Distribuție Maxwell-Boltzmann

Distribuție Maxwell-Boltzmann
Funcția de densitate
Funcția de distribuție
Parametrii	$a>0\,$ ${\ displaystyle a> 0 \,}$ $a> 0 \,$
A sustine	$x\in [0;\infty )$ ${\ displaystyle x \ in [0; \ infty)}$ $x \ in [0; \ infty)$
Funcția de densitate	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {x^{2}e^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a^{3}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} {\ frac {x ^ {2} e ^ {- x ^ {2} / (2a ^ {2})}} {a ^ { 3}}}}$ $\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ frac {x ^ 2 e ^ {- x ^ 2 / (2a ^ 2)}} {a ^ 3}$
Funcția de distribuție	${\textrm {erf}}\left({\frac {x}{{\sqrt {2}}a}}\right)-{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {xe^{-x^{2}/(2a^{2})}}{a}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {erf}} \ left ({\ frac {x} {{\ sqrt {2}} a}} \ right) - {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}} { \ frac {xe ^ {- x ^ {2} / (2a ^ {2})}} {a}}}$ $\ textrm {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2} a} \ right) - \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} \ frac {xe ^ {- x ^ 2 / ( 2a ^ 2)}} {a}$ , unde este $\mathrm {erf}$ ${\ displaystyle \ mathrm {erf}}$ $\ mathrm {erf}$ este funcția erorilor
Valorea estimata	$\mu =2a{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ ${\ displaystyle \ mu = 2a {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}}}$ $\ mu = 2a \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}$
Modă	${\sqrt {2}}a$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} a}$ $\ sqrt {2} a$
Varianța	$\sigma ^{2}={\frac {a^{2}(3\pi -8)}{\pi }}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = {\ frac {a ^ {2} (3 \ pi -8)} {\ pi}}}$ $\ sigma ^ 2 = \ frac {a ^ 2 (3 \ pi - 8)} {\ pi}$
Indicele de asimetrie	$\gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {2}}(16-5\pi )}{(3\pi -8)^{3/2}}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {2 {\ sqrt {2}} (16-5 \ pi)} {(3 \ pi -8) ^ {3/2}}}}$ $\ gamma_1 = \ frac {2 \ sqrt {2} (16 -5 \ pi)} {(3 \ pi - 8) ^ {3/2}}$
Curios
Entropie	${\frac {1}{2}}-\gamma -\ln(a{\sqrt {2\pi }})$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} - \ gamma - \ ln (a {\ sqrt {2 \ pi}})}$ $\ frac {1} {2} - \ gamma- \ ln (a \ sqrt {2 \ pi})$
Manual

Distribuția Maxwell-Boltzmann este o funcție de distribuție a particulelor cu o anumită energie, într-un sistem care respectă legile fizicii clasice : adică oferă probabilitatea ca o particulă să aibă o energie între $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ și $E+\mathrm {d} E$ ${\ displaystyle E + \ mathrm {d} E}$ $E + \ mathrm {d} E$ , sau o viteză între $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $v+\mathrm {d} v$ ${\ displaystyle v + \ mathrm {d} v}$ $v + \ mathrm {d} v$ .

Ipotezele fundamentale care stau la baza acestei distribuții sunt că particulele care alcătuiesc sistemul sunt distincte , că sistemul este liniar, izotrop și că procesele statistice care stau la baza stării sistemului se supun statisticilor Markov . În termeni fizici, se spune apoi că sistemul este perfect termalizat . Acest lucru se întâmplă, de exemplu, dacă frecvența coliziunilor în interiorul sistemului (care, de exemplu, poate fi un gaz ) este suficient de mare în comparație cu timpii proceselor de analizat.

Când cade prima ipoteză, de exemplu în mecanica cuantică , distribuția Maxwell-Boltzmann nu mai este valabilă și apar în schimb două tipuri diferite de distribuții, cunoscute sub numele de distribuțiile Fermi-Dirac și Bose-Einstein .

Când ipotezele despre liniaritate, izotropie sau statistici Markov cad, distribuția Maxwell-Boltzmann este modificată diferit, în funcție de proprietățile sistemului. În acest al doilea caz, nu există un tratament organic complet, dar există diverse teorii care ne permit să tratăm anumite cazuri particulare. Cazul sistemelor slab haotice va fi prezentat mai jos, adică acele sisteme care în teoria haosului nu sunt ergodice , dar sunt caracterizate de regiuni ordonate cufundate în regiuni mai haotice.

fundal

Această distribuție a fost introdusă pentru prima dată de fizicianul Maxwell , dar a ajuns la faimă datorită studiului lui Ludwig Boltzmann și a înțelegerii utilizării sale pentru mecanica statistică .

Deducția clasică, furnizată de Boltzmann pornind de la o coloană de gaz supusă gravitației, este prezentată mai jos.

Model simplu

Presiunea asupra unui element fluid (cu grosimea dz) într-o coloană de gaz din câmpul gravitațional al Pământului .

Să luăm în considerare o coloană de gaz sub efectul gravitației ^[1] : la înălțime $z+\mathrm {d} z$ ${\ displaystyle z + \ mathrm {d} z}$ $z + \ mathrm {d} z$ vei avea presiune $P+\mathrm {d} P$ ${\ displaystyle P + \ mathrm {d} P}$ $P + \ mathrm {d} P$ , unde se aplică legea lui Stevino :

\nabla p=-\rho \mathbf {g}

{\ displaystyle \ nabla p = - \ rho \ mathbf {g}}

{\ displaystyle \ nabla p = - \ rho \ mathbf {g}}

Adică, prin descompunerea densității masei în densitatea numărului și masa moleculară medie:

\nabla p=-mn\mathbf {g}

{\ displaystyle \ nabla p = -mn \ mathbf {g}}

{\ displaystyle \ nabla p = -mn \ mathbf {g}}

Relația constitutivă a unui gaz ideal este:

p=n\,T

{\ displaystyle p = n \, T}

{\ displaystyle p = n \, T}

.

unde temperatura absolută este aici exprimată în unități de energie (în sistemul internațional , în jouli , înmulțind cu valoarea constantei Boltzmann ). În condiții izotermale avem această lege a proporționalității în distribuțiile spațiale:

 $\,\nabla p=T\nabla n$  $\nabla$   $p$   $=$   $T.$   $\nabla$   $n$   ${\ displaystyle \, \ nabla p = T \ nabla n}$   ${\ displaystyle \, \ nabla p = T \ nabla n}$  .

Ajungem apoi la ecuația diferențială parțială :

\nabla n+{\frac {m\mathbf {g} }{T}}n=0

{\ displaystyle \ nabla n + {\ frac {m \ mathbf {g}} {T}} n = 0}

{\ displaystyle \ nabla n + {\ frac {m \ mathbf {g}} {T}} n = 0}

care poate fi urmărită înapoi la o ecuație a valorii proprii pentru gradient : vectorul de undă , valoarea proprie a gradientului, corespunde în acest caz raportului:

 $\mathbf {k} ={\frac {m}{T}}\mathbf {g}$  $k$   $=$   $m$   $T.$   $g$   ${\ displaystyle \ mathbf {k} = {\ frac {m} {T}} \ mathbf {g}}$   ${\ displaystyle \ mathbf {k} = {\ frac {m} {T}} \ mathbf {g}}$  .

Într - o dimensiune spațială (o coloană de gaz, în care $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este altitudinea barometrică ), ecuația poate fi văzută ca o ecuație obișnuită de primul ordin :

n'(z)+k\,n(z)=0

{\ displaystyle n '(z) + k \, n (z) = 0}

{\ displaystyle n '(z) + k \, n (z) = 0}

.

Acesta din urmă are soluția clasică de descompunere exponențială :

\,n(z)=n_{0}\,e^{-kz}

{\ displaystyle \, n (z) = n_ {0} \, e ^ {- kz}}

{\ displaystyle \, n (z) = n_ {0} \, e ^ {- kz}}

.

Această lege poate fi în cele din urmă re-exprimată, ținând cont de faptul că energia potențială a coloanei este:

U=mgz

{\ displaystyle U = mgz}

{\ displaystyle U = mgz}

Prin urmare, densitatea în coloană variază în funcție de factor $e^{-\Delta U/T}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ Delta U / T}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ Delta U / T}}$ :

\,n(U)=n_{0}e^{-{\frac {\Delta U}{T}}}

{\ displaystyle \, n (U) = n_ {0} e ^ {- {\ frac {\ Delta U} {T}}}}

{\ displaystyle \, n (U) = n_ {0} e ^ {- {\ frac {\ Delta U} {T}}}}

.

Inversând această relație, energia potențială a câmpului poate fi reconstituită din distribuția câmpului de densitate a gazului:

U=U_{0}-T\ln \left({\frac {n}{n_{0}}}\right)

{\ displaystyle U = U_ {0} -T \ ln \ left ({\ frac {n} {n_ {0}}} \ right)}

{\ displaystyle U = U_ {0} -T \ ln \ left ({\ frac {n} {n_ {0}}} \ right)}

.

Modelul statistic

Având în vedere un sistem format din $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ particule totale cu energie totală

E={\begin{matrix}\sum _{i}N_{i}\end{matrix}}\varepsilon _{i}

{\ displaystyle E = {\ begin {matrix} \ sum _ {i} N_ {i} \ end {matrix}} \ varepsilon _ {i}}

E = \ begin {matrix} \ sum_ {i} N_i \ end {matrix} \ varepsilon_i

se presupune că distribuția de echilibru este cea mai probabilă și cea căreia îi aparține valoarea maximă a ponderii statistice $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ . Dacă în aceste condiții are loc o variație infinitesimală $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ a distribuției, amintind că:

W={\frac {N!}{\prod _{i}N_{i}!}}

{\ displaystyle W = {\ frac {N!} {\ prod _ {i} N_ {i}!}}}

W = \ frac {N!} {\ Prod_ {i} N_i!}

,

adică în formă logaritmică

\ln W=\ln N!-{\begin{matrix}\sum _{i}\end{matrix}}\ln N_{i}!

{\ displaystyle \ ln W = \ ln N! - {\ begin {matrix} \ sum _ {i} \ end {matrix}} \ ln N_ {i}!}

\ ln W = \ ln N! - \ begin {matrix} \ sum_ {i} \ end {matrix} \ ln N_i!

și restricția că nici numărul total de particule și nici energia totală a sistemului nu se schimbă, ajungem la:

\delta (\ln W)={\begin{matrix}\sum _{i}\end{matrix}}\delta (\ln N_{i}!)=0

{\ displaystyle \ delta (\ ln W) = {\ begin {matrix} \ sum _ {i} \ end {matrix}} \ delta (\ ln N_ {i}!) = 0}

\ delta (\ ln W) = \ begin {matrix} \ sum_ {i} \ end {matrix} \ delta (\ ln N_i!) = 0

.

Deoarece avem de-a face cu valori mari (de exemplu, o cantitate de particule egală cu valoarea numerică a constantei Avogadro ), se poate aplica aproximarea Stirling :

\ln x!=x\ln x-x

{\ displaystyle \ ln x! = x \ ln xx}

\ ln x! = x \ ln x - x

,

obținând astfel:

{\begin{matrix}\sum _{i}\end{matrix}}\delta (\ln N_{i}!)={\begin{matrix}\sum _{i}\end{matrix}}\delta (N_{i}\ln N_{i}-N_{i})={\begin{matrix}\sum _{i}\end{matrix}}(\ln N_{i})\delta N_{i}=0

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum _ {i} \ end {matrix}} \ delta (\ ln N_ {i}!) = {\ begin {matrix} \ sum _ {i} \ end {matrix} } \ delta (N_ {i} \ ln N_ {i} -N_ {i}) = {\ begin {matrix} \ sum _ {i} \ end {matrix}} (\ ln N_ {i}) \ delta N_ {i} = 0}

\ begin {matrix} \ sum_ {i} \ end {matrix} \ delta (\ ln N_i!) = \ begin {matrix} \ sum_ {i} \ end {matrix} \ delta (N_i \ ln N_i - N_i) = \ begin {matrix} \ sum_ {i} \ end {matrix} (\ ln N_i) \ delta N_i = 0

.

Ținând cont în același timp de ecuațiile care constrâng fluctuațiile de distribuție, adică

{\begin{cases}{\begin{matrix}\sum _{i}\end{matrix}}\delta N_{i}=0\\{\begin{matrix}\sum _{i}\end{matrix}}\varepsilon _{i}\delta N_{i}=0\\\delta (\ln W)={\begin{matrix}\sum _{i}\end{matrix}}\delta (\ln N_{i}!)=0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {matrix} \ sum _ {i} \ end {matrix}} \ delta N_ {i} = 0 \\ {\ begin {matrix} \ sum _ {i} \ end {matrix}} \ varepsilon _ {i} \ delta N_ {i} = 0 \\\ delta (\ ln W) = {\ begin {matrix} \ sum _ {i} \ end {matrix}} \ delta ( \ ln N_ {i}!) = 0 \ end {cases}}}

\ begin {cases} \ begin {matrix} \ sum_ {i} \ end {matrix} \ delta N_i = 0 \\ \ begin {matrix} \ sum_ {i} \ end {matrix} \ varepsilon_i \ delta N_i = 0 \ \ \ delta (\ ln W) = \ begin {matrix} \ sum_ {i} \ end {matrix} \ delta (\ ln N_i!) = 0 \ end {cases}

este posibil să abordăm problema folosind metoda multiplicatorului Lagrange prin introducerea coeficienților $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ . Prin atribuirea acestor doi coeficienți o valoare astfel încât, de exemplu, termenii $\delta N_{1}$ ${\ displaystyle \ delta N_ {1}}$ $\ delta N_1$ Și $\delta N_{2}$ ${\ displaystyle \ delta N_ {2}}$ $\ delta N_2$ ecuaţie

{\begin{matrix}\sum _{i}\end{matrix}}(\alpha +\beta \varepsilon _{i}+\ln N_{i})\delta N_{i}=0

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum _ {i} \ end {matrix}} (\ alpha + \ beta \ varepsilon _ {i} + \ ln N_ {i}) \ delta N_ {i} = 0}

\ begin {matrix} \ sum_ {i} \ end {matrix} (\ alpha + \ beta \ varepsilon_i + \ ln N_i) \ delta N_i = 0

sunt nule, atunci impunem pur și simplu că suma termenilor din $\delta N_{i}$ ${\ displaystyle \ delta N_ {i}}$ $\ delta N_i$ cu $i>2$ ${\ displaystyle i> 2}$ ${\ displaystyle i> 2}$ este egal cu zero. Care este deci echivalent cu starea generală:

\alpha +\beta \varepsilon _{i}+\ln N_{i}=0\

{\ displaystyle \ alpha + \ beta \ varepsilon _ {i} + \ ln N_ {i} = 0 \}

\ alpha + \ beta \ varepsilon_i + \ ln N_i = 0 \

,

care poate fi exprimat și sub forma exponențială

N_{i}=e^{-\alpha }e^{-\beta \varepsilon _{i}}

{\ displaystyle N_ {i} = e ^ {- \ alpha} e ^ {- \ beta \ varepsilon _ {i}}}

N_i = e ^ {- \ alpha} e ^ {- \ beta \ varepsilon_i}

cu $e^{-\alpha }$ ${\ displaystyle e ^ {- \ alpha}}$ $e ^ {- \ alpha}$ constant.

Identificarea $e^{-\beta \varepsilon _{i}}$ ${\ displaystyle e ^ {- \ beta \ varepsilon _ {i}}}$ $e ^ {- \ beta \ varepsilon_i}$ cu modelul fizic al coloanei de gaz supuse gravitației, permite derivarea relației $\beta ={\frac {1}{T}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {T}}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {T}}}$ , unde temperatura este măsurată în unități de energie (în sistemul internațional , în jouli ) sau, echivalent, $\beta ={\frac {1}{T}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {T}}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {T}}}$ , unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura absolută , măsurată în unități de energie (de exemplu, în jouli ).

Caz unidimensional

Adesea, în cazuri practice, este mai bine să exprimăm densitatea particulelor în funcție de viteza particulelor. În acest paragraf temperatura absolută $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ se măsoară în unități de energie, astfel încât să nu apară constanta Boltzmann . Prin urmare, definim $h(v_{z})$ ${\ displaystyle h (v_ {z})}$ $h (v_z)$ distribuția unidimensională a vitezei în direcție $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ : acesta este, $h(v_{z})\mathrm {d} v_{z}$ ${\ displaystyle h (v_ {z}) \ mathrm {d} v_ {z}}$ $h (v_z) \ mathrm {d} v_z$ este probabilitatea ca componenta vitezei de -a lungul $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este între $v_{z}$ ${\ displaystyle v_ {z}}$ $v_z$ Și $v_{z}+\mathrm {d} v_{z}$ ${\ displaystyle v_ {z} + \ mathrm {d} v_ {z}}$ $v_z + \ mathrm {d} v_z$ . Din legea conservării energiei, avem o particulă cu viteză $v_{z}$ ${\ displaystyle v_ {z}}$ $v_z$ poate ajunge până la o înălțime:

\,v_{z}^{2}=2gz

{\ displaystyle \, v_ {z} ^ {2} = 2gz}

\, v_z ^ 2 = 2 gz

.

din care se obține diferențierea $v_{z}\mathrm {d} v_{z}=g\mathrm {d} z$ ${\ displaystyle v_ {z} \ mathrm {d} v_ {z} = g \ mathrm {d} z}$ $v_z \ mathrm {d} v_z = g \ mathrm {d} z$ . Acestea sunt chiar moleculele care ating nivelul $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , dar nu și nivelul $z+\mathrm {d} z$ ${\ displaystyle z + \ mathrm {d} z}$ $z + \ mathrm {d} z$ deoarece nu au suficientă energie cinetică pentru ao face. Diferențierea legii exponențiale pentru densitate obținem:

\,\mathrm {d} n=-{\frac {n_{0}mg}{T}}\;e^{-mgz/T}\,\mathrm {d} z

{\ displaystyle \, \ mathrm {d} n = - {\ frac {n_ {0} mg} {T}} \; e ^ {- mgz / T} \, \ mathrm {d} z}

{\ displaystyle \, \ mathrm {d} n = - {\ frac {n_ {0} mg} {T}} \; e ^ {- mgz / T} \, \ mathrm {d} z}

,

și, folosind relația care leagă înălțimea atinsă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ a accelera $v_{z}$ ${\ displaystyle v_ {z}}$ $v_z$ , noi obținem:

\mathrm {d} n=-{\frac {n_{0}mg}{T}}\;e^{-mv_{z}^{2}/2T}\;{\frac {v_{z}\mathrm {d} v_{z}}{g}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} n = - {\ frac {n_ {0} mg} {T}} \; e ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T} \; {\ frac {v_ { z} \ mathrm {d} v_ {z}} {g}}}

{\ displaystyle \ mathrm {d} n = - {\ frac {n_ {0} mg} {T}} \; e ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T} \; {\ frac {v_ { z} \ mathrm {d} v_ {z}} {g}}}

.

Ca prin definiție $|\mathrm {d} n|=h(v_{z})\mathrm {d} v_{z}$ ${\ displaystyle | \ mathrm {d} n | = h (v_ {z}) \ mathrm {d} v_ {z}}$ $| \ mathrm {d} n | = h (v_z) \ mathrm {d} v_z$ , obținem asta

\,h(v_{z})={\frac {n_{0}m}{T}}\;e^{-mv_{z}^{2}/2T}\;|v_{z}|

{\ displaystyle \, h (v_ {z}) = {\ frac {n_ {0} m} ​​{T}} \; e ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T} \; | v_ {z} |}

{\ displaystyle \, h (v_ {z}) = {\ frac {n_ {0} m} ​​{T}} \; e ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T} \; | v_ {z} |}

.

Prin definirea mediei modulului de viteză ca $\langle |v_{z}|\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }|v_{z}|h(v_{z})\mathrm {d} v_{z}$ ${\ displaystyle \ langle | v_ {z} | \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | v_ {z} | h (v_ {z}) \ mathrm {d} v_ {z}}$ $\ langle | v_z | \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | v_z | h (v_z) \ mathrm {d} v_z$ , obținem că:

\,h(v_{z})={\frac {m\langle |v_{z}|\rangle }{T}}\;e^{-mv_{z}^{2}/2T}=Ce^{-mv_{z}^{2}/2T}

{\ displaystyle \, h (v_ {z}) = {\ frac {m \ langle | v_ {z} | \ rangle} {T}} \; e ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T} = Ce ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T}}

{\ displaystyle \, h (v_ {z}) = {\ frac {m \ langle | v_ {z} | \ rangle} {T}} \; e ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T} = Ce ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T}}

,

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o constantă de normalizare adecvată. În practică, distribuția vitezei într-o direcție este un Gaussian de amplitudine $T/m$ ${\ displaystyle T / m}$ ${\ displaystyle T / m}$ : aceasta înseamnă că mișcarea particulelor este lungă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este complet haotic (ipoteza haosului molecular ) și distanța medie pătrată pe care o particulă o parcurge în direcție $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este proporțională cu temperatura sistemului.

Pentru a obține valoarea constantei, distribuția trebuie normalizată la unitate, adică expresia pentru este integrată $h(v_{z})$ ${\ displaystyle h (v_ {z})}$ $h (v_z)$ pe un domeniu infinit (vom reveni la acest aspect mai târziu):

\,\int _{-\infty }^{+\infty }Ce^{-mv_{z}^{2}/2T}\,\mathrm {d} v_{z}=1

{\ displaystyle \, \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} Ce ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T} \, \ mathrm {d} v_ {z} = 1}

{\ displaystyle \, \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} Ce ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T} \, \ mathrm {d} v_ {z} = 1}

.

Pentru a găsi integralul folosim proprietățile integralelor funcției Gamma , cu schimbarea variabilelor $\zeta ={\sqrt {\frac {m}{2T}}}\,v_{z}$ ${\ displaystyle \ zeta = {\ sqrt {\ frac {m} {2T}}} \, v_ {z}}$ ${\ displaystyle \ zeta = {\ sqrt {\ frac {m} {2T}}} \, v_ {z}}$ , pentru a obține în cele din urmă distribuția normalizată corect pe întreaga axă reală:

h(v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi T}}\right)^{1/2}\;e^{-mv_{z}^{2}/2T}

{\ displaystyle h (v_ {z}) = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi T}} \ right) ^ {1/2} \; e ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T}}

{\ displaystyle h (v_ {z}) = \ left ({\ frac {m} {2 \ pi T}} \ right) ^ {1/2} \; e ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T}}

.

Momente ale distribuției unidimensionale

Una dintre pietrele de temelie ale gândirii lui Boltzmann este că mărimile măsurabile în lumea macroscopică (adică cantități termodinamice precum temperatura și presiunea ) pot fi obținute cu operații de mediere pe mărimi microscopice, folosind funcția de distribuție: așa cum se spune în statistici , folosind metoda momentelor .

Este interesant în acest moment să ne întrebăm care sunt momentele distribuției unidimensionale, adică cantitățile:

\langle v_{z}^{n}\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {m}{2\pi T}}\right)^{1/2}\;v_{z}^{n}\,e^{-mv_{z}^{2}/2T}\,\mathrm {d} v_{z}

{\ displaystyle \ langle v_ {z} ^ {n} \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {m} {2 \ pi T}} \ right) ^ {1/2} \; v_ {z} ^ {n} \, e ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T} \, \ mathrm {d} v_ {z}}

{\ displaystyle \ langle v_ {z} ^ {n} \ rangle = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left ({\ frac {m} {2 \ pi T}} \ right) ^ {1/2} \; v_ {z} ^ {n} \, e ^ {- mv_ {z} ^ {2} / 2T} \, \ mathrm {d} v_ {z}}

.

cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ arbitrar, unde observăm din nou că integralul este realizat pe un domeniu infinit .
Din considerații simple de paritate a funcției integrand, obținem că $\langle v_{z}^{n}\rangle =0$ ${\ displaystyle \ langle v_ {z} ^ {n} \ rangle = 0}$ $\ langle v_z ^ {n} \ rangle = 0$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ număr întreg ciudat: pentru orice eventualitate $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , aceasta înseamnă pur și simplu că viteza medie în direcție $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este nulă (consecință a ipotezei haosului molecular).

Dacă în schimb $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr întreg, integralul este rezolvat folosind una dintre integralele care definesc funcția Gamma :

\,\int _{-\infty }^{+\infty }\zeta ^{n}e^{-\zeta ^{2}}\,\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2}}\;\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)

{\ displaystyle \, \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ zeta ^ {n} e ^ {- \ zeta ^ {2}} \, \ mathrm {d} \ zeta = {\ frac { 1} {2}} \; \ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)}

\, \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ zeta ^ n e ^ {- \ zeta ^ 2} \, \ mathrm {d} \ zeta = \ frac {1} {2} \; \ Gamma \ left (\ frac {n + 1} {2} \ right)

.

Folosind schimbarea obișnuită a variabilelor pe care le obținem $n=2,4,6\ldots$ ${\ displaystyle n = 2,4,6 \ ldots}$ $n = 2,4,6 \ ldots$ că momentele $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea sunt

\langle v_{z}^{n}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,\left({\frac {2T}{m}}\right)^{n/2}\;\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)

{\ displaystyle \ langle v_ {z} ^ {n} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \, \ left ({\ frac {2T} {m}} \ right) ^ {n / 2} \; \ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)}

{\ displaystyle \ langle v_ {z} ^ {n} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} \, \ left ({\ frac {2T} {m}} \ right) ^ {n / 2} \; \ Gamma \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)}

.

Rezultatul este următorul: deși distribuția este definită pe un domeniu infinit, toate momentele de viteză sunt finite. Aceasta înseamnă în special că deplasarea pătrată medie a unei particule este diferită de zero chiar și la distanțe infinite (ceea ce implică un conflict cu dinamica sistemului): în realitate, toate distribuțiile reale sunt trunchiate: vom reveni la acest punct mai târziu.

Distribuții de viteză pentru un oxigen gazos la temperaturi de -100, 20 și 600 ° C.

În special, al doilea moment (viteza pătrată medie în direcția $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ) este dată de expresia generală din cauză $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ :

\,\langle v_{z}^{2}\rangle ={\frac {T}{m}}

{\ displaystyle \, \ langle v_ {z} ^ {2} \ rangle = {\ frac {T} {m}}}

{\ displaystyle \, \ langle v_ {z} ^ {2} \ rangle = {\ frac {T} {m}}}

,

acesta este:

\,T=m\langle v_{z}^{2}\rangle

{\ displaystyle \, T = m \ langle v_ {z} ^ {2} \ rangle}

{\ displaystyle \, T = m \ langle v_ {z} ^ {2} \ rangle}

,

sau, în termeni de energie cinetică medie:

\,{\frac {1}{2}}m\langle v_{z}^{2}\rangle ={\frac {1}{2}}\,T

{\ displaystyle \, {\ frac {1} {2}} m \ langle v_ {z} ^ {2} \ rangle = {\ frac {1} {2}} \, T}

{\ displaystyle \, {\ frac {1} {2}} m \ langle v_ {z} ^ {2} \ rangle = {\ frac {1} {2}} \, T}

.

Aceasta din urmă este celebra lege a identității temperaturii cu energia cinetică medie a sistemului.

Deducerea distribuției complete

Deducerea distribuției tridimensionale complete este relativ simplă, dacă se presupune că sistemul este izotrop , adică mișcarea particulelor nu are direcții preferențiale. În aceste ipoteze, distribuția completă este produsul distribuțiilor unidimensionale pe axele unice $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ :

f(v_{x},v_{y},v_{z})=h(v_{x})h(v_{y})h(v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi T}}\right)^{3/2}e^{-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})/2T}

{\ displaystyle f (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = h (v_ {x}) h (v_ {y}) h (v_ {z}) = \ left ({\ frac { m} {2 \ pi T}} \ right) ^ {3/2} e ^ {- m (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2} ) / 2T}}

{\ displaystyle f (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}) = h (v_ {x}) h (v_ {y}) h (v_ {z}) = \ left ({\ frac { m} {2 \ pi T}} \ right) ^ {3/2} e ^ {- m (v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2} ) / 2T}}

Expresia poate fi simplificată folosind modulul de viteză $v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}$ ${\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}$ $v = \ sqrt {v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2}$ , și folosind elementul volum în coordonate sferice $\mathrm {d} \Omega =v^{2}\mathrm {d} v\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega = v ^ {2} \ mathrm {d} v \, \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi}$ $\ mathrm {d} \ Omega = v ^ 2 \ mathrm {d} v \, \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi$ , și integrarea pe coordonatele unghiulare:

f(v)=4\pi \left({\frac {m}{2\pi T}}\right)^{3/2}v^{2}e^{-mv^{2}/2T}\,

{\ displaystyle f (v) = 4 \ pi \ left ({\ frac {m} {2 \ pi T}} \ right) ^ {3/2} v ^ {2} e ^ {- mv ^ {2} / 2T} \,}

{\ displaystyle f (v) = 4 \ pi \ left ({\ frac {m} {2 \ pi T}} \ right) ^ {3/2} v ^ {2} e ^ {- mv ^ {2} / 2T} \,}

.

Ultima expresie este expresia clasică a distribuției. Vedem imediat asta în $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ dimensiunile nu mai este un gaussian : pe măsură ce temperatura crește, distribuția se lărgește, dar în același timp maximul se deplasează spre valori de viteză mai mari.

În ceea ce privește al doilea moment, viteza pătrată medie se obține folosind independența mișcărilor din cele trei axe $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ :

\langle v^{2}\rangle =\langle v_{x}^{2}\rangle +\langle v_{y}^{2}\rangle +\langle v_{z}^{2}\rangle ={\frac {3RT}{m}}\,

{\ displaystyle \ langle v ^ {2} \ rangle = \ langle v_ {x} ^ {2} \ rangle + \ langle v_ {y} ^ {2} \ rangle + \ langle v_ {z} ^ {2} \ rangle = {\ frac {3RT} {m}} \,}

{\ displaystyle \ langle v ^ {2} \ rangle = \ langle v_ {x} ^ {2} \ rangle + \ langle v_ {y} ^ {2} \ rangle + \ langle v_ {z} ^ {2} \ rangle = {\ frac {3RT} {m}} \,}

, ^[2]

sau, în termeni de energie cinetică medie (totală) a sistemului:

{\frac {1}{2}}m\langle v^{2}\rangle ={\frac {3}{2}}T\,

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m \ langle v ^ {2} \ rangle = {\ frac {3} {2}} T \,}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m \ langle v ^ {2} \ rangle = {\ frac {3} {2}} T \,}

,

adică de trei ori energia cinetică medie pentru fiecare direcție de mișcare. Acest rezultat este în acord cu teorema echipației de energie .

Generalizând ceea ce s-a găsit pentru distribuția unidimensională, se poate deduce că momentele succesive ale distribuției complete (tridimensionale) sunt date de:

\langle v^{n}\rangle ={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\;\left({\frac {2T}{m}}\right)^{n/2}\;\Gamma \left({\frac {n+3}{2}}\right)\,

{\ displaystyle \ langle v ^ {n} \ rangle = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \; \ left ({\ frac {2T} {m}} \ right) ^ {n / 2} \; \ Gamma \ left ({\ frac {n + 3} {2}} \ right) \,}

{\ displaystyle \ langle v ^ {n} \ rangle = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \; \ left ({\ frac {2T} {m}} \ right) ^ {n / 2} \; \ Gamma \ left ({\ frac {n + 3} {2}} \ right) \,}

Aceasta înseamnă că, de exemplu, pentru momente uniforme avem:

\langle v^{2}\rangle ={\frac {3T}{m}}

{\ displaystyle \ langle v ^ {2} \ rangle = {\ frac {3T} {m}}}

{\ displaystyle \ langle v ^ {2} \ rangle = {\ frac {3T} {m}}}

,

\langle v^{4}\rangle =15\left({\frac {T}{m}}\right)^{2}

{\ displaystyle \ langle v ^ {4} \ rangle = 15 \ left ({\ frac {T} {m}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle \ langle v ^ {4} \ rangle = 15 \ left ({\ frac {T} {m}} \ right) ^ {2}}

,

\langle v^{6}\rangle =105\left({\frac {T}{m}}\right)^{3}

{\ displaystyle \ langle v ^ {6} \ rangle = 105 \ left ({\ frac {T} {m}} \ right) ^ {3}}

{\ displaystyle \ langle v ^ {6} \ rangle = 105 \ left ({\ frac {T} {m}} \ right) ^ {3}}

si asa mai departe.

Sisteme reale

Deducerea distribuției Maxwell-Boltzmann este una dintre cele mai elegante și ingenioase demonstrații ale fizicii : este de fapt singura distribuție analitică care permite (într-un sistem clasic), într-un mod relativ simplu, conectarea mărimilor termodinamice și a dinamicii microscopice . Din acest motiv, este utilizat pe scară largă în toate domeniile fizicii aplicate, până la punctul de a ne face deseori să uităm care sunt ipotezele care stau la baza dovezii. Ignorarea acestor ipoteze duce deseori la întâlnirea abaterilor de la datele experimentale, atribuibile faptului că sistemele reale sunt adesea mult mai complexe.

Principalele ipoteze utilizate sunt următoarele:

Ipoteza stochastică

Ipoteza că sistemul respectă ipoteza haosului molecular . Aceasta implică faptul că distribuția vitezei în orice direcție este gaussiană : adică particulele nu au o direcție de mișcare preferențială. Deși acest lucru este adevărat în cazul unui gaz ideal , nu este întotdeauna adevărat pentru toate sistemele. De fapt, în mecanică , numai sistemele relativ simple, cum ar fi sistemul cu două corpuri , pot fi rezolvate analitic prin ecuația lui Newton . Există, de asemenea, unele sisteme haotice care pot fi tratate analitic în teoria haosului , cum ar fi biliardul Sinai și atractivul lui Lorenz : uneori vorbim despre haos determinist pentru ei. Cu toate acestea, caracteristica acestor sisteme este că sunt caracterizate de câteva grade de libertate.

Pentru sistemele reale, care se caracterizează în general printr-un număr mare de grade de libertate , este dificil de găsit o punte simplă care să lege dinamica microscopică de comportamentele macroscopice ale termodinamicii : simplificarea adoptată de Boltzmann este tocmai aceea de a aduce numărul de grade de libertate la infinit și să presupunem că mișcarea particulelor este stocastică . Acest lucru este, în general, destul de bine verificat: de exemplu, numărul de particule conținute într- un metru cub de aer este $10^{25}$ ${\ displaystyle 10 ^ {25}}$ $10 ^ {25}$ , ceea ce justifică această presupunere.

Cu toate acestea, pentru unele sisteme, ipoteza stocastică nu funcționează bine: atunci când numărul de grade de libertate este mare, dar nu infinit, comportamentul sistemului poate fi intermediar între cel al unui sistem previzibil (cum ar fi sistemele teoriei haosului ) și haos molecular. Adică, pot exista zone de haos slab imersate într-un mediu stochastic . Un exemplu tipic este cel al plasmelor imersate în câmpuri magnetice haotice apropiate de pragul de ergodicitate . În aceste cazuri, sunt necesare distribuții diferite (de exemplu, distribuția Lévy ), care, totuși, nu sunt adesea analitice și complică considerabil calculele.

Ipoteza izotropiei

Dacă există direcții preferențiale de mișcare, distribuția globală nu mai depinde doar de modulul de viteză, ci și de poziția ^[3] .

Ipoteza unui sistem infinit

După cum s-a văzut mai sus, distribuția Maxwell-Boltzmann este definită pe întreaga axă reală. În realitate, niciun sistem nu este infinit, ci are o dimensiune finită: totuși, pentru ca deducția să aibă sens, spațiul trebuie $\Delta x$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ că o particulă poate călători într-un timp $\Delta t$ ${\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ este suficient de mic în comparație cu dimensiunea generală a sistemului $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Adică, în formule, limita trebuie să se aplice:

\lim _{L\rightarrow \infty }{\frac {\Delta x}{L}}=0

{\ displaystyle \ lim _ {L \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ Delta x} {L}} = 0}

\ lim_ {L \ rightarrow \ infty} \ frac {\ Delta x} {L} = 0

.

În cazul Maxwell-Boltzmann avem acest lucru

\Delta x={\sqrt {\langle v_{x}^{2}\rangle }}\,\Delta t={\sqrt {\frac {T}{m}}}\Delta t

{\ displaystyle \ Delta x = {\ sqrt {\ langle v_ {x} ^ {2} \ rangle}} \, \ Delta t = {\ sqrt {\ frac {T} {m}}} \ Delta t}

{\ displaystyle \ Delta x = {\ sqrt {\ langle v_ {x} ^ {2} \ rangle}} \, \ Delta t = {\ sqrt {\ frac {T} {m}}} \ Delta t}

.

prin urmare, limita merge la zero pentru temperaturi rezonabile: aceasta înseamnă că dimensiunea saltului elementar pe care o poate face o particulă trebuie să fie încă mică în comparație cu sistemul. Dacă nu este cazul, există abateri majore în distribuție, denumite în general sub-difuzare sau super- difuzare ^[4] .

Ipoteza unui sistem markovian

O ipoteză de bază în tratamentul termodinamic este că proprietățile coliziunilor dintre particule nu depind de istoricul anterior al particulelor (adică de modul în care a fost atinsă coliziunea), ci doar de condițiile instantanee din momentul coliziunii. Această ipoteză poate cădea, de exemplu, dacă distanța medie dintre două coliziuni este de ordinul lungimii de undă a particulei De Broglie : în acest caz, aceasta din urmă trebuie tratată ca o undă conform regulilor mecanicii cuantice . Prin urmare, nu mai este posibil să neglijăm fenomenele de interferență dintre diferitele evenimente de împrăștiere și ipoteza unui proces Markov cade. Pot exista, de asemenea, situații, cum ar fi cea a localizării lui Anderson , în care procesele de difuzie necesare termalizării sistemului sunt interzise și, prin urmare, statistica Boltzmann încetează să se aplice.

Aplicații

Biofizică

În neuroștiințe , mecanismele de deschidere și închidere a canalelor ionice sunt adesea descrise printr-o funcție Boltzmann simplificată atunci când acestea sunt dependente de potențialul membranei . Prin urmare, formula utilizată este:

{\frac {G(V)}{G_{max}}}={\frac {1}{1+e^{\frac {V-V_{1/2}}{k}}}}

{\ displaystyle {\ frac {G (V)} {G_ {max}}} = {\ frac {1} {1 + e ^ {\ frac {V-V_ {1/2}} {k}}}} }

\ frac {G (V)} {G_ {max}} = \ frac {1} {1 + e ^ {\ frac {V-V_ {1/2}} {k}}}

,

unde este

$V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este potențialul membranei ,
$G(V)$ ${\ displaystyle G (V)}$ ${\ displaystyle G (V)}$ este conductivitatea electrică ionică asociată canalelor, dependentă de potențialul membranelor,
$G_{max}$ ${\ displaystyle G_ {max}}$ ${\ displaystyle G_ {max}}$ este conductivitatea maximă,
Jumătate din potențialul de activare $(V_{1/2})$ ${\ displaystyle (V_ {1/2})}$ ${\ displaystyle (V_ {1/2})}$ este potențialul de membrană pentru care jumătate din canale sunt deschise,
$k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este dependența de deschiderea canalelor în raport cu schimbarea potențialului.

Distribuția Boltzmann este utilizată aici pentru a descrie rezultatele experimentale obținute din măsurarea patch-clamp a curenților de membrană și, astfel, pentru a determina proprietățile diferitelor categorii de curenți transmembranari. Parametrii $V_{1/2}$ ${\ displaystyle V_ {1/2}}$ ${\ displaystyle V_ {1/2}}$ Și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ sono determinanti per la modellizzazione informatica delle proprietà elettriche di una cellula nervosa .

Note

^ ( EN ) Questa deduzione si può trovare in John D. McGervey, Introduction to Modern Physics , seconda edizione, Academic Press, San Diego, CA, 1983, pp. 6-9. ISBN 0-12-483560-0 .
^ Meccanica e termodinamica, Mencuccini-Silvestrini .
^ ( EN ) Una trattazione completa nel libro di Radu Balescu, Statistical Dynamics: Matter Out of Equilibrium , World Scientific Publishing Company (giugno 1997). ISBN 1-86094-046-3 .
^ ( EN ) I problemi relativi alla definizione di una distribuzione che leghi la termodinamica alla dinamica di un sistema realistico di dimensioni finite è un argomento di frontiera: un articolo di rassegna degli ultimi risultati nel campo è GM Zaslavsky, Chaos, fractional kinetics and anomalous transport , Physics Reports 371 (2002), pp. 461-580.

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Distribuzione di Maxwell-Boltzmann , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 27341

Portale Fisica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica

[1] ( EN ) Questa deduzione si può trovare in John D. McGervey, Introduction to Modern Physics , seconda edizione, Academic Press, San Diego, CA, 1983, pp. 6-9. ISBN 0-12-483560-0 .

[2] Meccanica e termodinamica, Mencuccini-Silvestrini .

[3] ( EN ) Una trattazione completa nel libro di Radu Balescu, Statistical Dynamics: Matter Out of Equilibrium , World Scientific Publishing Company (giugno 1997). ISBN 1-86094-046-3 .

[4] ( EN ) I problemi relativi alla definizione di una distribuzione che leghi la termodinamica alla dinamica di un sistema realistico di dimensioni finite è un argomento di frontiera: un articolo di rassegna degli ultimi risultati nel campo è GM Zaslavsky, Chaos, fractional kinetics and anomalous transport , Physics Reports 371 (2002), pp. 461-580.

[1]

[2]

[3]

[4]