Variabilă aleatorie

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Acest grafic arată cum variabila aleatoare este o funcție din toate rezultatele posibile cu valoare reală.
Acest grafic arată cum variabila aleatorie este o funcție din toate rezultatele posibile cu valoare reală.

În matematică și în special în teoria probabilităților , o variabilă aleatorie (numită și variabilă aleatorie sau variabilă stocastică ) este o variabilă care poate lua diferite valori în funcție de un anumit fenomen aleatoriu . De exemplu, rezultatul aruncării unei matrițe echilibrate pe șase fețe poate fi modelat matematic ca o variabilă aleatorie care poate lua una din cele șase valori posibile și fiecare valoare are probabilitate să se prezinte.

Termenul „aleatoriu” derivă din latinescul alea ( joc de zaruri [1] , care amintește de celebrul alea iacta est ) și exprimă conceptul de risc calculat. Denumirea alternativă stocastică a fost introdusă de Bruno de Finetti [2] . Termenul „casual” derivă din latinescul casualis .

Istorie

Deși nu a fost formalizat, conceptul de distribuție statistică în jurul unei medii era cunoscut din cele mai vechi timpuri. Citim de fapt în Phaedo al lui Platon :

"" Și nu este nedrept acest lucru? Nu este adevărat că cei care se comportă astfel trăiesc în mod evident printre oameni fără să aibă vreo experiență? Dacă, de fapt, abia le-ar cunoaște, ar ști că sunt puține cu adevărat bune sau complet rele și că, în mare parte, ele sunt mediocre. "
"Ce vrei să spui?" Am facut.
„Este la fel ca în cazul lucrurilor foarte mici și foarte mari. Credeți că este atât de ușor să găsiți un bărbat sau un câine sau orice altul care este unul foarte mare sau foarte mic sau, știu, unul foarte rapid sau foarte lent sau foarte urât sau foarte frumos sau complet alb sau negru? Ați observat vreodată că în toate lucrurile extremele sunt rare, în timp ce aspectele intermediare sunt frecvente, într-adevăr numeroase? "

( Platon, Phaedo , XXXIX )

Definiție

Mai formal, având în vedere un spațiu de probabilitate (unde este este un set numit spațiu eșantion sau set de evenimente , este o sigma-algebră pe Și este o măsură a probabilității ) și dat un spațiu măsurabil , unu - variabila aleatorie este o funcție măsurabilă din exemplul de anunț spațial .

În această definiție înțelegem că o funcție este măsurabilă dacă pentru fiecare avem asta . Această definiție a măsurabilității este o generalizare a celei definite de Lindgren ( 1976 ): o funcție definit pe spațiul eșantion se spune că este măsurabilă în raport cu câmpul Borel dacă și numai dacă evenimentul aparține lui pentru fiecare .

De sine este un spațiu topologic e atunci este sigma-algebra lui Borel se mai numește - variabilă aleatorie. De asemenea dacă asa de este pur și simplu numită variabilă aleatorie.

Cu alte cuvinte, o variabilă aleatorie este o modalitate de a induce o măsură de probabilitate pe spațiul măsurabil de sosire începând de la măsura probabilității definită pe setul de evenimente .

  • Variabile aleatorii unidimensionale (adică valori în ) sunt numite simple sau univariate.
  • Variabilele aleatorii multidimensionale sunt numite multiple sau multivariate (duble, triple, -uple).

Variabilele aleatoare care depind de un parametru t (unde t reprezintă de obicei timpul ) sunt considerate procese stochastice .

Distribuția probabilității

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Măsura probabilității .
Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Distribuția probabilității compuse .

Măsura probabilității indusă pe spațiul de sosire măsurabil dintr-o variabilă aleatorie , pornind de la măsura probabilității pe , se numește distribuția sau legea probabilității, a , este indicat cu și este definit după cum urmează

pentru fiecare . Este bine definit tocmai pentru că pentru fiecare . Când variabila aleatorie este clară din context, indicele este adesea omis . Din motive de concizie, în loc de scris sau notația este adesea utilizată

Pentru variabilele aleatorii cu valoare reală , legea probabilității variabilei aleatoare se numește funcția de distribuție și este definită ca .

În general, distribuțiile de probabilitate sunt împărțite în două clase:

  • dacă variabila aleatorie este discret, adică setul de valori posibile (rangul sau suportul pentru ) este finit sau numărabil , distribuția de probabilitate este o distribuție discretă și se numește funcția de masă (sau funcția de masă de probabilitate sau densitatea discretă ):
unde este este o funcție non-negativă numită funcția densității probabilității .

Descrierea unui fenomen aleatoriu, adică un fenomen care poate fi caracterizat de o variabilă aleatorie, înseamnă descrierea acestuia în termeni de distribuție a probabilității și a parametrilor săi, cum ar fi valoarea și varianța așteptate .

Unele variabile aleatorii utilizate în statistici

Variabilele aleatorii sunt împărțite în principal în două clase mari, discrete și continue (sau absolut continue): Exemple de primul tip:

Exemple de al doilea tip:

Cu toate acestea, aceste clase nu sunt exhaustive din familia variabilelor aleatorii; există, de asemenea, o a treia clasă, de variabile aleatoare singulare sau continue , cum ar fi variabila aleatoare a lui Cantor .

Teorema reprezentării lui Lebesgue ne asigură că fiecare funcție de distribuție (și deci fiecare variabilă aleatorie) poate fi reprezentată ca o combinație convexă a unei funcții de distribuție discrete, continue și singulare. Variabilele aleatorii care nu aparțin niciunei dintre cele trei clase se spune că sunt mixte .

Cu toate acestea, se poate arăta că clasele de variabile aleatoare discrete și variabile aleatoare continue sunt dense în clasa tuturor variabilelor aleatoare în raport cu convergența în distribuție , adică pentru fiecare variabilă aleatorie există o secvență de vc discretă (respectiv continuă) care converge în distribuție la variabila dată.

Notă

  1. ^ Definiția lui Aleatorio , pe treccani.it . Adus pe 9 februarie 2015 .
  2. ^ DELI, Dicționar etimologic al limbii italiene , Zanichelli, 2009.

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 27896 · LCCN (EN) sh85111355 · GND (DE) 4129514-6 · BNF (FR) cb121355344 (data)
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică