Distribuția Wishart

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În teoria probabilității , distribuția Wishart , numită în onoarea lui John Wishart , este o distribuție continuă a probabilității care generalizează distribuția chi-pătrat . Este definit pe spațiul matricilor simetrice definite negativ . Aceste distribuții sunt de mare importanță pentru estimarea matricelor de covarianță în contextul statisticilor multivariate .

Definiția distribuției Wishart

Variabila aleatorie Wishart este definită după cum urmează. Fie X o matrice n × p , fiecare dintre ale cărui rânduri sunt distribuite ca o variabilă aleatorie normală multivariată ,

Apoi , distribuția Wishart este distribuția de probabilitate p × p matrice aleatoare

unde X T indică transpunerea lui X și este indicat cu

Numărul întreg n corespunde numărului de grade de libertate . Dacă p = 1 și V = 1 atunci aceasta este o variabilă aleatorie chi-pătrat .

Funcția de densitate

Distribuția Wishart poate fi caracterizată prin funcția sa de densitate a probabilității după cum urmează.

Este o matrice simetrică a variabilelor aleatorii definite pozitive. De asemenea, să fie o matrice pozitivă non-stocastic (adică cu valori fixe).

Astfel, dacă , este o distribuție Wishart cu grade de libertate dacă are funcția de densitate a probabilității dat de

Unde este funcția gamma multivariată definită ca

.

Proprietate

Teorema

De sine este distribuit ca un Vc de Wishart cu grade de libertate și matrice de varianță , acesta este , Și este o matrice de rang , asa de

Primul corolar

De sine este un vector constant diferit de zero , asa de

(Aici este variabila aleatorie chi pătrat e ; Rețineți că este constant și pozitiv, în asta este definit pozitiv).

Al doilea corolar

Luați în considerare cazul în care (vector cu componenta j-a egală cu 1 și cu toate celelalte zerouri). Apoi, din primul corolar rezultă că

Un bine cunoscut statistic ( George Seber ) subliniază că distribuția Wishart nu este numită „chi-pătrat multivariat”, deoarece distribuția marginală a elementelor non-diagonale nu este distribuită ca chi-pătrat. Seber preferă să rezerve termenul „multivariat” pentru cazurile în care toate marginile univariate sunt din aceeași familie.

Estimator al distribuției normale multivariate

Wishart vc este variabila aleatoare a estimatorului de maximă probabilitate a matricei de covarianță a unei variabile aleatorii gaussiene multivariate. Această derivare este surprinzător de subtilă și elegantă. Aceasta implică, pe de o parte, teorema spectrală și, pe de altă parte, motivul pentru care poate fi mai bine să interpretăm un scalar mai degrabă ca urma unei matrici 1 × 1 decât ca un simplu scalar.

Vc de Wishart și vc Lambda de Wilks

Având în vedere cele două VC distribuite ca Vc Wishart

independent unul de celălalt și cu , asa de

unde este este o variabilă aleatorie Wilks Lambda .

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică