & = \ int \ limits _ {V} \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \, \ delta (\ mathbf { r '} - \ mathbf {r} _ {i}) \, \ mathbf {r'} \ d ^ {3} \ mathbf {r '} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \ int \ limits _ {V} \ delta (\ mathbf {r '} - \ mathbf {r} _ {i}) \, \ mathbf {r'} \ d ^ {3} \ mathbf {r '} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ end {align}}}

Se arată că la o distanță mare de volum $\mathrm {T}$ ${\ displaystyle \ mathrm {T}}$ $\ mathrm {T}$ distribuțiile de încărcare se comportă din toate punctele de vedere ca un dipol $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ atât în ceea ce privește potențialul electric, cât și acțiunile mecanice. În timp ce la o distanță mică este necesar să se utilizeze formulele integrale (sau însumarea în caz discret) care iau în considerare distribuția locală a taxei.

Radiație dipol oscilantă

Același subiect în detaliu: Radiația dipol electrică .

Un dipol electric oscilant este un dipol care are polarizare electrică periodică dependentă de timp, care poate fi descrisă prin seria Fourier formată din factori de formă:

\mathbf {p} =\mathbf {p'(\mathbf {r} )} e^{-i\omega t}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ mathbf {p '(\ mathbf {r})} e ^ {- i \ omega t}}

\ mathbf {p} = \ mathbf {p '(\ mathbf r)} e ^ {- i \ omega t}

unde este $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este frecvența unghiulară . În vid, câmpurile produse sunt:

\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left\{{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}r}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\times {\hat {\mathbf {r} }}+\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {i\omega }{cr^{2}}}\right)\left[3{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} )-\mathbf {p} \right]\right\}e^{i\omega r/c}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ left \ {{\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2} r} } ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {p}) \ times {\ hat {\ mathbf {r}}} + \ left ({\ frac {1} {r ^ {3} }} - {\ frac {i \ omega} {cr ^ {2}}} \ right) \ left [3 {\ hat {\ mathbf {r}}} ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {p}) - \ mathbf {p} \ right] \ right \} e ^ {i \ omega r / c}}

\ mathbf {E} = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon_0} \ left \ {\ frac {\ omega ^ 2} {c ^ 2 r} (\ hat {\ mathbf {r}} \ times \ mathbf {p}) \ times \ hat {\ mathbf {r}} + \ left (\ frac {1} {r ^ 3} - \ frac {i \ omega} {cr ^ 2} \ right) \ left [3 \ hat {\ mathbf {r}} (\ hat {\ mathbf {r}} \ cdot \ mathbf {p}) - \ mathbf {p} \ right] \ right \} e ^ {i \ omega r / c}

\mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} \left(1-{\frac {c}{i\omega r}}\right){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {3}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {p} \ left (1 - {\ frac {c} {i \ omega r}} \ right) {\ frac {e ^ {i \ omega r / c}} {r}}}

\ mathbf {B} = \ frac {\ omega ^ 2} {4 \ pi \ varepsilon_0 c ^ 3} \ hat {\ mathbf {r}} \ times \ mathbf {p} \ left (1 - \ frac {c} {i \ omega r} \ right) \ frac {e ^ {i \ omega r / c}} {r}

Într-o poziție departe de dipol, pentru $\scriptstyle r\omega /c\gg 1$ ${\ displaystyle \ scriptstyle r \ omega / c \ gg 1}$ $\ scriptstyle r \ omega / c \ gg 1$ , câmpurile tind să formeze o undă sferică în configurația limită:

\mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} ){\frac {e^{i\omega r/c}}{r}}\qquad \mathbf {E} =c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {\ omega ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {3}}} ({\ hat {\ mathbf {r}}} \ times \ mathbf {p}) {\ frac {e ^ {i \ omega r / c}} {r}} \ qquad \ mathbf {E} = c \ mathbf {B} \ times {\ hat {\ mathbf {r }}}}

\ mathbf {B} = \ frac {\ omega ^ 2} {4 \ pi \ varepsilon_0 c ^ 3} (\ hat {\ mathbf {r}} \ times \ mathbf {p}) \ frac {e ^ {i \ omega r / c}} {r} \ qquad \ mathbf {E} = c \ mathbf {B} \ times \ hat {\ mathbf {r}}

care produce o putere totală, medie în timp, dată de:

P={\frac {\omega ^{4}}{12\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}|\mathbf {p} |^{2}

{\ displaystyle P = {\ frac {\ omega ^ {4}} {12 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {3}}} | \ mathbf {p} | ^ {2}}

P = \ frac {\ omega ^ 4} {12 \ pi \ varepsilon_0 c ^ 3} | \ mathbf {p} | ^ 2

Energia asociată cu radiația emisă nu este distribuită izotrop, fiind concentrată în jurul direcției perpendiculare pe momentul dipolar, iar această ecuație este adesea descrisă prin utilizarea armonicelor sferice .

Câmpul electromagnetic asociat cu dipolul oscilant este baza a numeroase aplicații tehnologice, începând cu antena dipolară .

Molecule

Același subiect în detaliu: dipol molecular .

În chimie , momentul electric al unei molecule se referă la suma vectorială a tuturor momentelor de legătură prezente în molecula însăși. O moleculă nepolară are un moment electric egal cu zero: acesta este cazul, de exemplu, al metanului sau al dioxidului de carbon ale cărui structuri geometrice (respectiv tetraedrice și liniare) anulează efectul momentelor de legătură dipolară unice (rezultatul este nul) . Legăturile omogene, cum ar fi cele dintre doi atomi de clor pentru a forma o moleculă de Cl ₂ , nu sunt polare, deoarece diferența de electronegativitate este zero și, prin urmare, nu au un moment electric. Vectorul moment electric al entităților chimice este de obicei orientat cu direcția orientată spre sarcina negativă, care corespunde celui mai electronegativ element.

Notă

^ Mencuccini, Silvestrini , p. 42 .
^ Mencuccini, Silvestrini , p. 43 .
^ Mencuccini, Silvestrini , p. 46 .
^ Mencuccini, Silvestrini , p. 47 .

Bibliografie

Corrado Mencuccini și Vittorio Silvestrini, Fizica II , Napoli, Liguori Editore , 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
John D. Jackson, Electrodinamica clasică , traducere de A. Barbieri, ed. A III-a, Zanichelli, 2001, pp. 146, 400-403, ISBN 978-88-08-09153-6 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[dip-1] Mencuccini, Silvestrini , p. 42 .

[2] Mencuccini, Silvestrini , p. 43 .

[3] Mencuccini, Silvestrini , p. 46 .

[4] Mencuccini, Silvestrini , p. 47 .

[1]

[2]

[3]

[4]