Distribuția Pascal

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Distribuția Pascal sau binom negativ
Funcție de distribuție discretă
Distribuția probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii

sau
A sustine
Funcția de densitate
Funcția de distribuție
Funcția beta incompletă este regularizată
Valorea estimata
Varianța
Indicele de asimetrie
Curios
Funcție generatoare de momente
Funcția caracteristică

În teoria probabilității , distribuția Pascal este o distribuție discretă de probabilitate cu doi parametri, și , care descrie numărul eșecurilor premergătoare celui de - al n - lea succes într-un proces Bernoulli al parametrului p .

Uneori, distribuția Pascal este considerată a fi distribuția care descrie numărul de încercări necesare pentru a obține n succese. Această distribuție este echivalentă cu cea anterioară, dar redefinită, adică descrie o variabilă aleatorie Decat .

De exemplu, dacă răsuciți o monedă până când obțineți 3 capete , distribuția lui Pascal descrie probabilitățile numărului de cozi văzute între timp.

Distribuția poartă numele matematicianului francez Blaise Pascal .

Această distribuție de probabilitate poate fi generalizată prin înlocuirea numărului natural n cu un număr real pozitiv r . În acest caz se mai numește distribuția binomială negativă (datorită formulei sale particulare) sau Polya (de la matematicianul maghiar George Polya ).

Definiție

Având în vedere un proces Bernoulli , aceasta este o serie de variabile aleatoare independente de distribuție egală Bernoulli , distribuția Pascal descrie variabila aleatorie care numără numărul eșecurilor care preced numărul succesului (adică numărul de teste necesare pentru obținerea acestuia, minus n ):

,
.

Probabilitatea eșecului unui singur proces este . Probabilitatea ca exact eșecurile k să apară înainte de a atinge un total de n succese este dată de probabilitatea de a obține un succes în numărul testului k + n ( ) și pentru a obține exact k eșecuri și n-1 succese în testele anterioare, adică

,

unde coeficientul binomial contează numărul de combinații posibile de reușite și eșecuri . Această probabilitate poate fi scrisă și sub forma binomului negativ

,

unde se are în vedere generalizarea coeficientului binomial

.

Definiții alternative

Prin înlocuirea numărului natural n cu numărul real pozitiv r, formula păstrează o semnificație, chiar dacă coeficientul binomial poate fi exprimat prin funcția Gamma , care extinde conceptul de factorial ( ):

.

Unele texte definesc distribuția lui Pascal ca descriind numărul de încercări până la cel de - al n - lea succes, iar altele greșesc termenii succes și eșec în definiție. Pentru a conecta aceste definiții, este suficient să se ia în considerare variabila aleatorie respectiv in loc de în primul caz și schimbați valorile lui p și q în celălalt.

Distribuția geometrică

O variabilă aleatorie cu distribuție Pascal este egal cu suma a n variabile aleatoare independente cu distribuție geometrică egală , deoarece, spre deosebire de distribuția geometrică care reprezintă numărul total de încercări necesare pentru a obține succesul, o variabilă binomială negativă descrie eșecurile, deci numărul de încercări - 1, adică succesul. Acest lucru poate fi văzut luând în considerare cum variabila aleatorie care numără numărul de eșecuri între numărul de succes și numărul succesului : le ele sunt apoi independente și au o distribuție geometrică a parametrului p scăzută cu una deoarece distribuția geometrică contează numărul de încercări pentru a obține un succes care corespunde numărului de eșecuri și dovezii finale de succes. În special, distribuția Pascal coincide cu distribuția geometrică , iar suma m variabile aleatoare independente cu distribuții Pascal având același parametru p urmează în continuare distribuția Pascal cu parametrul p (este întotdeauna suma variabilelor aleatoare independente cu aceeași distribuție geometrică).

Caracteristici

Unele caracteristici ale unei variabile aleatorii T n după distribuția Pascal poate fi derivat din caracteristicile unei variabile aleatorii T cu distribuție geometrică :

,

,
,
.

Funcția de distribuție poate fi definită prin funcția Beta incompletă regularizată :

Toate formulele dețin încă înlocuirea numărului natural n cu numărul pozitiv real r .

Alte distribuții

Distribuția Pascal este un amestec dintre distribuția Gamma și distribuția Poisson : o variabilă aleatorie cu distribuția Poisson , al cărui parametru L urmează o distribuție Gamma, urmează distribuția Pascal.

Distribuția Pascal de speranță , pentru converge la distribuția Poisson .

Distribuția Pascal se găsește și ca un amestec al distribuției Poisson și distribuției logaritmice , adică descrie suma a unui număr , care urmează distribuția Poisson, a variabilelor aleatoare independente care urmează aceeași distribuție logaritmică.

Luând în considerare variabilele aleatorii distribuție binomială și variabilele aleatorii distribuția lui Pascal găsești formula

,

care exprimă pentru un proces Bernoulli echivalența evenimentelor „pentru a obține mai puțin de k eșecuri înainte de al n - lea succes” și „pentru a obține cel puțin n succese în primele n + k încercări”.

Distribuția Panjer , care definește valorile prin recursivitate , generalizează distribuția Pascal:

Statistici

Distribuția Pascal este uneori folosită ca alternativă la distribuția Poisson , la care converge în drept în condițiile respective , în cazurile în care modelul empiric prezintă o varianță mai mare decât valoarea medie: distribuția Poisson are întotdeauna speranță egală cu valoarea medie, în timp ce distribuția Pascal este mai dispersată (are o varianță mai mare).

Așa cum se întâmplă adesea în inferența bayesiană , dacă parametrul p al unei distribuții Pascal urmează distribuția Beta a priori , atunci o urmează și a posteriori .

Elemente conexe

Alte proiecte

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică