Distribuție exponențială

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Distribuție exponențială
Funcția densității probabilității
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Funcția de distribuție cumulativă
Parametrii
A sustine
Funcția de densitate
Funcția de distribuție
Valorea estimata
Median
Modă
Varianța
Indicele de asimetrie
Curios
Entropie
Funcție generatoare de momente
Funcția caracteristică

În teoria probabilității, distribuția exponențială este o distribuție continuă a probabilității care descrie „durata de viață” a unui fenomen care nu îmbătrânește (adică distribuția exponențială este lipsită de memorie ). Un exemplu este durata de viață a unei particule radioactive înainte de descompunere sau durata unei cereri pentru un serviciu; de aceea este legat de timpul de așteptare al primului succes, în fenomene aleatorii cu distribuție geometrică.

Distribuția exponențială (sau Laplace) poate fi, de asemenea, dedusă ca distribuția probabilității unei variabile aleatorii definită ca suma pătratelor a două variabile aleatoare normale standardizate (adică cu valoarea zero așteptată și varianța unității); prin urmare, este, de asemenea, banal atribuibil unui anumit caz de distribuție chi-pătrat, acesta din urmă fiind distribuția de probabilitate a variabilei aleatoare construită ca suma pătratelor de n variabile aleatoare normale și standardizate aleatorii.

Definiție

Distribuția exponențială , cu parametru , are funcția de densitate a probabilității :

Proprietate

Parametrul trebuie să fie pozitiv pentru ca integrala funcției de densitate pe reali să fie

Lipsa memoriei

O variabilă aleatorie cu distribuție exponențială a parametrului are o funcție de distribuție

În special formula implică lipsa memoriei :

În schimb, dacă o distribuție continuă a probabilității asupra numerelor reale pozitive este lipsită de memorie, adică respectă pentru fiecare alegere de și de atunci relația este valabilă pentru fiecare pozitiv rațional sau chiar, grație continuității funcției de distribuție, pentru fiecare real pozitiv; mai ales luând este situat chiar

Pe de altă parte, printre distribuțiile de probabilitate discrete , fiecare distribuție fără memorie este o distribuție geometrică .

Caracteristici

O variabilă aleatorie cu distribuție exponențială a parametrilor are

  • valorea estimata ,
  • varianță ,
  • funcție caracteristică
  • funcție generatoare de moment
  • indici de asimetrie și curtoză Și .
  • momente centrale generice unde este este factorul secundar al .

Cuantilele sale pot fi obținute prin inversarea funcției de distribuție:

;

în special quartile sale (și mediana ) sunt

, , .

Distribuții

Minimul între variabile aleatorii independente cu distribuții exponențiale ale parametrilor este încă o variabilă aleatorie cu distribuție exponențială a parametrilor .

Paralela distribuției exponențiale, ca distribuție fără memorie, între distribuțiile discrete de probabilitate este distribuția geometrică . În special, dacă urmează distribuția exponențială apoi pentru fiecare variabila aleatorie ( partea întreagă ) urmează distribuția geometrică :

Distribuția Poisson descrie numărul de evenimente succesive care au avut loc într-un interval de timp, în care timpii de așteptare între două evenimente ulterioare sunt independenți și reglementați de distribuția exponențială a aceluiași parametru .

Distribuția exponențială corespunde distribuției chi-pătrat cu două grade de libertate, .

Distribuția Laplace a parametrilor guvernează variabila aleatorie , unde este sunt două variabile aleatoare independente cu aceeași distribuție exponențială .

Distribuția Gamma generalizează distribuția exponențială: coincide cu . În special, suma din variabile aleatorii independente ale aceleiași legi exponențiale cu parametrul urmează distribuția Gamma . De asemenea, în inferența bayesiană dacă parametrul a unei distribuții exponențiale urmează, a priori a unei observații, o distribuție Gamma, apoi o distribuție Gamma urmează și a posteriori .

Aplicații

Radioactivitate

Timpul de descompunere al unui izotop radioactiv este de obicei modelat ca o funcție a vieții sale medii prin distribuția exponențială .

În acest cadru, parametrul se numește constanta de descompunere ; speranța de viață este corectă .

Cu acest model, de exemplu, este posibil să se calculeze probabilitățile ca izotopul să se descompună în mai puțin de jumătate din timpul mediu,

,

sau mai mult decât dublu de data aceasta

.

De exemplu, prin formula cuantilă se constată că numai cu o probabilitate de douăzeci, izotopul se va descompune în mai mult de

.

Cu toate acestea, un observator care nu a văzut încă izotopul se descompune după o perioadă de se regăsește din nou în condițiile inițiale, din cauza absenței memoriei; va trebui deci să aștepte un timp mediu înainte de decădere.

Într-un eșantion cu un număr foarte mare de izotopi (așa cum se întâmplă de obicei), probabilitățile fiecărui izotop individual (independent de celelalte) pot fi traduse în procente din eșantion. De exemplu, timpul mediu după care jumătate din probe se descompun ( timpul de înjumătățire sau timpul de înjumătățire ) este dat de mediana .

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității GND ( DE ) 4016019-1
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică