Variabilă aleatorie
În matematică și în special în teoria probabilităților , o variabilă aleatorie (numită și variabilă aleatorie sau variabilă stocastică ) este o variabilă care poate lua diferite valori în funcție de un anumit fenomen aleatoriu . De exemplu, rezultatul aruncării unei matrițe echilibrate pe șase fețe poate fi modelat matematic ca o variabilă aleatorie care poate lua una din cele șase valori posibile și fiecare valoare are probabilitate să se prezinte.
Termenul „aleatoriu” derivă din latinescul alea ( joc de zaruri [1] , care amintește de celebrul alea iacta est ) și exprimă conceptul de risc calculat. Denumirea alternativă stocastică a fost introdusă de Bruno de Finetti [2] . Termenul „casual” derivă din latinescul casualis .
Istorie
Deși nu a fost formalizat, conceptul de distribuție statistică în jurul unei medii era cunoscut din cele mai vechi timpuri. Citim de fapt în Phaedo al lui Platon :
"" Și nu este nedrept acest lucru? Nu este adevărat că cei care se comportă astfel trăiesc în mod evident printre oameni fără să aibă vreo experiență? Dacă, de fapt, abia le-ar cunoaște, ar ști că sunt puține cu adevărat bune sau complet rele și că, în mare parte, ele sunt mediocre. " |
( Platon, Phaedo , XXXIX ) |
Definiție
Mai formal, având în vedere un spațiu de probabilitate (unde este este un set numit spațiu eșantion sau set de evenimente , este o sigma-algebră pe Și este o măsură a probabilității ) și dat un spațiu măsurabil , unu - variabila aleatorie este o funcție măsurabilă din exemplul de anunț spațial .
În această definiție înțelegem că o funcție este măsurabilă dacă pentru fiecare avem asta . Această definiție a măsurabilității este o generalizare a celei definite de Lindgren ( 1976 ): o funcție definit pe spațiul eșantion se spune că este măsurabilă în raport cu câmpul Borel dacă și numai dacă evenimentul aparține lui pentru fiecare .
De sine este un spațiu topologic e atunci este sigma-algebra lui Borel se mai numește - variabilă aleatorie. De asemenea dacă asa de este pur și simplu numită variabilă aleatorie.
Cu alte cuvinte, o variabilă aleatorie este o modalitate de a induce o măsură de probabilitate pe spațiul măsurabil de sosire începând de la măsura probabilității definită pe setul de evenimente .
- Variabile aleatorii unidimensionale (adică valori în ) sunt numite simple sau univariate.
- Variabilele aleatorii multidimensionale sunt numite multiple sau multivariate (duble, triple, -uple).
Variabilele aleatoare care depind de un parametru t (unde t reprezintă de obicei timpul ) sunt considerate procese stochastice .
Distribuția probabilității
Măsura probabilității indusă pe spațiul de sosire măsurabil dintr-o variabilă aleatorie , pornind de la măsura probabilității pe , se numește distribuția sau legea probabilității, a , este indicat cu și este definit după cum urmează
pentru fiecare . Este bine definit tocmai pentru că pentru fiecare . Când variabila aleatorie este clară din context, indicele este adesea omis . Din motive de concizie, în loc de scris sau notația este adesea utilizată
Pentru variabilele aleatorii cu valoare reală , legea probabilității variabilei aleatoare se numește funcția de distribuție și este definită ca .
În general, distribuțiile de probabilitate sunt împărțite în două clase:
- dacă variabila aleatorie este discret, adică setul de valori posibile (rangul sau suportul pentru ) este finit sau numărabil , distribuția de probabilitate este o distribuție discretă și se numește funcția de masă (sau funcția de masă de probabilitate sau densitatea discretă ):
- dacă variabila aleatorie este continuu, adică setul de valori posibile are puterea continuă , distribuția probabilității este o distribuție continuă și este definită ca:
- unde este este o funcție non-negativă numită funcția densității probabilității .
Descrierea unui fenomen aleatoriu, adică un fenomen care poate fi caracterizat de o variabilă aleatorie, înseamnă descrierea acestuia în termeni de distribuție a probabilității și a parametrilor săi, cum ar fi valoarea și varianța așteptate .
Unele variabile aleatorii utilizate în statistici
Variabilele aleatorii sunt împărțite în principal în două clase mari, discrete și continue (sau absolut continue): Exemple de primul tip:
- variabilă aleatorie uniformă discretă
- Variabila aleatorie Bernoulli , caz special al binomului
- variabilă aleatoare binomială
- Variabila aleatorie Poissoniană numită și „legea evenimentelor rare”
- variabilă aleatorie geometrică , caz special al distribuției Pascal
- variabilă aleatorie hipergeometrică
- variabilă aleatorie degenerată
Exemple de al doilea tip:
- variabila aleatorie normala sau gaussiana
- variabila aleatorie Gamma sau Erlanghiana
- Variabila aleatorie t a studentului
- Variabila aleatorie Fisher-Snedecor
- variabilă aleatorie exponențială negativă , caz special al Gam Vc
- variabila aleatorie Chi Square χ² , caz particular al vc Gamma
- variabila aleatorie Beta
- variabilă aleatorie continuă dreptunghiulară sau uniformă
- Variabilă aleatorie Cauchy
Cu toate acestea, aceste clase nu sunt exhaustive din familia variabilelor aleatorii; există, de asemenea, o a treia clasă, de variabile aleatoare singulare sau continue , cum ar fi variabila aleatoare a lui Cantor .
Teorema reprezentării lui Lebesgue ne asigură că fiecare funcție de distribuție (și deci fiecare variabilă aleatorie) poate fi reprezentată ca o combinație convexă a unei funcții de distribuție discrete, continue și singulare. Variabilele aleatorii care nu aparțin niciunei dintre cele trei clase se spune că sunt mixte .
Cu toate acestea, se poate arăta că clasele de variabile aleatoare discrete și variabile aleatoare continue sunt dense în clasa tuturor variabilelor aleatoare în raport cu convergența în distribuție , adică pentru fiecare variabilă aleatorie există o secvență de vc discretă (respectiv continuă) care converge în distribuție la variabila dată.
Notă
- ^ Definiția lui Aleatorio , pe treccani.it . Adus pe 9 februarie 2015 .
- ^ DELI, Dicționar etimologic al limbii italiene , Zanichelli, 2009.
Bibliografie
- Remo Cacciafesta, Lecții de calcul al probabilității , Roma, Veschi, 1983.
- Giorgio Dall'Aglio, Calculul probabilităților , Bologna, Zanichelli, 2003.
- (EN) Bert Lawrence Fristedt Grey, O abordare modernă a teoriei probabilității , Boston, Birkhäuser, 1996 ISBN 3-7643-3807-5 .
- ( EN ) Olav Kallenberg , Random Measures , ediția a 4-a, Berlin, Akademie Verlag , 1986, ISBN 0-12-394960-2 , MR MR0854102 .
- ( EN ) Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability , ediția a II-a, Berlin, Springer Verlag , 2001, ISBN 0-387-95313-2 .
- ( EN ) Athanasios Papoulis , Probability, Random Variables, and Stochastic Processes , ediția a IX-a, Tokyo, McGraw - Hill , 1965, ISBN 0-07-119981-0 .
Elemente conexe
- Amestecarea distribuțiilor
- Variabilă aleatorie standardizată
- Variabilă aleatorie multivariată
- Măsura probabilității
- Proces stochastic
- Winsorization
Alte proiecte
- Wikiversitatea conține resurse pentru variabile aleatorii
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu variabile aleatorii
linkuri externe
- ( EN ) Variabilă aleatorie , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Controlul autorității | Tezaur BNCF 27896 · LCCN (EN) sh85111355 · GND (DE) 4129514-6 · BNF (FR) cb121355344 (data) |
---|