Distribuție multivariată normală

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Funcția de densitate a unui multivariat normal

În teoria probabilității și statisticile , distribuția normală multivariată sau distribuția Gaussiană multivariată sau vectorul Gaussian este o generalizare a distribuției normale (univariate) la dimensiuni superioare. O definiție este că un vector de variabile aleatorii are o distribuție normală k-variată dacă orice combinație liniară a componentelor sale k are o distribuție normală univariată. Importanța sa derivă în principal din teorema limitei centrale multivariate . Distribuția normală multivariată este adesea utilizată pentru a descrie, cel puțin aproximativ, orice set de variabile aleatoare (posibil) corelate (posibil) cu valoare reală, fiecare dintre acestea fiind grupată în jurul unei valori medii.

Definiții

Notare și parametrizare

Distribuția normală multivariată a unui vector aleatoriu k-dimensional poate fi scris conform notației:

sau, pentru a face explicit faptul că este k-dimensional,

cu un vector cu dimensiunea medie d k

și matricea de covarianță a dimensiunii

pentru care Matricea inversă a matricei de covarianță se numește matrice de precizie și este indicată ca .

Vector normal aleatoriu standard

Un vector aleatoriu cu valoare reală se numește vectorul normal aleatoriu standard dacă toate componentele sale ele sunt independente și fiecare este o variabilă normală aleatorie cu valoare medie zero și varianță unitară, adică dacă pentru toate valorile de . [1] p. 454

Vector aleatoriu normal centrat

Un vector aleatoriu cu valoare reală se numește vectorul normal aleator centrat dacă există o matrice deterministă in marime astfel încât are aceeași distribuție ca unde este este un vector aleatoriu normal standard cu componente. [1] p. 454

Vector aleatoriu normal

Un vector aleatoriu cu valoare reală se numește vectorul aleatoriu normal dacă există un vector aleatoriu -dimensional , care este un vector standard aleatoriu normal, un vector -dimensional , și o matrice in marime , astfel încât . [2] p. 454 [1] p. 455

Oficial:

Prin urmare, matricea de covarianță este .

În cazul degenerat în care matricea de covarianță este singulară , distribuția corespunzătoare nu are densitate; consultați secțiunea următoare pentru detalii. Această situație apare frecvent în statistici ; de exemplu, în distribuția vectorilor reziduali în metoda de regresie obișnuită a celor mai mici pătrate . The în general nu sunt independenți; pot fi văzute ca rezultatul aplicării matricei la setul de variabile Gauss independente .

Definiții echivalente

Următoarele definiții sunt echivalente cu definiția dată mai sus. Un vector aleatoriu are o distribuție normală multivariată dacă îndeplinește una dintre următoarele condiții echivalente.

  • Orice combinație liniară din componentele sale este distribuită în mod normal . Adică pentru orice vector constant , valoarea aleatorie are o distribuție normală univariantă, unde o distribuție normală univariată cu varianță zero este un punct material pe media sa.
  • Există un vector k- dimensional și o matrice de dimensiuni semidefinită simetrică și pozitivă , astfel încât funcția caracteristică a Și

Distribuția normală sferică poate fi caracterizată ca fiind singura distribuție în care componentele sunt independente în orice sistem de coordonate carteziene. [3] [4]

Notă

  1. ^ a b c Amos Lapidoth, A Foundation in Digital Communication , Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-19395-5 .
  2. ^ Allan Gut, An Intermediate Course on Probability , Springer, 2009, ISBN 978-1-4419-0161-3 .
  3. ^ M. Kac, Despre o caracterizare a distribuției normale , în American Journal of Mathematics , vol. 61, nr. 3, 1939, pp. 726–728, DOI : 10.2307 / 2371328 , JSTOR 2371328 .
  4. ^ Fabian Sinz, Sebastian Gerwinn și Matthias Bethge, Caracterizarea distribuției normale p-generalizate , în Journal of Multivariate Analysis , vol. 100, nr. 5, 2009, pp. 817–820, DOI : 10.1016 / j.jmva.2008.07.006 .

Elemente conexe