Distributivitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică și în special în algebră , distributivitatea (sau proprietatea distributivă ) este o proprietate a operațiilor binare care generalizează binecunoscuta lege distributivă valabilă pentru sumă și produs între numere de algebră elementară .

Având un (set) S și două operații binare * și + pe S , spunem că:

  • operația * este distributivă spre stânga față de operația + dacă, având în vedere elementele x , y și z ale lui S ,
  • operația * este distributivă spre dreapta față de operația + dacă, având în vedere elementele x , y și z ale lui S :
  • operația * este distributivă față de operație + dacă este distributivă în stânga și în dreapta.

Observați că atunci când * este comutativ , atunci cele trei condiții anterioare sunt logic echivalente .

Exemple

  1. În toate seturile numerice luate în considerare în mod obișnuit ( numere naturale , numere raționale, numere reale , numere complexe , numere cardinale etc.) multiplicarea este distributivă în ceea ce privește adunarea. De exemplu:
    În partea stângă a expresiei anterioare, 4 înmulțește suma de 2 și 3; în partea dreaptă, înmulțiți 2 și 3 separat și rezultatele sunt apoi adunate împreună. Deoarece acest lucru duce la același rezultat (20), spunem că înmulțirea cu 4 este distribuită pe adunarea de 2 și 3. Deoarece putem folosi orice număr real în loc de 4, 2 și 3 și putem obține totuși o egalitate, avem că multiplicarea numerelor reale este distributivă în ceea ce privește adunarea numerelor reale.
  2. Înmulțirea numerelor ordinale , pe de altă parte, este doar distributivă în stânga și nu distributivă în dreapta.
  3. Produsul vector este distributiv în ceea ce privește adăugarea a doi vectori, deși nu este comutativ.
  4. Înmulțirea matricilor este distributivă în raport cu suma matricilor , chiar dacă nu este comutativă.
  5. Unirea mulțimilor este distributivă față de intersecție , iar intersecția este distributivă față de uniune. Mai mult, intersecția este distributivă în raport cu diferența simetrică .
  6. Disjuncția logică („sau”) este distributivă în raport cu conjuncția logică („și„), iar conjuncția este distributivă în raport cu disjuncția. Mai mult, conjuncția este distributivă în raport cu disjuncția exclusivă („xor”).
  7. Pentru numerele reale (sau pentru orice set complet ordonat ), operația maximă este distributivă în raport cu operația minimă și invers: max ( a , min ( b , c )) = min (max ( a , b ), max ( a , c )) și min ( a , max ( b , c )) = max (min ( a , b ), min ( a , c )).
  8. Pentru numerele întregi , cel mai mare divizor comun este distributiv față de cel mai mic multiplu comun și invers: GCD ( a , mcm ( b , c )) = mcm (GCD ( a , b ), GCD ( a , c )) și mcm ( a , GCD ( b , c )) = GCD (mcm ( a , b ), mcm ( a , c )).
  9. Pentru numerele reale, adunarea este distributivă în ceea ce privește operația maximă și, de asemenea, în ceea ce privește operația minimă: a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ) și a + min ( b , c ) = min ( a + b , a + c ).

Distributivitatea se găsește în inelele și rețelele de distribuție.

Un inel are două operații binare (denumite în mod obișnuit „+” și „*”), iar una dintre cerințele pentru un inel este ca * să fie distributiv în raport cu +. Multe tipuri de numere (exemplu 1) și matrice (exemplu 4) formează inele.

O rețea este un alt tip de structură algebrică cu două operații binare, ∧ și ∨. Dacă una dintre cele două operații (să zicem ∧) este distributivă față de cealaltă (∨), atunci ∨ trebuie să fie și distributivă față de ∧, iar rețeaua se numește distributivă. Vezi și teoria ordinelor .

Exemplele 4 și 5 sunt algebre booleene , care pot fi interpretate ca un anumit tip de inel (un inel boolean ) sau ca un anumit tip de rețea distributivă (o rețea booleană ). Fiecare interpretare este responsabilă de diferite legi distributive în algebra booleană. Exemplele 6 și 7 sunt rețele distributive care nu sunt algebre booleene.

Inele și Grile distributive sunt ambele tipuri speciale de jumătate inele, o generalizare a inelelor. Numerele din Exemplul 1 care nu formează inele formează încă jumătăți de inele. Cvasi-jumătățile de inele reprezintă o generalizare suplimentară a inelelor de jumătate și sunt distributive pe stânga, dar nu sunt distributive pe dreapta; exemplul 2 este un cvasi-jumătate de inel.

Generalizări ale distributivității

În multe domenii ale matematicii, sunt luate în considerare legile distributive generalizate. Acest lucru poate implica slăbirea condițiilor definiției sau extinderea acesteia la operații infinite. În special în teoria ordinelor , există numeroase variante importante de distributivitate, dintre care unele includ operații infinite, altele sunt definite în prezența unei singure operații binare. Detalii despre definiții și relațiile lor pot fi găsite în articolul despre distributivitate (teoria comenzilor) . Este inclusă și noțiunea de rețea complet distributivă .

În prezența unei relații de ordine , condiția precedentă poate fi slăbită prin înlocuirea = cu ≤ sau ≥. Desigur, acest lucru duce la concepte semnificative numai în anumite situații. O aplicație a acestui principiu este noțiunea de subdistribuire.

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică