Inegalitate

O inegalitate , în matematică , este o relație de inegalitate între două expresii care conțin necunoscute ^[1] . Cu alte cuvinte, a spus el $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții reale definite într-un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , o inegalitate în variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (inclusiv posibilitatea ca $x=x_{1},\dots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle x = x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$ se potrivește cu mai multe variabile) este o expresie care ia una din cele patru forme:

f(x)>g(x),\qquad f(x)<g(x),\qquad f(x)\geq g(x),\qquad f(x)\leq g(x).

{\ displaystyle f (x)> g (x), \ qquad f (x) <g (x), \ qquad f (x) \ geq g (x), \ qquad f (x) \ leq g (x) .}

{\ displaystyle f (x)> g (x), \ qquad f (x) <g (x), \ qquad f (x) \ geq g (x), \ qquad f (x) \ leq g (x) .}

Rezolvarea unei inegalități înseamnă a face explicit setul de valori $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care fac inegalitatea satisfăcută. De obicei (când $x\in \mathbf {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbf {R}}$ , $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt continue) setul de soluții este o uniune (finită sau numărabilă) de intervale disjuncte.

Principiile echivalenței

Se spune că două inegalități sunt echivalente dacă seturile respective de soluții coincid. Există două principii care vă permit să manipulați inegalitățile pentru a găsi setul de soluții; acestea sunt o consecință directă a proprietăților inegalităților ^[2] :

Principiul adunării (sau primul principiu al echivalenței): prin adăugarea sau scăderea aceleiași expresii celor doi membri ai unei inegalități, se obține o inegalitate echivalentă. Aceasta implică faptul că același termen poate fi eliminat de la ambii membri sau mutat de la un membru la altul prin schimbarea semnului său (care este echivalent cu adăugarea opusului său). De exemplu, inegalitatea $x+2>3-x$ ${\ displaystyle x + 2> 3-x}$ ${\ displaystyle x + 2> 3-x}$ este echivalent cu $2x>1$ ${\ displaystyle 2x> 1}$ ${\ displaystyle 2x> 1}$ (ne-am adăugat $x-2$ ${\ displaystyle x-2}$ ${\ displaystyle x-2}$ către ambii membri).

Principiul multiplicării (sau al doilea principiu de echivalență): înmulțind sau împărțind cei doi membri ai unei inegalități cu aceeași expresie care este întotdeauna pozitivă, se obține o inegalitate echivalentă cu cea dată; multiplicând sau împărțind printr-o expresie negativă, inegalitatea va fi controversată la data respectivă. Aceasta implică faptul că puteți schimba semnul tuturor termenilor ambelor părți, atâta timp cât schimbați și direcția inegalității (de fapt, acest lucru este echivalent cu înmulțirea cu $-1\;$ ${\ displaystyle -1 \;}$ ${\ displaystyle -1 \;}$ ). De exemplu inegalitatea $2x>1$ ${\ displaystyle 2x> 1}$ ${\ displaystyle 2x> 1}$ este echivalent cu $x>{\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle x> {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle x> {\ frac {1} {2}}}$ (am înmulțit ambele părți cu ${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ frac {1} {2}}$ ).

Principiul invarianței : în general prin aplicarea unei funcții strict crescătoare pe ambele părți ale unei inegalități, se obține o inegalitate echivalentă, în timp ce aplicând o funcție strict descrescătoare se inversează semnul inegalității. Cele două principii anterioare corespund aplicării unei funcții liniare $mx+q$ ${\ displaystyle mx + q}$ ${\ displaystyle mx + q}$ .

Aplicând principiul adunării și scăzând partea dreaptă din ambele părți ale unei inegalități, studiul oricărei inegalități duce înapoi la studiul semnului unei funcții: $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ , $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ , $f(x)<0$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ $f (x) <0$ .

Inegalități algebrice

Când funcția $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ al cărui semn urmează să fie determinat este un polinom , vorbim de inegalitate algebrică. În cazul în care rădăcinile polinomului pot fi determinate, semnul polinomului poate fi ușor determinat: polinomul dispare în mulțimea rădăcinilor, schimbă semnul de fiecare dată când se traversează o rădăcină cu o multiplicitate ciudată, păstrează semnul atunci când acestea rădăcini încrucișate de egală multiplicitate. Odată ce semnul a fost determinat în orice moment, este posibil să derivăm semnul în orice interval delimitat de rădăcini (inclusiv cele două intervale nelimitate în afara primei și ultimei rădăcini a polinomului). În funcție de gradul polinomului $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în special vom vorbi despre: inegalități liniare , inegalități pătratice , inegalități cubice , inecuții întregi , inegalități fracționate ^[3] .

Alte tipuri de inegalități

Inegalitățile formei ${\sqrt[{n}]{f(x)}}\gtreqless g(x)$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {f (x)}} \ gtreqless g (x)}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {f (x)}} \ gtreqless g (x)}$ se numesc inegalități iraționale ^[4] . Inegalitățile formei $|f(x)|\gtreqless g(x)$ ${\ displaystyle | f (x) | \ gtreqless g (x)}$ ${\ displaystyle | f (x) | \ gtreqless g (x)}$ se numesc inegalități cu valoarea absolută . Inegalitățile care conțin funcții transcendente se numesc inegalități transcendente și, în funcție de tipul de funcții implicate, pot fi clasificate în inegalități exponențiale , inegalități logaritmice , inegalități trigonometrice .

Notă

^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.1041
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.1042
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.1042
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.1058

Bibliografie

Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volumul 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 .

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 58552

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.1041

[2] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.1042

[3] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.1042

[4] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics.Blu-Volume 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.1058

[1]

[2]

[3]

[4]