Statistici Fermi-Dirac

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În mecanica statistică , statistica Fermi-Dirac sau distribuția Fermi-Dirac este o distribuție statistică a fermionilor în stările de energie pentru un sistem în echilibru termic .

Introdus de Enrico Fermi și Paul Dirac în 1926 [1] , reprezintă, împreună cu statisticile Bose-Einstein pentru bosoni , actualizarea cuantică a distribuției clasice Maxwell-Boltzmann . În 1927 a fost aplicat de Arnold Sommerfeld la electronii din metale [1] și de atunci utilizat pe scară largă pentru studiul electronilor din solide, formând baza electronicii și fizicii semiconductorilor și făcând posibile descoperiri precum tranzistorul .

Dezvoltarea conceptului

Să presupunem că doi fermioni sunt așezați într-un sistem pe patru niveluri. Există șase aranjamente posibile ale unui astfel de sistem, care sunt prezentate în diagrama de mai jos.

 ε 1 ε 2 ε 3 ε 4
LA * *
B * *
C * *
D * *
ȘI * *
F * *

Fiecare dintre aceste aranjamente se numește microstatul sistemului. Este un postulat fundamental al fizicii statistice că, în echilibru termic , fiecare dintre aceste microstate este în mod egal supus constrângerilor impuse de energia totală și de numărul de particule cunoscute.

În funcție de valorile energetice pentru fiecare stare, se poate întâmpla ca energia totală a uneia dintre aceste șase combinații să fie egală cu celelalte. De fapt, dacă presupunem că energiile sunt multiple în funcție de numere întregi succesive (începând de la 1) ale unei valori date , energia fiecăreia dintre cele șase microstate devine:






Deci, știind că sistemul are o energie egală cu , se poate concluziona că statele Și sunt la fel de probabil să fie ocupați. Rețineți că dacă particulele ar fi distinse (cazul clasic), microstatele ar fi douăsprezece și nu șase.

Funcția de distribuție Fermi-Dirac

Este posibil să se obțină din argumente statistice (așa cum se explică în paragraful următor) forma distribuției Fermi-Dirac, adică a numărului mediu de fermioni care ocupă o stare a unei singure particule de energie la temperatura . Primim: [2]

unde este:

  • este numărul mediu de particule în starea luată în considerare;
  • exp este funcția exponențială ;
  • este energia stării considerate;
  • este potențialul chimic electronic sau nivelul Fermi ;
  • este constanta lui Boltzmann
  • este temperatura absolută (măsurată în kelvini ).

O derivare a distribuției Fermi-Dirac

Să luăm în considerare un sistem de fermioni, care pot ocupa stări cu o singură particulă identificate printr-o colecție a numerelor cuantice, la care se asociază energia . Vrem să stabilim numărul mediu de locuri de muncă în stat , presupunând că depinde doar de , precum și din și temperatura . Vom obține această distribuție prin intermediul principiului maxim al entropiei , adică căutând distribuția care maximizează expresia entropiei Boltzmann - Gibbs , cu constrângerile pe care numărul total de particule este egal cu iar energia totală a sistemului este egală cu .

Entropia pentru un sistem microcanonic este dată de legea lui Boltzmann : [3]

unde este este numărul stărilor microscopice care corespund acestei distribuții. Să presupunem că grupăm stările microscopice în grupuri, astfel încât grupul conține stări de particule unice e particule, cu , și totuși energiile corespunzătoare sunt foarte apropiate una de cealaltă și de o energie „medie” . În aceste condiții, numărul mediu de ocupare a statelor care aparțin grupului este același pentru toți și egal cu:

Numărul de moduri în care particulele pot fi distribuite între stări este dată de coeficientul binomial . [3] Prin urmare, logaritmul natural al numărului total de stări microscopice va fi dat de suma acestor contribuții pentru fiecare grup :

unde am folosit formula lui Stirling pentru factorial: [3]

O înțelegem așa

care trebuie maximizat cu constrângeri

Aceasta este o problemă extremă constrânsă, care este rezolvată prin introducerea a doi multiplicatori Lagrange Și . Soluția este:

Rezolvarea cu privire la primesti:

care coincide cu distribuția Fermi dacă

Gaz Fermi degenerat

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: gazul Fermi .

În limita temperaturii scăzute (practic aproape de zero absolut ), distribuția Fermi-Dirac își asumă o tendință de „pas”:

unde este:

  • este funcția caracteristică sau funcția indicator a intervalului ;
  • este potențialul chimic a ;

adică distribuția este 1 dacă și 0 dacă .

În aceste condiții, sistemul ocupă toate și numai stările de particule unice cu energie mai mică decât o valoare maximă , numită energie Fermi . Un gaz fermionic găsit în această situație se numește gaz Fermi degenerat și se caracterizează prin proprietăți particulare:

  • Ecuația de stare are forma , unde este , în loc de obicei
  • Căldura specifică este proporțională cu
  • Prezența spinului de electroni dă naștere la fenomene de paramagnetism ( Pauli paramagnetism)

Teoria degenerată a gazului Fermi a fost studiată în special de fizicianul german Arnold Sommerfeld și are aplicații importante în mai multe domenii:

Notă

  1. ^ a b Kragh , p. 36 .
  2. ^ Bube , p. 93 .
  3. ^ a b c Löwdin , p. 13 .

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 38263
Cuantic Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică