Aranjament

În combinatorie , date două numere întregi non-negative $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , este definită dispoziția de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ la $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ (sau de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente de clasă $k,$ ${\ displaystyle k,}$ ${\ displaystyle k,}$ sau de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ obiecte luate $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ la un moment dat) fiecare subset ordonat de $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ elemente extrase dintr-un set de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente astfel încât subseturile să difere în cel puțin un element sau, în prezența acelorași elemente, în modul în care sunt ordonate. Uneori $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ se numește număr de locuri și amenajarea de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente în $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ locuri se numește $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -aranjament.

Dacă elementele repetate nu sunt permise în subseturi, vorbim de dispoziții simple, altfel de dispoziții cu repetare : în primul caz trebuie să fie $k\leq n.$ ${\ displaystyle k \ leq n.}$ ${\ displaystyle k \ leq n.}$

Prevederi simple

Numărul de aranjamente simple, notate cu simbolul $D_{n,k},$ ${\ displaystyle D_ {n, k},}$ ${\ displaystyle D_ {n, k},}$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ la $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este dat de:

D_{n,k}=n(n-1)(n-2)\cdot \cdot \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}.

{\ displaystyle D_ {n, k} = n (n-1) (n-2) \ cdot \ cdot \ cdot (n-k + 1) = {\ frac {n!} {(nk)!}}.}

{\ displaystyle D_ {n, k} = n (n-1) (n-2) \ cdot \ cdot \ cdot (n-k + 1) = {\ frac {n!} {(nk)!}}.}

Pentru a da o explicație a acestei formule este posibil să se recurgă la extracția elementelor dintr-o pungă sau la funcțiile de injecție .

Extragerea elementelor

Să presupunem că vrem să extragem 3 elemente pornind de la un set de 5 elemente: cu alte cuvinte, să presupunem că vrem să luăm în considerare aranjamentele a 5 elemente la 3 la 3.

În acest sens, să presupunem că ați pus cele 5 litere A, B, C, D și E într-o pungă și doriți să extrageți 3 la întâmplare. Prima scrisoare pe care o vom extrage va fi indiferent una dintre cele 5 și, prin urmare, vom avea 5 posibilități de extracție. A doua literă pe care o vom extrage va fi una dintre cele 4 rămase în pungă și, prin urmare, vom avea 4 posibilități de extracție. În cele din urmă, a treia literă pe care urmează să o extragem va fi una dintre cele 3 rămase în pungă și, prin urmare, vom avea 3 posibilități de extracție. Dacă înmulțim toate posibilitățile dintre ele, vom avea 5x4x3 = 60 grupuri posibile. Aceste grupuri sunt toate cele care pot fi luate în considerare luând 3 elemente din setul de 5 elemente și includ, de asemenea, grupuri formate din aceleași elemente, dar ordonate diferit: acestea sunt în mod evident toate cele 60 de aranjamente posibile care pot fi obținute prin gruparea a 5 elemente la 3 la 3. Cele 60 de prevederi sunt enumerate mai jos:

ABC ABD ABE ACB ACD ACE ADB ADC ADE AEB AEC AED

BAC BAD BAE BCA BCD BCD BDA BDC BDE BEA BEC BED

CAB CAD CAE CBA CBD CBE CDA CDB CDE CEA CEB CED

DAB DAC DAE DBA DBC DBE DCA DCB DCE DEA DEB DEC

EAB EAC EAD EBA EBC EBD ECA BCE ECD EDA EDB EDC

Printre acestea găsim și ABC, ACB, BAC, BCA, CAB și CBA: deși dispozițiile constând din aceleași elemente, acestea trebuie considerate diferite deoarece sunt ordonate diferit în conformitate cu aceeași definiție a dispoziției.

Generalizând, dacă literele în total sunt $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ iar extracțiile care trebuie făcute sunt $k,$ ${\ displaystyle k,}$ ${\ displaystyle k,}$ observi că începem cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ posibilitatea de extragere pentru prima literă trasă, se reduce la $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ pentru a doua literă extrasă și așa mai departe până ajungi la $n-k+1$ ${\ displaystyle n-k + 1}$ ${\ displaystyle n-k + 1}$ pentru $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -a scrisoare extrasă. Repetând raționamentul făcut mai sus vom avea

D_{n,k}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)

{\ displaystyle D_ {n, k} = n (n-1) (n-2) \ cdots (n-k + 1)}

D_ {n, k} = n (n-1) (n-2) \ cdots (n-k + 1)

adică produsul $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ factori, fiecare egală cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ a scăzut treptat $0,1,\ldots ,(k-1).$ ${\ displaystyle 0,1, \ ldots, (k-1).}$ ${\ displaystyle 0,1, \ ldots, (k-1).}$ Înmulțirea și împărțirea acelui produs cu $(n-k)!$ ${\ displaystyle (nk)!}$ ${\ displaystyle (n-k)!}$ obținem formula dată mai sus:

{\begin{aligned}D_{n,k}&=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)\\&={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)(n-k)(n-k-1)\cdots 1}{(n-k)(n-k-1)\cdots 1}}\\&={\frac {n!}{(n-k)!}}.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} D_ {n, k} & = n (n-1) (n-2) \ cdots (n-k + 1) \\ & = {\ frac {n (n-1) ( n-2) \ cdots (nk + 1) (nk) (nk-1) \ cdots 1} {(nk) (nk-1) \ cdots 1}} \\ & = {\ frac {n!} {( nk)!}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} D_ {n, k} & = n (n-1) (n-2) \ cdots (n-k + 1) \\ & = {\ frac {n (n-1) ( n-2) \ cdots (nk + 1) (nk) (nk-1) \ cdots 1} {(nk) (nk-1) \ cdots 1}} \\ & = {\ frac {n!} {( nk)!}}. \ end {align}}}

În cele din urmă, trebuie remarcat faptul că atunci când o literă este extrasă din pungă, aceasta nu este readusă în interior : acest fapt garantează că aceeași literă nu poate fi extrasă de mai multe ori și, prin urmare, nu pot exista elemente repetate în subsetul extras în conformitate cu definiția.de aspect simplu. Exemplul de geantă explică, de asemenea, de ce trebuie să se dovedească în mod necesar $k\leq n$ ${\ displaystyle k \ leq n}$ ${\ displaystyle k \ leq n}$ : cel mult pot fi realizate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ extracții după care nu mai rămân alte litere în pungă de extras.

Funcții injective

Pe lângă utilizarea extracției literelor dintr-o pungă, pentru a obține numărul de dispoziții de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ la $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este posibil să se recurgă la utilizarea funcțiilor injective și în special să se determine numărul total al tuturor funcțiilor injective având ca domeniu un set de cardinalitate $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ iar pentru codomain un set de cardinalitate $n .$ ${\ displaystyle n.}$ ${\ displaystyle n.}$

O funcție injectivă este o lege care asociază fiecare element al domeniului cu un element diferit al gamei. Având în vedere cazul unui domeniu și a unui codomain constând din două seturi de elemente, aceasta înseamnă că din fiecare element al domeniului există o singură linie de asociere (acest fapt este întotdeauna adevărat pentru însăși definiția unei funcții, fie ea injectivă, surjectiv sau bijectiv) și că o singură linie de asociere ajunge pe fiecare element al gamei. În cazul funcțiilor surjective , fiind înțeles că o singură linie pornește de la fiecare element al domeniului, se întâmplă în schimb ca mai multe linii de asociere să sosească pe unul sau mai multe elemente ale intervalului.

Diferența dintre funcția injectivă / surjectivă

Pentru a fixa ideile, presupunem să luăm în considerare funcțiile injective ale unui element din 4 elemente: în total vor exista 4 astfel de funcții, toate reprezentate în figura 1. Notăm prin | F ₁ | = 4 numărul total de astfel de funcții în care indicele 1 ne amintește că domeniul este alcătuit dintr-un singur element.

Fig. 1: funcțiile unui element într-un set de 4 elemente

Funcțiile injective a 2 elemente din 4 elemente sunt în total 12: figura 2 prezintă două exemple diferite ale celor 12 funcții posibile. Trebuie remarcat faptul că în trecerea de la funcțiile injective de 1 la 4 la cele de 2 la 4, am trecut de la 4 funcții posibile la 12 funcții posibile: acest lucru se explică prin faptul că fiecare dintre funcțiile 1 la 4 ( de exemplu 1 -A din figura 1) este ca și cum s-ar fi adăugat un alt element la domeniu (de exemplu elementul "2") din care este posibil să se înceapă 3 asocieri diferite (2-B, 2-C și 2- D, excluzând 2-A deoarece ne limităm la funcțiile injective și că elementul A din gama este deja asociat elementului 1 al domeniului). Aceasta aduce totalul la 4x3 = 12. Notăm cu | F ₂ | = | F ₁ | x (4-1) = 4x3 = 12 numărul total de astfel de funcții în care indicele 2 la primul membru și indicele 1 la al doilea membru ne reamintesc că domeniul este format din două elemente și respectiv un element la expoziția noastră.

Fig. 2: exemple de funcții injective a două elemente într-un set de 4 elemente

Repetând raționamentul, funcțiile injective ale 3 din 4 elemente sunt în total 24: în figura 3 sunt prezentate două exemple diferite ale celor 24 de funcții posibile. Trebuie remarcat faptul că în trecerea de la funcțiile injective de 2 în 4 la cele de 3 în 4, am trecut de la 12 funcții posibile la 24 de funcții posibile: acest lucru se explică prin faptul că fiecare dintre funcțiile lui 2 în 4 ( de exemplu 1 -A, 2-B din fig. 2) este ca și cum s-ar fi adăugat un alt element la domeniu (de exemplu elementul "3") din care este posibil să se înceapă 2 asocieri diferite (3-C și 3 -D, excluzând 3-A și 3-B pentru a respecta injectivitatea). Aceasta aduce totalul la 12x2 = 24. Notăm cu | F ₃ | = | F ₂ | x (4-2) = 12x2 = 24 numărul total de astfel de funcții în care subscriptul 3 la primul membru și subscriptului 2 la al doilea membru ne amintește că domeniul este alcătuit din trei elemente , respectiv , și două elemente în consecință la expoziția noastră.

Fig. 3: exemple de funcții injective a trei elemente într-un set de 4 elemente

Generalizând, sunt $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un set finit de cardinalitate $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ un set finit de cardinalitate $n,$ ${\ displaystyle n,}$ $n,$ cu $0\leq k\leq n.$ ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n.}$ ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n.}$ De asemenea, să fie $F_{k}$ ${\ displaystyle F_ {k}}$ $F_ {k}$ setul de funcții injective $f\colon A\to B.$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to B.}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to B.}$ Se aplică următoarea formulă recursivă

{\begin{aligned}|F_{k}|&=(n-k+1)|F_{k-1}|\\&=(n-k+1)(n-k+2)\cdots (n-1)|F_{1}|\\&=(n-k+1)(n-k+2)\cdots (n-1)(n)={\frac {n!}{(n-k)!}},\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | F_ {k} | & = (n-k + 1) | F_ {k-1} | \\ & = (n-k + 1) (n-k + 2) \ cdots (n-1 ) | F_ {1} | \\ & = (nk + 1) (nk + 2) \ cdots (n-1) (n) = {\ frac {n!} {(Nk)!}}, \ End { aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} | F_ {k} | & = (n-k + 1) | F_ {k-1} | \\ & = (n-k + 1) (n-k + 2) \ cdots (n-1 ) | F_ {1} | \\ & = (nk + 1) (nk + 2) \ cdots (n-1) (n) = {\ frac {n!} {(Nk)!}}, \ End { aliniat}}}

fiind în general $|F_{1}|=n$ ${\ displaystyle | F_ {1} | = n}$ ${\ displaystyle | F_ {1} | = n}$ în conformitate cu exemplul de mai sus al funcțiilor 1 la 4 unde $|F_{1}|=4$ ${\ displaystyle | F_ {1} | = 4}$ ${\ displaystyle | F_ {1} | = 4}$ fiind în acest caz $n=4.$ ${\ displaystyle n = 4.}$ ${\ displaystyle n = 4.}$ Am ajuns astfel la concluzia menționată mai sus că numărul funcțiilor injective ale unui set de cardinalitate $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ într-un set de cardinalitate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ se identifică cu cea a dispozițiilor simple ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ la $k .$ ${\ displaystyle k.}$ ${\ displaystyle k.}$

Numărul de funcții injective ale unui set de cardinalitate $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ într-una de cardinalitate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este indicat și cu simbolul:

(n)_{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}.

{\ displaystyle (n) _ {k} = {\ frac {n!} {(nk)!}}.}

{\ displaystyle (n) _ {k} = {\ frac {n!} {(n-k)!}}.}

Exemple

1) Să presupunem că vrem să știm numărul total de podiumuri posibile ale unei curse la care participă 10 alergători. Deoarece ordinea de finisare este importantă, va fi necesar să se ia în considerare prevederile (simplu, deoarece nu poate exista repetare, deoarece este imposibil ca același alergător să fie clasat 1 și 2 în același timp) în loc de combinații . În special, va fi necesar să luăm în considerare prevederile de la 10 elemente la 3 la 3. Prin urmare, vom avea:

D_{10,3}=10\cdot 9\cdot 8=720.

{\ displaystyle D_ {10,3} = 10 \ cdot 9 \ cdot 8 = 720.}

{\ displaystyle D_ {10,3} = 10 \ cdot 9 \ cdot 8 = 720.}

Deci, podiumul poate fi alcătuit din 720 de grupe diferite de alergători.

2) Având în vedere că campionatul din Serie A este format din 20 de echipe, să presupunem că vrem să știm numărul total de meciuri care vor fi jucate într-un sezon. Deoarece două echipe generice A și B se vor confrunta atât în prima rundă (AB cu A jucând acasă), cât și în a doua rundă (BA cu A jucând departe de casă), aceasta înseamnă că ordinea este importantă și, prin urmare, avem de-a face cu dispoziții (simplu, deoarece nu poate exista repetare, deoarece este imposibil ca o echipă să se confrunte cu sine) mai degrabă decât combinații. În special vom avea:

D_{20,2}=20\cdot 19=380.

{\ displaystyle D_ {20,2} = 20 \ cdot 19 = 380.}

{\ displaystyle D_ {20,2} = 20 \ cdot 19 = 380.}

Deci, în total, 380 de meciuri din Serie A se vor disputa într-un singur sezon.

Prevederi cu repetare

Numărul de aranjamente cu repetare, notat cu simbolul $D_{n,k}^{'},$ ${\ displaystyle D_ {n, k} ^ {'},}$ ${\ displaystyle D_ {n, k} ^ {'},}$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ la $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este dat de:

D_{n,k}^{'}=n^{k}.

{\ displaystyle D_ {n, k} ^ {'} = n ^ {k}.}

{\ displaystyle D_ {n, k} ^ {'} = n ^ {k}.}

Și aici, pentru a da o explicație a acestei formule, se poate recurge la extragerea elementelor dintr-o pungă sau la funcțiile injective și surjective .

Extragerea elementelor

Să presupunem că vrem să extragem 3 elemente începând dintr-un set de 4 elemente, dar spre deosebire de înainte ne asigurăm că elementele se pot repeta: cu alte cuvinte dorim să găsim aranjamentele cu repetarea a 4 elemente cu 3 cu 3.

În acest sens, să presupunem că punem cele 4 litere A, B, C și D într-o pungă și dorim să extragem 3 la întâmplare. Prima literă pe care o vom extrage va fi indiferent una dintre cele 4 și, prin urmare, vom avea 4 posibilități de extracție. Acum, însă, înainte de a continua cu extragerea celei de-a doua litere, puneți litera pe care tocmai am extras-o înapoi în pungă . Chiar și a doua literă pe care urmează să o extragem va fi indiferentă una dintre cele 4 și, prin urmare, vom avea din nou 4 posibilități de extracție: printre altele, se poate întâmpla ca a doua literă extrasă să fie aceeași cu prima, că, prin urmare, există este repetitivitate , fiind împărtășit cu toate literele din geantă. Am pus încă o dată scrisoarea pe care tocmai am extras-o înapoi în pungă. În cele din urmă, și a treia literă pe care o vom extrage va fi indiferentă una dintre cele 4 și, prin urmare, vom avea din nou 4 posibilități de extracție. Dacă înmulțim toate posibilitățile dintre ele, vom avea 4x4x4 = 4 ³ = 64 grupuri posibile, adică cele 64 de aranjamente posibile cu repetarea a 4 elemente luate la 3 la 3.

Aceste prevederi sunt prezentate mai jos:

AAA AAB AAC AAD ABA ABB ABC ABD

ACA ACB ACC ACD ADA ADB ADC ADD

BAA BAB BAC BAD BBA BBB BBC BBD

BCA BCB BCC BCD BDA BDB BDC BDD

CAA CAB CAC CAD CBA CBB CBC CBD

CCA CCB CCC CCD CDA CDB CDC CDD

DAA DAB DAC DAD DBA DBB DBC DBD

DCA DCB DCC DCD DDA DDB DDC DDD

După cum puteți vedea, diferite grupuri au elemente repetate: de exemplu, dispozițiile AAB și BAA sunt considerate diferite prin faptul că, deși au aceleași elemente (litera A care se repetă de două ori și litera B) sunt ordonate diferit.

Generalizând, dacă literele sunt $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ iar extracțiile care trebuie făcute sunt $k,$ ${\ displaystyle k,}$ ${\ displaystyle k,}$ se observă că, de fiecare dată când introduceți litera extrasă din nou în pungă, începe din nou cu toate literele disponibile indiferent dacă este prima, a doua, a treia extracție și așa mai departe. Numărul de dispoziții cu repetare este dat, așa cum am vrut să dovedim, de produsul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru el $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ori de la care formula:

D_{n,k}^{'}=n^{k}.

{\ displaystyle D_ {n, k} ^ {'} = n ^ {k}.}

{\ displaystyle D_ {n, k} ^ {'} = n ^ {k}.}

Spre deosebire de dispozițiile simple, restricția nu se aplică dispozițiilor cu repetare $k\leq n$ ${\ displaystyle k \ leq n}$ ${\ displaystyle k \ leq n}$ : deoarece de fiecare dată când scrisoarea tocmai extrasă este pusă din nou în pungă, nu există riscul ca acestea să se epuizeze așa cum se întâmplă în schimb în dispozițiile simple în care, după $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ extracții, nu mai rămân litere în punga de extras.

Funcții injective și surjective

Pe lângă utilizarea extracției literelor dintr-o pungă, pentru a obține numărul de dispoziții cu repetarea de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente a $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ la $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este posibil să se recurgă la utilizarea funcțiilor și în special la determinarea numărului total al tuturor funcțiilor, indiferent dacă sunt injective sau surjective, având ca domeniu un set de cardinalitate $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ iar pentru codomain un set de cardinalitate $n .$ ${\ displaystyle n.}$ ${\ displaystyle n.}$

Pentru a rezolva ideile, presupunem că luăm în considerare funcțiile unui element din 4 elemente: deoarece există o singură linie de asociere care începe de la singurul element prezent în domeniu și întrucât această linie se poate termina doar într-un singur element din cele 4 prezente în pentru această condiție de a avea de a face cu funcții surjective care, așa cum s-a menționat mai sus, necesită ca cel puțin un element al gamei să fie afectat de cel puțin două linii de asociere. Prin urmare, și în cazul aranjamentelor cu repetare, se va aplica figura 1, deoarece funcțiile de la 1 la 4 sunt întotdeauna de tip injectiv. Prin urmare, aranjamentele simple ale a 4 elemente la 1 la 1 și cele cu repetarea a 4 elemente la 1 la 1 sunt identificate între ele, de asemenea, deoarece este imposibil să avem repetări dacă există un singur element.

Să luăm acum în considerare funcțiile a 2 elemente din 4 elemente: Figura 4 ilustrează toate cele 16 funcții de acest tip, indiferent dacă sunt injective sau surjective. În special, se poate observa modul în care condiția surjectivității dă viață repetitivității elementelor intervalului, care la rândul său distinge dispozițiile cu repetarea: de exemplu (1) din figura 4 determină dispoziția AA în timp ce (8) determină dispoziție BB.

În trecerea de la funcțiile de 1 element din 4 elemente la cele de 2 elemente din 4 elemente este ca și cum am fi adăugat un alt element la domeniu: spre deosebire de cazul dispozițiilor simple, acum, în dispozițiile cu repetare, permitem acest lucru al doilea element care trebuie asociat cu oricare dintre cele 4 elemente ale gamei, chiar și cu elementul gamei deja asociat cu primul element al domeniului , luând în considerare acum asocierile posibile de tip surjectiv. Prin urmare, cele 4 asociații referitoare la primul element al domeniului trebuie să fie înmulțite cu cele 4 asociații referitoare la al doilea element al domeniului obținând 4x4 = 16 care reprezintă totalul funcțiilor injective și surjective a 2 elemente din 4 elemente.

Fig. 4: funcțiile a 2 elemente în 4 elemente

Generalizând, dacă este cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ denotăm un set finit de cardinalitate $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ si cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ un set finit de cardinalitate $n,$ ${\ displaystyle n,}$ $n,$ numărul total de funcții $f\colon A\to B,$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to B,}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to B,}$ injective sau surjective care sunt, vor fi egale cu $n^{k}$ ${\ displaystyle n ^ {k}}$ ${\ displaystyle n ^ {k}}$ în conformitate cu formula dispozițiilor cu repetare pe care ne-am propus să le demonstrăm:

D_{n,k}^{'}=n^{k}.

{\ displaystyle D_ {n, k} ^ {'} = n ^ {k}.}

{\ displaystyle D_ {n, k} ^ {'} = n ^ {k}.}

Exemple

Numerele întregi non-negative cu mai puțin de trei cifre sunt cele obținute din aranjamentele de repetare a 10 elemente (numerele de la 0 la 9) luate de la 2 la 2 (considerând numere dintr-o singură cifră ca fiind formate din două cifre dintre care prima nimic) : deci în total sunt 10 ² = 100.

Numărul de coloane posibile din bazinele de fotbal alcătuit din treisprezece predicții alese dintre trei elemente (1, X sau 2) este egal cu 3 ¹³ = 1.594.323. În acest caz, se dovedește $k>n$ ${\ displaystyle k> n}$ $k> n$ fiind $k=13$ ${\ displaystyle k = 13}$ ${\ displaystyle k = 13}$ și $n=3.$ ${\ displaystyle n = 3.}$ ${\ displaystyle n = 3.}$

Permutare: caz particular al unui aranjament simplu

Se poate observa că există o strânsă corelație între aranjamente simple și permutări. Într-adevăr, pentru orice eventualitate $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este egal cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ da ai

D_{n,n}={\frac {n!}{(n-n)!}}={\frac {n!}{0!}}={\frac {n!}{1}}=n!,

{\ displaystyle D_ {n, n} = {\ frac {n!} {(nn)!}} = {\ frac {n!} {0!}} = {\ frac {n!} {1}} = n!,}

{\ displaystyle D_ {n, n} = {\ frac {n!} {(nn)!}} = {\ frac {n!} {0!}} = {\ frac {n!} {1}} = n!,}

care coincide cu numărul de permutări ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente.

Pe de altă parte, acest lucru este evident dacă folosim exemplul extragerii de litere dintr-o pungă: permutările pot fi văzute ca extragerea literelor cu condiția ca atâtea extracții să fie efectuate cu cât există litere în sine până la pungă este golit.

Bibliografie

Mauro Cerasoli, Franco Eugeni; Marco Protasi, Elemente de matematică discretă , Bologna, Zanichelli, 1988.
Sheldon M. Ross, Calculul probabilităților , Milano, Apogee, 2004.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lemă « dispoziție »

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Combinatorial
Orientare generală	Combinatorică · Istoria combinatoriei · Matematică discretă · Secțiunea 05-XX din MSC
Noțiuni introductive	Permutații · Dispoziții · Combinații · Coeficienți binomiali · Partiții de numere întregi · Partiții de mulțimi finite - Identități și bijecții combinatorii
Configurări	Pătrat latin · pătrate magice · Desene Block · geometrii finite · Matroids - mozaicare · Polimini
Teoria graficelor	Copaci · Mers pe grafice ( Eulerian , Hamiltonian ) · Conexiune în grafice - grafice plane · Vopsirea graficelor și teorema celor patru culori ) · hipergrafe · Grafice și grupuri · digraf · Grafic al fluxului de numerar · Plimbări aleatorii pe grafice · omomorfismul graficelor · Algoritmi pe grafice
Combinatorie algebrică	Tabelul lui Young · funcții simetrice - serie de puteri formale · Funcții de generare · Polinoame ortogonale · Părți ale unui grup de structuri combinatorii - Aspecte algebră comutativă combinatorie
Alte domenii	Calculul umbrelor ( secvențe polinomiale de tip binomial · secvențe Sheffer ) - Combinatorial extremal