Discret și continuu

În matematică , fizică și filozofie , termenii discret și continuu iau semnificații diferite în funcție de perioada istorică și context. O definiție (poate) intuitivă, deși foarte informală și imprecisă, este următoarea: un obiect este considerat discret dacă este alcătuit din elemente izolate , adică nu este contigu între ele, în timp ce este considerat continuu dacă conține elemente infinite și dacă între aceste elemente nu există nu există spații goale . Pentru a rafina definițiile, a determina proprietățile comune și diferențele, este necesar să se stabilească contextul de referință.

Teoria și probabilitatea măsurătorilor

În matematică , în special în teoria măsurătorilor , o măsură pe linia reală se numește măsură discretă (față de măsura Lebesgue ) dacă suportul său este cel mult un set numărabil (de exemplu este un set finit sau este mulțimea de numere naturale ). De sine $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ sunt măsuri pe aceeași sigma-algebră , măsura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ se spune că este absolut continuu în ceea ce privește $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ de sine $\mu (A)=0$ ${\ displaystyle \ mu (A) = 0}$ $\ mu (A) = 0$ pentru fiecare set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru care $\nu (A)=0$ ${\ displaystyle \ nu (A) = 0}$ $\ nu (A) = 0$ . În special o măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pe subseturile Borel ale liniei reale se numește măsură continuă (sau mai bine măsură absolut continuă ) dacă este absolut continuă față de măsura Lebesgue . Suportul unei măsuri continue este un set care are mai mult decât cardinalitate numărabilă, adică egală cu cea a numerelor reale (a cărei cardinalitate se numește cardinalitate continuă ).

În acest context, există o distincție clară între discret și continuu, dar nu există o dualitate exclusivă, de fapt există măsuri pe linia reală care au un sprijin mai mult decât numărabil, dar care nu sunt continue. Aceste măsuri se numesc măsuri singulare. Mai mult, combinațiile convexe de măsuri de diferite tipuri dau măsuri care se numesc măsuri mixte.

În probabilitate , discursul este tradus imediat prin amintirea că fiecare variabilă aleatorie corespunde unei măsuri de probabilitate pe linia reală (cea indusă de variabila aleatoare începând de la măsura pe spațiul probabilității). Prin urmare, se spune că o variabilă aleatorie este discretă , continuă sau singulară dacă măsura asociată este. Un exemplu de variabilă aleatorie singulară în probabilitate este cea asociată cu distribuția Cantor .

Topologie

În matematică , în special în topologie , cei doi termeni nu sunt comparabili, deoarece se referă adesea la obiecte diferite. Termenul discret are mai multe semnificații:

un spațiu topologic este discret dacă are topologie discretă ;
un spațiu uniform este discret dacă are o uniformitate discretă;
un spațiu metric este discret dacă are metrică discretă .
un subset al unui spațiu topologic este discret dacă este format din puncte izolate (și aceasta este utilizarea, în acest context, care se apropie cel mai mult de definiția intuitivă dată în introducere).

În realitate, aceste semnificații revin la același concept de bază: topologia discretă, conform căreia fiecare punct este deschis (topologia „vede” punctele unice).

În fiecare spațiu metric, metrica induce o topologie; metrica discretă induce topologia discretă.
Fiecare subset al unui spațiu topologic moștenește o topologie din spațiu; subseturile sunt discrete atunci când topologia pe care o moștenesc este discretă.

Termenul continuu , pe de altă parte, capătă sens mai ales în raport cu funcțiile continue , adică se referă la funcțiile dintre spațiile topologice și nu la spațiile topologice în sine. Cu toate acestea, un continuum în topologie este un spațiu Hausdorff generic, compact și conectat . Dar această utilizare nu are prea mult de-a face cu ideea intuitivă dată continuu în introducere. Termenul (poate) mai potrivit, în acest context, pentru a fi pus în „contrast” cu un set discret este dens împreună : un subset A al unui spațiu topologic X este dens dacă fiecare punct al lui x aparține lui A sau este un punct de acumulare pentru A (deci dacă închiderea lui X este A ).

Un exemplu de mulțime densă într-un spațiu topologic este ansamblul numerelor raționale din spațiul topologic al numerelor reale , dotat cu topologia euclidiană . Are o cardinalitate numărabilă, dar nu este discretă, deoarece fiecare vecinătate a unui număr rațional conține numere raționale infinite; este dens, deoarece fiecare vecinătate a unui număr irațional conține numere raționale infinite.

Pe de altă parte, nu poate fi considerat continuu (în sensul intuitiv al introducerii), deoarece are o infinitate infinită de „găuri” în interiorul său, din cauza lipsei de numere iraționale.

Filozofie

Relația dintre discret și continuu este una dintre cele mai vechi probleme ale gândirii umane, prezentă deja în scrierile lui Aristotel și Zenon din Elea .

Modelul gândirii binare sau logocentrice a început cu pitagoreicii , bazat pe două contrarii:

„ terminat ”, pozitiv și liniștitor, deoarece stabilește ordinea;
„ infinitul ”, negativ pentru că impune dezordine și nedumerire.

Plecând de la opoziția finită (măsurabilă) - infinită (incomensurabilă), potrivit pitagoreicilor înțelegem întregul univers . Cu toate acestea, opoziția nu exclude o compoziție armonioasă a celor două concepte: întrucât toate lucrurile sunt numeroase, diversitatea lor se rezolvă într-o relație , care constituie armonie.

Pitagoricii observaseră că toate lucrurile sunt caracterizate prin măsurabilitate: în acest scop, au folosit pietre pentru reprezentări vizuale și, din acest motiv, nu știau zero .

În universul complex al numerelor , fiecare dintre ele reprezentând o anumită cantitate, există λογοι , adică relațiile: trasarea unui αναλογια , adică o proporție, o egalitate de relații, este o posibilă operație pentru pitagoreici, deoarece numerele constituie o ierarhie a valorilor (nu toate numerele sunt egale ca importanță). De fapt, τετρακτυς ( tetraktys , triunghiul cuaternar) a fost considerat o figură sacră, pe care chiar și elevii școlii pitagoreice au depus jurământul cel mai solicitant.

Τετρακτυς a fost reprezentarea grafică a numărului 10, considerat un număr perfect deoarece era suma primelor patru numere.

.

. .

. . .

. . . .

Dar cea mai importantă contribuție a Școlii Pitagorice a fost intuiția Discretului și a Continuului, deoarece, din cea mai îndepărtată antichitate, ceea ce a fost afirmat de Aristotel este valabil, potrivit căruia „ceea ce nu are limită nu este pe deplin reprezentabil în gândirea noastră, și, prin urmare, este de necunoscut ". Infinitul era deci considerat o limită a gândirii și nu un gând al limitei.

Același arhetip de infinit a fost furnizat de numere iraționale , cum ar fi de ex. ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ : prin intermediul unei dovezi prin absurditate, este posibil să se găsească aproximări raționale ale rădăcinii lui 2 , fără a ajunge însă la o soluție definitivă.

Noțiunea de aproximare, de abordare nedeterminată a unui scop care nu poate fi atins niciodată, a devenit centrală în matematica clasică și, de aproape 2500 de ani, conceptul infinitului a făcut obiectul unor studii, controverse și evoluții. Dar este realitatea un întreg infinit, o undă neîntreruptă, sau mai bine zis un sistem finit, adică numărabil și comensurabil?

Dacă realitatea lucrurilor ar fi cu adevărat continuă, infinită, cunoașterea noastră ar fi tot mai constrânsă de limitele simțurilor noastre.

Fizică

În fizică , un corp material poate fi studiat ca un corp discret, deoarece este alcătuit din particule elementare distincte unele de altele, sau ca un corp continuu, deoarece numărul foarte mare, coeziunea și interdependența dintre aceste particule fac orice granularitate , la cel puțin la nivel macroscopic.

Realitatea nu este un sistem continuu: structura moleculară, din punct de vedere matematic, trebuie reprezentată ca un sistem finit, ale cărui molecule sunt enumerabile, ocupă o anumită regiune a spațiului , au o anumită densitate de masă , un câmp de temperatura și accelerația , toate cantități definite și, prin urmare, discrete.

Chiar și un sistem fizic, cum ar fi câmpul electromagnetic , care aparent este un sistem continuu, este de fapt un sistem discret de fotoni , care poate fi calculat prin cunoașterea numărului lor mediu pentru fiecare stare fizică .

S-ar putea spune că singurul sistem cu adevărat continuu este spațiul-timp , totuși Albert Einstein a demonstrat, în teoria relativității generale , că conceptele de spațiu și timp nu sunt absolute, ci relative, în sensul că depind de sistemul de referință în care se află observatorul și constituie continuumul spațiu-timp cu patru dimensiuni (trei dimensiuni spațiale și una temporală).

Mai mult, și acest sistem poate fi privit cu lupa și analizat cu scara Planck , care examinează distanțele spațiu-timp în termeni de șiruri foarte mici și unidimensionale, care reprezintă „granularitatea” spațiului-timp.

Modelul continuu al mecanicii în sine a fost pus la îndoială.

Mecanica folosește inițial un construct mental, așa-numitul punct material , care schematizează comportamentul corpurilor simple, identificate prin masa lor și printr-un set de trei coordonate de poziție.

În special, mecanica fluidelor se ocupă de sisteme continue reprezentate de substanțe lichide și gazoase: legile care reglementează comportamentul fluidelor în repaus sunt destul de simple (legea lui Pascal ), în timp ce pentru fluidele în mișcare există legi mult mai complexe: pentru Euler și Newton , legile și ecuațiile ar putea fi scrise numai pentru fluidele ideale , al căror model nu ia în considerare eventuala vâscozitate.

Acest model continuu a fost contestat când s-a descoperit că comportamentul unui gaz făcut incandescent este caracterizat de un spectru de emisie format dintr-un set discret de frecvențe foarte numeroase.

Discretizarea

Matematica clasică, în special analiza matematică , ar fi aplicabilă lumii reale numai dacă ar consta în obiecte și evenimente de natură continuă: dimpotrivă, marea majoritate a fenomenelor lumii reale se caracterizează prin discretizare sau digitalizare (din engleză digit = cifră) de obiecte, colecții, fenomene, care acționează adesea în combinație.

O linie trasată cu un creion este un sistem continuu. Extragerile la loterie, număr după număr, sunt un sistem discret (discontinuu).

Studiul unei funcții continue, cum ar fi o linie dreaptă sau o parabolă, nu este posibil pentru un sistem discret, cum ar fi cel computerizat: natura sa digitală și analitică ne obligă să reducem linia la un set de puncte, obținând rezultate mai bune cu cât mai multe puncte Sunt.

Metoda matematicii discrete

Matematica discretă se preocupă de clasificarea, enumerarea și combinarea obiectelor distincte.

Metoda utilizată este împărțită în trei faze:

clasificare : identificați caracteristicile comune ale diferitelor entități ( teoria mulțimilor );
enumerare : pentru a atribui fiecăruia dintre obiectele unui anumit model de calcul un număr natural unic, pentru a permite indexarea ( tehnici de numărare , combinatorică );
combinație : studiați mulțimile finite pentru a permuta și combina elementele lor ( matrice , grafice ).

Firul comun al acestor trei aspecte este construirea unui algoritm : prin matematica situațiilor practice discontinue se confruntă, iar problemele aferente sunt rezolvate cu modele discrete.

Portalul de filosofie

Portalul de matematică

Portal de știință și tehnologie