Discul Poincaré

O teselare a discului Poincaré folosind triunghiuri hiperbolice.

O altă teselare de disc folosind poligoane. Poligoanele cu același număr de laturi sunt toate izometrice în metrica hiperbolică.

Discul Poincaré este un model de geometrie hiperbolică , descris de matematicianul francez Jules Henri Poincaré . Un alt model cu caracteristici similare este jumătatea spațiului Poincaré .

Discul lui Poincaré este un disc $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, în care segmentele (adică geodezice ) sunt arcuri de circumferință sau linii drepte ortogonale la marginea discului. Metrica definită pe disc nu este cea euclidiană standard: este definită diferit, astfel încât marginea discului apare de fapt „la infinit”.

Definiție

Pucul lui Poincaré este mingea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional

B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}

{\ displaystyle B ^ {n} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ | \ | x | <1 \}}

{\ displaystyle B ^ {n} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ | \ | x | <1 \}}

înzestrat cu o geometrie diferită de cea euclidiană. Această geometrie poate fi introdusă în diferite moduri. Dimensiunea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este arbitrar, dar cel mai studiat este, fără îndoială, dimensiunea $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ : în acest caz spațiul este într-adevăr un disc, centrat în originea și cu raza unitară.

Definiția modernă a geometriei discului Poincaré folosește tensori : discul Poincaré este o varietate Riemanniană specială, în care conceptele de distanță, unghi și geodezie sunt toate determinate de un tensor metric . O versiune simplificată (care nu folosește tensori) poate fi dată prin definirea directă a distanței dintre puncte.

Cu tensori

Discul lui Poincaré este sfera $B^{n}$ ${\ displaystyle B ^ {n}}$ ${\ displaystyle B ^ {n}}$ echipat cu tensorul metric

ds^{2}=4{\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{(1-\sum _{i}x_{i}^{2})^{2}}}.

{\ displaystyle ds ^ {2} = 4 {\ frac {\ sum _ {i} dx_ {i} ^ {2}} {(1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ { 2}}}.}

{\ displaystyle ds ^ {2} = 4 {\ frac {\ sum _ {i} dx_ {i} ^ {2}} {(1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ { 2}}}.}

Cu alte cuvinte, tensorul metric la punct $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n})$ Și

g_{ij}={\frac {4}{(1-\sum _{i}x_{i}^{2})^{2}}}\delta _{ij}

{\ displaystyle g_ {ij} = {\ frac {4} {(1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ {2}}} \ delta _ {ij}}

{\ displaystyle g_ {ij} = {\ frac {4} {(1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ {2}}} \ delta _ {ij}}

unde este $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ este delta Kronecker . Acesta este

g={\frac {4}{(1-\sum _{i}x_{i}^{2})^{2}}}I

{\ displaystyle g = {\ frac {4} {(1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ {2}}} I}

{\ displaystyle g = {\ frac {4} {(1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ {2}}} I}

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea identității $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. Prin urmare, este tensorul metric euclidian obișnuit, redimensionat de un factor pozitiv

{\frac {4}{(1-\sum _{i}x_{i}^{2})^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {(1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {4} {(1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}) ^ {2}}}}

care depinde de punct și care tinde spre infinit pe măsură ce punctul se apropie de marginea discului. Într-adevăr, valoarea

1-\sum _{i}x_{i}^{2}

{\ displaystyle 1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}}

{\ displaystyle 1- \ sum _ {i} x_ {i} ^ {2}}

este pozitiv exact în interiorul discului și este nul pe margine.

Tensorul metric este definit pozitiv în fiecare punct: discul Poincaré este, prin urmare, o varietate Riemanniană de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Prin urmare, conceptele de distanță , geodezie și unghi sunt definite pe o varietate riemanniană.

Ca spațiu metric

Pucul lui Poincaré este mingea $B^{n}$ ${\ displaystyle B ^ {n}}$ ${\ displaystyle B ^ {n}}$ echipat cu o distanță $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ definit astfel.

Distanța dintre două puncte $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ discul este exprimat prin intermediul funcției

\delta (u,v)=2{\frac {||u-v||^{2}}{(1-||u||^{2})(1-||v||^{2})}},

{\ displaystyle \ delta (u, v) = 2 {\ frac {|| uv || ^ {2}} {(1- || u || ^ {2}) (1- || v || ^ { 2})}},}

{\ displaystyle \ delta (u, v) = 2 {\ frac {|| uv || ^ {2}} {(1- || u || ^ {2}) (1- || v || ^ { 2})}},}

unde || * || este norma obișnuită euclidiană. Prin urmare, distanța este

d(u,v)=\operatorname {settcosh} (1+\delta (u,v))

{\ displaystyle d (u, v) = \ operatorname {settcosh} (1+ \ delta (u, v))}

{\ displaystyle d (u, v) = \ operatorname {settcosh} (1+ \ delta (u, v))}

unde folosim funcția hiperbolică settcosh , inversă a funcției cosinusului hiperbolic cosh .

Proprietate

În discul Poincaré, geodezicele sunt arcuri de circumferință (sau linie dreaptă) ortogonale față de margine. Unghiurile sunt cele formate din tangente. În figură, patru linii drepte delimitează un patrulater cu toate unghiurile egale.

Colțuri

Tensorul metric $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ se obține pur și simplu prin redimensionarea tensorului euclidian obișnuit, prin intermediul unei constante care depinde de punct. Prin urmare, metrica discului este conformă metricii euclidiene: rezultă că cele două metrici dau aceleași unghiuri.

Geodezie

O geodezie completă pe discul Poincaré este un cerc $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ sau un segment $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , care intersectează ortogonal marginea discului în două puncte. Segmentul $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este deci un diametru al discului.

Mai general, o geodezică (incompletă) este o porțiune dintr-o geodezică completă.

Geometrie hiperbolică

Discul Poincaré este un model de geometrie neeuclidiană . De fapt, toate axiomele lui Euclid sunt valabile, cu excepția celei de-a cincea .

În special, discul are o metrică completă și hiperbolică .

Valoare completă

Discul lui Poincaré, cu metrica euclidiană obișnuită, nu este un spațiu complet . De fapt, un spațiu complet în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este neapărat închis . În special, există secvențe Cauchy care converg la marginea discului.

Cu toate acestea, discul Poincaré cu metrica hiperbolică introdusă aici este complet. Acest lucru se datorează faptului că factorul de scalare al metricei tinde spre infinit atunci când punctul tinde spre marginea discului: în consecință, nu există secvențe Cauchy care să tindă la margine pentru metrica hiperbolică.

Proprietatea de completitudine poate fi verificată și prin faptul că geodezica completă are o lungime infinită (în metrica hiperbolică).

Metrică hiperbolică

Curbura secțională a metricei este constant egală cu $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ , indiferent de punctul și planul pe care este măsurată. O valoare cu aceste proprietăți se numește hiperbolică .

Model spațial hiperbolic

În fiecare dimensiune $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ cu excepția izometriilor , există doar o singură varietate Riemanniană completă cu curbură secțională constant -1, care este pur și simplu conectată . Acest soi este denumit de obicei spațiu hiperbolic și descris cu simbolul $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ . Discul Poincaré este izometric a $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ : este unul dintre modelele spațiului hiperbolic $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. Alte modele sunt jumătatea spațiului Poincaré , modelul Klein și modelul hiperboloid . Modelele descriu aceeași geometrie, dar diferit. De exemplu, discul și jumătatea spațiului Poincaré sunt singurele modele conformale , în care unghiurile hiperbolice și euclidiene coincid.