Distribuție {\ displaystyle \ chi ^ {2} (k)} |
---|
Funcția densității probabilității |
Funcția de distribuție |
Parametrii | {\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} \ setminus \ {0 \}} ( grade de libertate ) |
---|
A sustine | {\ displaystyle x \ in [0, \ infty]} |
---|
Funcția de densitate | {\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)}} x ^ {k / 2-1} e ^ {- x / 2}} |
---|
Funcția de distribuție | {\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (k / 2)}} \ gamma (k / 2, x / 2)} |
---|
Valorea estimata | {\ displaystyle k} |
---|
Median | aproximativ {\ displaystyle k {\ bigg (} 1 - {\ frac {2} {9k}} {\ bigg)} ^ {3}} |
---|
Modă | {\ displaystyle \ max \ {k-2,0 \}} |
---|
Varianța | {\ displaystyle 2k} |
---|
Indicele de asimetrie | {\ displaystyle {\ sqrt {8 / k}}} |
---|
Curios | {\ displaystyle 12 / k} |
---|
Entropie | {\ displaystyle {\ frac {k} {2}} + \ ln (2 \ Gamma (k / 2)) + (1-k / 2) \ psi (k / 2)} |
---|
Funcție generatoare de momente | {\ displaystyle M_ {X} (t) = (1-2t) ^ {- k / 2}} pentru {\ displaystyle -1/2 \ leqslant t \ leqslant 1/2} |
---|
Funcția caracteristică | {\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = (1-2 \, i \, t) ^ {- k / 2}} |
---|
Manual |
În teoria probabilității distribuția {\ displaystyle \ chi ^ {2}} ( chi- pătrat sau chi-pătrat [1] ) este distribuția probabilității sumei pătratelor variabilelor aleatoare normale independente .
În statistici este utilizat în special pentru testul de ipoteză omonim ( testul χ 2 ).
Definiție
Distributia{\ displaystyle \ chi _ {k} ^ {2}} este distribuția probabilității variabilei aleatorii definită ca
- {\ displaystyle \ chi _ {k} ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} x_ {i} ^ {2} = x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {k } ^ {2}}
unde este {\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {k}} sunt variabile aleatoare independente cu distribuție normală standard {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1)} . Parametrul {\ displaystyle k} se numește numărul de grade de libertate .
Istorie
Ernst Abbe ( 1840 - 1905 ), optician, a fost cel care a descoperit {\ displaystyle \ chi ^ {2}} analizând însumarea variabilelor aleatoare normale standardizate și independente, care produce o nouă variabilă aleatorie, la {\ displaystyle \ chi ^ {2}} exact. [2]
Proprietate
Sumă
Prin definiție, suma a două variabile aleatoare independente cu distribuții {\ displaystyle \ chi ^ {2} (m)} Și {\ displaystyle \ chi ^ {2} (n)} este o variabilă aleatorie cu distribuție {\ displaystyle \ chi ^ {2} (m + n)} :
- {\ displaystyle (x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {m} ^ {2}) + (x_ {m + 1} ^ {2} + \ ldots + x_ {m + n} ^ {2 }) = x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {m + n} ^ {2}.}
Mai general, suma variabilelor aleatoare independente cu distribuții {\ displaystyle \ chi ^ {2} (k_ {1}), \ ldots, \ chi ^ {2} (k_ {n}),} este o variabilă aleatorie cu distribuție {\ displaystyle \ chi ^ {2} (k_ {1} + \ ldots + k_ {n}).}
Caracteristici
O generalizare a distribuției {\ displaystyle \ chi ^ {2}} este distribuția Gamma : {\ displaystyle \ textstyle \ Gamma \ left ({\ frac {k} {2}}, {\ frac {1} {2}} \ right) = \ chi ^ {2} (k).}
În special o variabilă aleatorie {\ displaystyle x} cu distribuție {\ displaystyle \ chi ^ {2} (k)} are
- {\ displaystyle f_ {k} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)}} x ^ {k / 2-1} e ^ {- x / 2 } \ Quad} pentru {\ displaystyle x> 0}
unde este {\ displaystyle \ Gamma} indică funcția Gamma , care ia valorile
- {\ displaystyle \ Gamma (k / 2) = {\ sqrt {\ pi}} {\ frac {(k-2) !!} {2 ^ {(k-1) / 2}}} \ quad} pentru {\ displaystyle k} fotografii
- {\ displaystyle \ Gamma (k / 2) = (k / 2-1)! \ quad} pentru {\ displaystyle k} chiar
(simbolurile {\ displaystyle!} Și {\ displaystyle !!} indicați factorialul și respectiv factorul dublu );
- {\ displaystyle F_ {k} (x) = {\ frac {1} {\ Gamma (k / 2)}} \ gamma (k / 2, x / 2),}
unde este {\ displaystyle \ gamma (s, x) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {s-1} e ^ {- t} dt}
- valoarea așteptată : {\ displaystyle \ mathbb {E} [x] = k;}
- varianță : {\ displaystyle \ sigma ^ {2} (x) = 2k;}
- simetrie : {\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ sqrt {8 / k}};}
- curtoza : {\ displaystyle \ gamma _ {2} = {\ frac {12} {k}};}
- moda : {\ displaystyle \ max \ {0, k-2 \}.}
Limita centrală
Prin teorema limitei centrale distribuția {\ displaystyle \ chi ^ {2} (k)} converge la o distribuție normală {\ displaystyle {\ mathcal {N}}} pentru {\ displaystyle k} care tinde spre infinit. Mai exact, dacă {\ displaystyle x (k) = x_ {1} ^ {2} + \ dots {} + x_ {k} ^ {2}} urmează distribuția {\ displaystyle \ chi ^ {2} (k)} , apoi distribuția probabilității
- {\ displaystyle {\ frac {x (k) -k} {\ sqrt {2k}}},}
tinde spre cel al standardului normal {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0,1).}
Pentru a avea o convergență mai rapidă, acestea sunt uneori luate în considerare {\ displaystyle {\ sqrt {2x (k) ^ {2}}}} sau {\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ frac {x (k) ^ {2}} {k}}}.}
Generalizări
Distribuția χ 2 este un caz special al legii Γ și se încadrează în a treia familie de distribuții Pearson .
Distribuția central 2 necentrală este dată de suma pătratelor variabilelor aleatoare independente {\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {k}} având distribuții normale reduse, dar nu neapărat centrate, {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu _ {1}, 1), \ ldots, {\ mathcal {N}} (\ mu _ {k}, 1)} :
- {\ displaystyle x ^ {2} = x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {k} ^ {2}.}
O altă generalizare implică luarea în considerare a unei forme pătratice {\ displaystyle V ^ {t} AV} pe vectorul aleatoriu{\ displaystyle v = (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}).}
Utilizare în statistici
În statistici , distribuția χ 2 este utilizată pentru a efectua testul ipotezei χ 2 și pentru a estima o varianță și este legată de distribuțiile Student și Fisher-Snedecor .
Cel mai frecvent caz este cel al variabilelor aleatoare independente {\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} de distribuție normală {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma)} și mass-media {\ displaystyle \ textstyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}} , unde estimatorul de varianță
- {\ displaystyle S_ {n-1} ^ {2} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2}} { n-1}},}
urmează distribuția
- {\ displaystyle {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n-1}} \ chi ^ {2} (n-1).}
Pentru valori de {\ displaystyle k} peste 30 (sau 50) distribuția {\ displaystyle \ chi ^ {2}} este aproximat cu o distribuție normală.
Tabel cu valori critice
Tabelul următor ilustrează unele dintre cele mai utilizate valori critice. La valori {\ displaystyle k} valoarea critică se găsește pe rând și α pe coloană {\ displaystyle z _ {\ alpha} = F_ {k} ^ {- 1} (\ alpha)} , care este valoarea pentru care o variabilă aleatorie {\ displaystyle x ^ {2}} distribuție {\ displaystyle \ chi ^ {2} (k)} verifica
- {\ displaystyle P (x ^ {2} <z _ {\ alpha}) = \ alpha.}
k \ α | 0,001 | 0,002 | 0,005 | 0,01 | 0,02 | 0,05 | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,75 | 0,8 | 0,9 | 0,95 | 0,98 | 0,99 | 0,995 | 0,998 | 0,999 |
1 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 0,001 | 0,004 | 0,016 | 0,064 | 0,455 | 1.323 | 1,642 | 2.706 | 3.841 | 5.412 | 6.635 | 7.879 | 9.550 | 10.828 |
2 | 0,002 | 0,004 | 0,010 | 0,020 | 0,040 | 0,103 | 0,211 | 0,446 | 1,386 | 2,773 | 3.219 | 4.605 | 5,991 | 7.824 | 9.210 | 10.597 | 12.429 | 13,816 |
3 | 0,024 | 0,039 | 0,072 | 0,115 | 0,185 | 0,352 | 0,584 | 1.005 | 2.366 | 4.108 | 4.642 | 6.251 | 7.815 | 9.837 | 11,345 | 12,838 | 14.796 | 16.266 |
4 | 0,091 | 0,129 | 0,207 | 0,297 | 0,429 | 0,711 | 1,064 | 1.649 | 3.357 | 5,385 | 5.989 | 7.779 | 9.488 | 11,668 | 13.277 | 14,860 | 16.924 | 18,467 |
5 | 0,210 | 0,280 | 0,412 | 0,555 | 0,752 | 1.145 | 1.610 | 2.343 | 4.351 | 6.626 | 7.289 | 9.236 | 11.070 | 13.388 | 15.086 | 16.750 | 18.907 | 20.515 |
6 | 0,381 | 0,486 | 0,676 | 0,872 | 1.134 | 1.635 | 2.204 | 3,070 | 5.348 | 7.841 | 8.558 | 10.645 | 12.592 | 15.033 | 16,812 | 18.548 | 20,791 | 22.458 |
7 | 0,598 | 0,741 | 0,989 | 1.239 | 1,564 | 2.167 | 2.833 | 3.822 | 6.346 | 9.037 | 9.803 | 12.017 | 14.067 | 16.622 | 18,475 | 20.278 | 22.601 | 24.322 |
8 | 0,857 | 1,038 | 1.344 | 1.646 | 2.032 | 2.733 | 3.490 | 4.594 | 7.344 | 10.219 | 11.030 | 13,362 | 15.507 | 18.168 | 20.090 | 21.955 | 24.352 | 26.124 |
9 | 1.152 | 1,370 | 1.735 | 2.088 | 2.532 | 3.325 | 4.168 | 5.380 | 8.343 | 11.389 | 12.242 | 14,684 | 16.919 | 19,679 | 21,666 | 23.589 | 26.056 | 27,877 |
10 | 1,479 | 1.734 | 2.156 | 2.558 | 3.059 | 3.940 | 4.865 | 6.179 | 9.342 | 12.549 | 13.442 | 15.987 | 18.307 | 21.161 | 23.209 | 25.188 | 27,722 | 29.588 |
11 | 1,834 | 2.126 | 2.603 | 3,053 | 3.609 | 4.575 | 5.578 | 6.989 | 10.341 | 13.701 | 14.631 | 17.275 | 19,675 | 22,618 | 24,725 | 26.757 | 29.354 | 31.264 |
12 | 2.214 | 2.543 | 3,074 | 3,571 | 4.178 | 5.226 | 6.304 | 7,807 | 11,340 | 14,845 | 15,812 | 18.549 | 21.026 | 24.054 | 26.217 | 28.300 | 30.957 | 32.909 |
13 | 2.617 | 2.982 | 3,565 | 4.107 | 4.765 | 5.892 | 7.042 | 8.634 | 12,340 | 15.984 | 16,985 | 19,812 | 22,362 | 25,472 | 27,688 | 29,819 | 32.535 | 34,528 |
14 | 3.041 | 3.440 | 4.075 | 4.660 | 5.368 | 6.571 | 7.790 | 9,467 | 13.339 | 17.117 | 18.151 | 21.064 | 23,685 | 26,873 | 29.141 | 31.319 | 34.091 | 36.123 |
15 | 3.483 | 3,916 | 4.601 | 5.229 | 5,985 | 7.261 | 8,547 | 10.307 | 14.339 | 18.245 | 19.311 | 22.307 | 24.996 | 28,259 | 30,578 | 32.801 | 35,628 | 37,697 |
16 | 3,942 | 4.408 | 5.142 | 5.812 | 6.614 | 7.962 | 9.312 | 11.152 | 15,338 | 19.369 | 20,465 | 23.542 | 26.296 | 29,633 | 32.000 | 34.267 | 37.146 | 39.252 |
17 | 4.416 | 4.915 | 5.697 | 6.408 | 7.255 | 8,672 | 10.085 | 12.002 | 16,338 | 20.489 | 21,615 | 24.769 | 27,587 | 30,995 | 33.409 | 35,718 | 38,648 | 40,790 |
18 | 4.905 | 5.436 | 6.265 | 7.015 | 7,906 | 9.390 | 10.865 | 12,857 | 17.338 | 21.605 | 22,760 | 25.989 | 28,869 | 32,346 | 34.805 | 37.156 | 40.136 | 42.312 |
19 | 5.407 | 5.969 | 6.844 | 7.633 | 8,567 | 10.117 | 11.651 | 13,716 | 18,338 | 22,718 | 23.900 | 27.204 | 30.144 | 33,687 | 36.191 | 38,582 | 41,610 | 43,820 |
20 | 5.921 | 6.514 | 7.434 | 8.260 | 9.237 | 10.851 | 12,443 | 14,578 | 19.337 | 23,828 | 25.038 | 28,412 | 31.410 | 35.020 | 37,566 | 39,997 | 43.072 | 45,315 |
21 | 6.447 | 7.070 | 8.034 | 8.897 | 9.915 | 11.591 | 13.240 | 15,445 | 20.337 | 24.935 | 26.171 | 29,615 | 32,671 | 36,343 | 38,932 | 41.401 | 44,522 | 46,797 |
22 | 6,983 | 7.636 | 8.643 | 9.542 | 10.600 | 12,338 | 14.041 | 16.314 | 21,337 | 26.039 | 27.301 | 30,813 | 33.924 | 37.659 | 40.289 | 42.796 | 45.962 | 48.268 |
23 | 7.529 | 8.212 | 9.260 | 10.196 | 11.293 | 13.091 | 14,848 | 17.187 | 22,337 | 27.141 | 28,429 | 32.007 | 35.172 | 38,968 | 41,638 | 44,181 | 47.391 | 49,728 |
24 | 8.085 | 8.796 | 9.886 | 10.856 | 11.992 | 13,848 | 15.659 | 18.062 | 23,337 | 28.241 | 29,553 | 33.196 | 36,415 | 40.270 | 42.980 | 45,559 | 48,812 | 51,179 |
25 | 8.649 | 9.389 | 10.520 | 11.524 | 12,697 | 14.611 | 16,473 | 18,940 | 24.337 | 29,339 | 30,675 | 34,382 | 37.652 | 41,566 | 44,314 | 46.928 | 50.223 | 52,620 |
26 | 9.222 | 9.989 | 11.160 | 12.198 | 13.409 | 15.379 | 17.292 | 19,820 | 25,336 | 30,435 | 31,795 | 35.563 | 38,885 | 42,856 | 45,642 | 48.290 | 51,627 | 54.052 |
27 | 9.803 | 10.597 | 11.808 | 12,879 | 14.125 | 16.151 | 18.114 | 20.703 | 26,336 | 31.528 | 32,912 | 36,741 | 40.113 | 44.140 | 46.963 | 49,645 | 53.023 | 55,476 |
28 | 10.391 | 11.212 | 12,461 | 13,565 | 14,847 | 16,928 | 18,939 | 21.588 | 27,336 | 32,620 | 34.027 | 37.916 | 41,337 | 45,419 | 48.278 | 50,993 | 54.411 | 56,892 |
29 | 10.986 | 11.833 | 13.121 | 14.256 | 15.574 | 17.708 | 19,768 | 22,475 | 28,336 | 33,711 | 35.139 | 39.087 | 42,557 | 46,693 | 49.588 | 52,336 | 55.792 | 58.301 |
30 | 11.588 | 12,461 | 13,787 | 14,953 | 16.306 | 18,493 | 20.599 | 23,364 | 29,336 | 34.800 | 36.250 | 40,256 | 43,773 | 47.962 | 50,892 | 53,672 | 57,167 | 59.703 |
35 | 14.688 | 15,686 | 17.192 | 18.509 | 20.027 | 22,465 | 24,797 | 27,836 | 34,336 | 40.223 | 41,778 | 46.059 | 49.802 | 54.244 | 57,342 | 60.275 | 63.955 | 66,619 |
40 | 17.916 | 19.032 | 20.707 | 22.164 | 23,838 | 26.509 | 29.051 | 32,345 | 39.335 | 45,616 | 47.269 | 51.805 | 55.758 | 60,436 | 63,691 | 66,766 | 70,618 | 73.402 |
45 | 21.251 | 22,477 | 24.311 | 25.901 | 27,720 | 30,612 | 33,350 | 36,884 | 44,335 | 50.985 | 52,729 | 57.505 | 61.656 | 66,555 | 69.957 | 73,166 | 77,179 | 80.077 |
50 | 24,674 | 26.006 | 27,991 | 29.707 | 31,664 | 34,764 | 37,689 | 41,449 | 49.335 | 56,334 | 58.164 | 63,167 | 67.505 | 72,613 | 76.154 | 79,490 | 83,657 | 86,661 |
Derivare
Derivarea funcției densității pentru un grad de libertate
Fie Y = X 2 , unde X este o variabilă aleatorie distribuită în mod normal cu zero medie și varianță unitară (X ~ N (0,1)).
Astfel, dacă {\ displaystyle y <0, ~ P (Y <y) = 0} , în timp ce, dacă {\ displaystyle y \ geq 0, ~ P (Y <y) = P (X ^ {2} <y) = P (| X | <{\ sqrt {y}}) = F_ {X} ({ \ sqrt {y}}) - F_ {X} (- {\ sqrt {y}})} .
- {\ displaystyle f_ {Y} (y) = f_ {X} ({\ sqrt {y}}) {\ frac {\ partial ({\ sqrt {y}})} {\ partial y}} - f_ {X } (- {\ sqrt {y}}) {\ frac {\ partial (- {\ sqrt {y}})} {\ partial y}}}
- {\ displaystyle = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} {\ frac {1} {2y ^ {1/2}}} e ^ {- {\ frac {y} {2}} } + {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} {\ frac {1} {2y ^ {1/2}}} e ^ {- {\ frac {y} {2}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} {\ frac {1} {y ^ {1/2}}} e ^ {- {\ frac {y} {2}}}}
- {\ displaystyle = {\ frac {1} {2 ^ {\ frac {1} {2}} \ Gamma ({\ frac {1} {2}})}} y ^ {{\ frac {1} {2 }} - 1} și ^ {- {\ frac {y} {2}}}}
unde este {\ displaystyle F} Și {\ displaystyle f} sunt, respectiv, funcția de probabilitate cumulată și funcția de densitate.
Prin urmare, avem: {\ displaystyle Y = X ^ {2} \ sim \ chi _ {1} ^ {2}} .
Derivarea funcției densității pentru două grade de libertate
Este posibil să se obțină distribuția cu 2 grade de libertate începând de la distribuția cu un grad.
Lasa-i sa fie {\ displaystyle x} Și {\ displaystyle y} două variabile aleatoare independente astfel încât {\ displaystyle x \ sim \ chi _ {1} ^ {2}} Și {\ displaystyle y \ sim \ chi _ {1} ^ {2}} .
Din ipoteza independenței rezultă că funcția lor de probabilitate comună este:
- {\ displaystyle f_ {xy} (x, y) = f_ {x} (x) f_ {y} (y) = {\ frac {1} {2 \ Gamma ({\ frac {1} {2}}) ^ {2}}} (xy) ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {x + y} {2}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} (xy) ^ {- {\ frac {1} {2}}} și ^ {- {\ frac {x + y} {2}}}.}
Lasa-i sa fie {\ displaystyle A = xy} Și {\ displaystyle B = x + y} , avem asta:
- {\ displaystyle x = {\ frac {B + {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}
- {\ displaystyle y = {\ frac {B - {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}
sau
- {\ displaystyle x = {\ frac {B - {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}
- {\ displaystyle y = {\ frac {B + {\ sqrt {B ^ {2} -4A}}} {2}}}
Având în vedere simetria, putem lua prima pereche de soluții și înmulți rezultatul cu 2.
Jacobianul este:
- {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} - (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}} și {\ frac {1 + B (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}}} {2}} \\ (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}} și {\ frac {1 -B (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}}} {2}} \\\ end {vmatrix}} = (B ^ {2} -4A) ^ { - {\ frac {1} {2}}}}
Putem apoi să trecem de la {\ displaystyle f (x, y)} la {\ displaystyle f (A, B)} :
- {\ displaystyle f_ {AB} (A, B) = 2 \ times {\ frac {1} {2 \ pi}} A ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- {\ frac {B} {2}}} (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}
Distribuția marginală a {\ displaystyle B = x + y} este deci:
- {\ displaystyle f_ {B} (B) = 2 \ times {\ frac {e ^ {- {\ frac {B} {2}}}} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {B ^ {2}} {4}} A ^ {- {\ frac {1} {2}}} (B ^ {2} -4A) ^ {- {\ frac {1} {2}}} dA }
Prin plasare {\ displaystyle A = {\ frac {B ^ {2}} {4}} \ sin ^ {2} (t)} , ecuația devine:
- {\ displaystyle f_ {B} (B) = 2 \ times {\ frac {e ^ {- {\ frac {B} {2}}}} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} dt}
de la care:
- {\ displaystyle f_ {B} (B) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {B} {2}}}} {2}} = {\ frac {1} {2 \ Gamma (1)} } B ^ {{\ frac {2} {2}} - 1} și ^ {- {\ frac {B} {2}}}}
Derivarea funcției densității pentru k grade de libertate
Un eșantion de {\ displaystyle k} realizări {\ displaystyle x_ {i}} a unei variabile normale standard este reprezentabilă ca punct într-un spațiu k-dimensional. Distribuția sumei pătratelor va fi:
- {\ displaystyle P (Q) dQ = \ int _ {\ Gamma} \ prod _ {i = 1} ^ {k} N (x_ {i}) \, dx_ {i} = \ int _ {\ Gamma} { \ frac {e ^ {- (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ ldots + x_ {k} ^ {2}) / 2}} {(2 \ pi) ^ { k / 2}}} \, dx_ {1} dx_ {2} \ ldots dx_ {k}}
unde este {\ displaystyle N (x)} este funcția de densitate a unei distribuții normale standard e {\ displaystyle \ Gamma} este o suprafata {\ displaystyle (k-1)} -dimensional în spațiu {\ displaystyle k} -dimensional pentru care se aplică:
- {\ displaystyle Q = \ sum _ {i = 1} ^ {k} x_ {i} ^ {2}.}
Această suprafață este o sferă {\ displaystyle k-1} dimensional cu raza{\ displaystyle R = {\ sqrt {Q}}} .
Atâta timp cât {\ displaystyle Q} este constant, poate fi scos din integral:
- {\ displaystyle P (Q) dQ = {\ frac {e ^ {- Q / 2}} {(2 \ pi) ^ {k / 2}}} \ int _ {\ Gamma} dx_ {1} dx_ {2 } \ ldots dx_ {k}}
Integrala nu este alta decât zona {\ displaystyle A} a sferei înmulțite cu grosimea ei infinitesimală, adică:
- {\ displaystyle dR = {\ frac {dQ} {2Q ^ {1/2}}}.}
- {\ displaystyle A = {\ frac {kR ^ {k-1} \ pi ^ {k / 2}} {\ Gamma (k / 2 + 1)}}}
Înlocuind, notând că{\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z)} , și simplificând obținem în cele din urmă:
- {\ displaystyle P (Q) dQ = {\ frac {e ^ {- Q / 2}} {(2 \ pi) ^ {k / 2}}} A \, dR = {\ frac {1} {2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)}} Q ^ {k / 2-1} e ^ {- Q / 2} \, dQ}
de la care:
- {\ displaystyle P (Q) = {\ frac {1} {2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)}} Q ^ {k / 2-1} e ^ {- Q / 2}.}
Notă
Bibliografie
- Sheldon M. Ross, Probabilitate și statistici pentru inginerie și știință , Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2 .
Elemente conexe
Alte proiecte