Dipol magnetic

Liniile de forță ale câmpului magnetic generate de o bobină traversată de un curent electric : se poate vedea că au aceeași tendință ca și câmpul electric generat de un dipol electric .

Dipolul magnetic este un model care poate fi obținut luând în considerare două sarcini magnetice opuse conectate rigid.

Un dipol magnetic , în magnetostatică , este un magnet obținut prin luarea în considerare a unei bobine microscopice traversate de un curent electric . ^[1] Acesta este primul termen al expansiunii câmpului magnetic în multipoli .

Magnitudinea care caracterizează în principal un dipol magnetic este momentul magnetic , care cuantifică tendința dipolului de a se orienta într-o direcție dată în prezența unui câmp magnetic extern.

Este un model echivalent cu două sarcini magnetice opuse conectate rigid, în analogie cu dipolul electric . Se realizează prin scăderea dimensiunii unei bobine traversate de un curent electric, menținându-și constant momentul magnetic și luând limita în care aria bobinei este zero. Dipolul magnetic este cel mai simplu caz al unui pol 2p, unde 2p este numărul de perechi polare , care conform legii magnetice Gaussiene este un număr întreg .

Este o schemă utilă a influenței unui câmp magnetic asupra bobinelor foarte mici traversate de curent și, prin urmare, este utilizată în câmpul fenomenologiei magnetismului în materie prin intermediul modelelor atomice clasice (cum ar fi cele ale lui Rutherford și Bohr), prin intermediul 'introducerea curenților atomici datorită mișcării electronilor și a curenților Larmor cauzată de precesiunea orbitei lor .

Moment magnetic

Același subiect în detaliu: Moment magnetic .

Buclă plană traversată de curentul I având aria S și momentul dipolar magnetic μ

Solenoid în trei dimensiuni

Înainte de 1930 momentul magnetic a fost definit în texte folosind conceptul de „pol magnetic”, în analogie cu electrostatica . Ulterior, s-a preferat să se ia în considerare o buclă traversată de curent electric : în limita în care dimensiunile sale scad păstrând constant produsul între curent și zonă, se obține modelul dipolului magnetic.

În primul model, un magnet poate fi gândit ca doi poli magnetici de „sarcină magnetică” $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ având polaritate opusă și separată de o oarecare distanță ${\boldsymbol {\ell }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ ell}}}$ $\ boldsymbol \ ell$ . Momentul magnetic $\mathbf {m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m}}$ ${\ mathbf m}$ generat este direct proporțional cu încărcătura și cu distanța care separă încărcăturile.

\mathbf {m} =p{\boldsymbol {\ell }}

{\ displaystyle \ mathbf {m} = p {\ boldsymbol {\ ell}}}

\ mathbf {m} = p \ boldsymbol {\ ell}

Direcția direcției sale indică, de asemenea, de la polul sud la polul nord.

În al doilea model, care utilizează o buclă de zonă $\mathbf {S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$ ${\ mathbf S}$ traversat de curent $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , momentul magnetic este definit ca produsul zonei și curentului după cum urmează:

\mathbf {m} =I\mathbf {S}

{\ displaystyle \ mathbf {m} = I \ mathbf {S}}

\ mathbf {m} = I \ mathbf {S}

iar direcția vectorului de zonă urmează regula mâinii drepte . ^[2]

În cel mai general caz, momentul unei distribuții spațiale arbitrare a curentului este dat de ecuația:

\mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\int _{V}\mathbf {r} \times \left(\rho _{e}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {r} }{\operatorname {d} t}}\right)\,{\rm {d}}r^{3}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho _{e}\mathbf {r} \times {\frac {\operatorname {d} \mathbf {r} }{\operatorname {d} t}}\,{\rm {d}}r^{3}

{\ displaystyle \ mathbf {m} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ left (\ rho _ {e} {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} \ right) \, {\ rm {d}} r ^ {3} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho _ {e} \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} \, {\ rm {d}} r ^ {3} }

{\ displaystyle \ mathbf {m} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ mathbf {r} \ times \ left (\ rho _ {e} {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} \ right) \, {\ rm {d}} r ^ {3} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho _ {e} \ mathbf {r} \ times {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}} \, {\ rm {d}} r ^ {3} }

unde este $\rho _{e}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {r} }{\operatorname {d} t}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {e} {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {e} {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {r}} {\ operatorname {d} t}}}$ este densitatea de curent în raport cu elementul de volum din punct $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ , cu $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ densitatea sarcinii e $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ viteza și unde $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$ este produsul vector e $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ pozitia. În sistemul internațional (SI), mărimea dipol magnetic este Zona × curent electric , care se traduce în două notațiile echivalente: 1 m ² · A = 1 J / T.

Câmp magnetic generat de un dipol

Același subiect în detaliu: dezvoltarea multipolelor .

Un dipol magnetic generează un câmp magnetic , descris de primul termen al dezvoltării multipolului unui câmp generic.

Câmp extern

În fizica clasică, câmpul magnetic generat de un dipol este calculat luând în considerare o buclă traversată de un curent electric . În limita în care dimensiunile sale scad păstrând constant produsul între curent și zonă, se obține modelul pentru dipolul magnetic. Potențialul magnetic al bobinei este dat de expresia:

\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {\ mathbf {m} \ times \ mathbf {r}} {r ^ {3}} }}

\ mathbf A = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ frac {\ mathbf m \ times \ mathbf r} {r ^ 3}

,

unde este $\mathbf {m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m}}$ ${\ mathbf m}$ este momentul dipol magnetic e $\mu _{0}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$ $\ mu_0$ este permeabilitatea magnetică a vidului.

Puterea câmpului magnetic $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ este dat de:

\mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ mathbf {r}}) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left ( {\ frac {3 \ mathbf {r} (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {5}}} - {\ frac {\ mathbf {m}} {r ^ {3} }} \ dreapta)}

\ mathbf {B} ({\ mathbf {r}}) = \ nabla \ times {\ mathbf {A}} = \ frac {\ mu_ {0}} {4 \ pi} \ left (\ frac {3 \ mathbf {r} (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {5}} - \ frac {{\ mathbf {m}}} {r ^ {3}} \ right)

.

Într-un mod echivalent, două sarcini magnetice opuse pot fi considerate ca un model dipol în limita în care distanța și sarcina lor scad astfel încât să-și păstreze produsul constant, în analogie cu dipolul electric . Potențialul magnetic scalar este astfel obținut:

\psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}}

{\ displaystyle \ psi ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {{\ mathbf {m}} \ cdot {\ mathbf {r}}} {4 \ pi r ^ {3}}}}

\ psi ({\ mathbf {r}}) = \ frac {{\ mathbf {m}} \ cdot {\ mathbf {r}}} {4 \ pi r ^ {3}}

,

din care avem că intensitatea $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf H$ Și:

{\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right)=\mathbf {B} /\mu _{0}

{\ displaystyle {\ mathbf {H}} ({\ mathbf {r}}) = - \ nabla \ psi = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {3 \ mathbf {r } (\ mathbf {m} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {5}}} - {\ frac {\ mathbf {m}} {r ^ {3}}} \ right) = \ mathbf { B} / \ mu _ {0}}

{\ mathbf {H}} ({\ mathbf {r}}) = - \ nabla \ psi = \ frac {1} {4 \ pi} \ left (\ frac {3 \ mathbf {r} (\ mathbf {m } \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {5}} - \ frac {{\ mathbf {m}}} {r ^ {3}} \ right) = \ mathbf {B} / \ mu_0

.

Acest câmp este simetric în raport cu rotațiile din jurul axei momentului magnetic.

Reprezentarea vectorială a perechii magnetice pe un dipol

{\boldsymbol {\tau }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}

\ boldsymbol {\ tau}

_B. Perechea dipolară magnetică este dată de un vector care iese din planul de desen și ortogonal, acesta este generat de forțele F și -F, care se află pe planul de desen.

Câmp intern

Câmpul generat de un dipol poate fi modelat cu o buclă traversată de curent numai în afara regiunii spațiului ocupat de sursă. Presupunând că scade extensia spațială a buclei, câmpul limită este:

\mathbf {B} (\mathbf {x} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {x} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {x} )\right]

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {x}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {n} (\ mathbf { n} \ cdot \ mathbf {m}) - \ mathbf {m}} {| \ mathbf {x} | ^ {3}}} + {\ frac {8 \ pi} {3}} \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {x}) \ dreapta]}

\ mathbf {B} (\ mathbf {x}) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ left [\ frac {3 \ mathbf {n} (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {m}) - \ mathbf {m}} {| \ mathbf {x} | ^ 3} + \ frac {8 \ pi} {3} \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {x}) \ right]

unde este $\mathbf {n} =\mathbf {x} /|\mathbf {x} |$ ${\ displaystyle \ mathbf {n} = \ mathbf {x} / | \ mathbf {x} |}$ $\ mathbf n = \ mathbf x / | \ mathbf x |$ , iar expresia este valabilă în cadrul dipolului.

Dacă luăm în considerare modelul dipol care utilizează două sarcini, câmpul limită este:

\mathbf {H} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {x} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {x} )\right]

{\ displaystyle \ mathbf {H} (\ mathbf {x}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ left [{\ frac {3 \ mathbf {n} (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {m}) - \ mathbf {m}} {| \ mathbf {x} | ^ {3}}} - {\ frac {4 \ pi} {3}} \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf { x}) \ dreapta]}

\ mathbf {H} (\ mathbf {x}) = \ frac {1} {4 \ pi} \ left [\ frac {3 \ mathbf {n} (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {m}) - \ mathbf {m}} {| \ mathbf {x} | ^ 3} - \ frac {4 \ pi} {3} \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {x}) \ right]

Câmpurile astfel obținute sunt legate de relația:

\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mu _ {0} (\ mathbf {H} + \ mathbf {M})}

\ mathbf {B} = \ mu_0 (\ mathbf {H} + \ mathbf {M})

unde este:

\mathbf {M} (\mathbf {x} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {x} )

{\ displaystyle \ mathbf {M} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {x})}

\ mathbf {M} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {m} \ delta (\ mathbf {x})

este vectorul de magnetizare .

Forțe între doi dipoli magnetici

Forta $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ exercitat de un moment dipolar $\mathbf {m} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {1}}$ $\ mathbf m_1$ într-un alt moment dipolar $\mathbf {m} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {2}}$ $\ mathbf m_2$ îndepărtat $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ din prima se poate calcula folosind relația:

\mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ left (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {B} _ {1} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla \ left (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {B} _ {1} \ right)}

sau:

\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right]

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, \ mathbf {m} _ {1}, \ mathbf {m} _ {2}) = {\ dfrac {3 \ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {5}}} \ left [(\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {m} _ {2} + (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {m} _ {1} + (\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {m} _ {2}) \ mathbf {r} - {\ dfrac { 5 (\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {r}) (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {2}}} \ mathbf {r } \ dreapta]}

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}, \ mathbf {m} _ {1}, \ mathbf {m} _ {2}) = {\ dfrac {3 \ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {5}}} \ left [(\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {m} _ {2} + (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {r}) \ mathbf {m} _ {1} + (\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {m} _ {2}) \ mathbf {r} - {\ dfrac { 5 (\ mathbf {m} _ {1} \ cdot \ mathbf {r}) (\ mathbf {m} _ {2} \ cdot \ mathbf {r})} {r ^ {2}}} \ mathbf {r } \ dreapta]}

Forța care acționează asupra $\mathbf {m} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m} _ {1}}$ $\ mathbf m_1$ are direcție opusă, în timp ce momentul mecanic este dat de: