Distribuție Boltzmann

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea distribuției Maxwell-Boltzmann, consultați distribuția Maxwell-Boltzmann .

În fizică și matematică , distribuția Boltzmann este o funcție de distribuție pentru stările unui sistem. Este o măsură de probabilitate care stă la baza conceptului de ansamblu canonic , din care descrie distribuția stărilor. Un caz special este distribuția Maxwell-Boltzmann , utilizată pentru a descrie viteza particulelor din gaze .

Definiție

Distribuția Boltzmann descrie funcția de distribuție a fracției de particule ocupând un stat -alea cu energie :

unde este este constanta lui Boltzmann , este temperatura (care se presupune a fi bine definită), este numărul de state care au energie , este numărul total de particule:

Și se numește funcția de partiție , care este dată de:

Alternativ, pentru un singur sistem la o temperatură bine definită, distribuția Boltzmann este distribuția probabilității că sistemul se află într-o stare specifică.

Distribuția Boltzmann se aplică numai particulelor la o temperatură suficient de ridicată și o densitate suficient de mică pentru ca efectele cuantice să fie ignorate și particulele care să respecte statisticile Maxwell-Boltzmann . Distribuția Boltzmann este adesea exprimată în termeni de unde este se referă la termodinamica beta . Termenul , care indică probabilitatea relativă, ne-normalizată a unei singure stări, se numește factorul Boltzmann și apare adesea în studiul fizicii și chimiei .

Când energia este pur și simplu energia cinetică a particulei:

distribuția oferă corect distribuția Maxwell-Boltzmann a vitezei moleculare a gazelor , așa cum a afirmat Maxwell în 1859 . Distribuția Boltzmann este, totuși, mult mai generală. De exemplu, prezice și variația densității particulelor într-un câmp gravitațional cu înălțimea, dacă . De fapt, distribuția se aplică ori de câte ori efectele cuantice pot fi neglijate.

În unele cazuri, poate fi utilizată o aproximare continuă. Dacă există fost cu energie din la , distribuția Boltzmann prezice o probabilitate de distribuție pentru energie:

În această formulă este definit ca densitatea stărilor ; expresia sa explicită stabilește dacă spectrul energetic este continuu.

În limita clasică, la o valoare mare de sau la stări de densitate scăzută (când funcțiile de undă ale particulelor practic nu coincid), atât statisticile Bose-Einstein, cât și Fermi-Dirac sunt bine aproximate prin distribuția Boltzmann.

Principala problemă a mecanicii statistice

În mecanica statistică , un sistem macroscopic format din particule are grade de libertate descrise de coordonate generalizate . Aceste grade de libertate pot fi reprezentate în spațiul de fază a mărimea. Starea unui sistem macroscopic este reprezentată de un punct din spațiul de fază. Când starea sistemului se schimbă în timp, punctul reprezentativ al sistemului parcurge o traiectorie în spațiul de fază. Tratarea clasică a unui sistem macroscopic compus dintr-un număr foarte mare de particule este în mod clar inutilă, chiar dacă teoretic este posibil. Pentru a studia sistemele macroscopice cu un număr enorm de particule, se folosește metoda statistică, care oferă proprietăți medii ale sistemului care permit depășirea problemei numărului mare de elemente care îl compun.

Metoda statistică se bazează pe postulatul fundamental al unei probabilități egale a priori: conform acestui postulat, dacă luăm în considerare un sistem mare (mediu) și subsistemul său mai mic, dar macroscopic semnificativ (adică constând dintr-un număr suficient de mare de elemente), și noi luați toate volumele mici după bunul plac, în spațiul de fază al subsistemului respectiv , apoi într-un interval de timp suficient de lung traiectoria a spațiului de fază, oricât de complicat, va trece prin fiecare dintre aceste volume. Limita

tinde spre o valoare finită și reprezintă probabilitatea ca observarea sistemului în orice moment să poată fi găsită în cadrul unui element a spațiului de fază, dacă reprezintă intervalul de timp în care se află punctul reprezentativ în acel element.

Dacă elementul spațiului de fază este infinitesimal:

,

atunci putem introduce probabilitatea ca:

unde este reprezintă o funcție a tuturor coordonatelor și a tuturor impulsurilor și se numește densitatea de distribuție statistică . Această densitate trebuie normalizată normalizat:

Căutarea celei mai adecvate distribuții statistice este principala problemă a mecanicii statistice. De fapt, fiecare cantitate fizică a sistemului poate fi obținut ca o valoare medie ponderată cu distribuția adecvată:

.

Comportamentul statistic al fiecărei mărimi este deci strâns legată de distribuție și valoarea medie a are un vârf pronunțat la vârful de .

Se spune că două subsisteme care alcătuiesc un sistem mai mare sunt cvasi-izolate dacă singurele interacțiuni sunt efecte de suprafață și sunt neglijabile în comparație cu energia internă deținută de fiecare subsistem. În acest caz, astfel de subsisteme pot fi considerate independente statistic. Aceasta înseamnă că între două subsisteme:

iar inversul este, de asemenea, adevărat. La fel și valorile medii ale cantităților în fiecare subsistem:

.

Rețineți că densitatea este păstrat în spațiul de fază: poate fi vizualizat ca un set de puncte, fiecare dintre ele reprezentând o stare posibilă a sistemului care ocupă un anumit volum în spațiul de fază în sine. Conform teoremei lui Liouville , acest volum, în timp ce se schimbă în timp Și și a timpului, rămâne constantă.

Entropie și energie

Să luăm două subsisteme cvasi-izolate aparținând unui sistem mult mai mare. În acest caz putem scrie:

Utilizarea logaritmului natural este adecvată pentru introducerea entropiei . Considerăm un sistem izolat și împărțim acest sistem în multe subsisteme. Ei bine, putem obține o funcție de distribuție simplă pentru a descrie proprietățile unui sistem. Este numărul de stări (tocmai ar trebui să luăm în considerare stările cuantice) ale subsistemelor, apoi o funcție de distribuție:

de fapt, singurul parametru pe care îl putem considera constant în cadrul subsistemelor este energia și funcția delta Dirac explică tipul de vârf al acestei distribuții în jurul unei valori date atribuit pentru energie, în timp ce este evident că această distribuție este ponderată de faptul că sistemul se află într-una dintre stări . Pentru fiecare valoare de putem calcula funcția de distribuție . Putem deduce probabilitatea că energia subsistemului se află în raza de acțiune . Doar înmulțiți distribuția pentru numărul de state cu energie în această stare:

,

cu condiția normalizării:

.

are un maxim la recunoscând valoarea medie a energiei. Trebuie să ținem cont de asta reprezintă numărul de stări (cuantice) care sunt compatibile cu constrângerile microscopice ale sistemului, în acest caz cu energia. Are o legătură directă cu volumul spațiului de fază:

,

dar numai în tratamentul mecanicii statistice cuantice. Impune o limită între mecanica cuantică și mecanica clasică, determinată de constanta lui Planck . Logaritmul natural al acestei funcții:

se numește entropie a sistemului, în mod corespunzător în cazul cuantic. Înlocuind obținem:

și în acest fel rezultă o cantitate adimensională. Mai mult, entropia este întotdeauna o cantitate pozitivă și aditivă. În cazul clasic este definit până la o constantă aditivă, în timp ce în cazul cuantic nu este.

Elemente conexe

Fizică Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica