Čebyšëv inegalitate

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea inegalității omonime în ceea ce privește numerele reale, consultați inegalitatea lui Čebyšëv pe sumă .

Inegalitatea Čebyšëv este utilizată în principal în contextul teoriei probabiliste și mai rar în contextul seturilor de date reale. Adesea, inegalitatea Čebyšëv este denumită inegalitatea Markov , a cărei corolar este.

Inegalitatea a fost publicată pentru prima dată în 1853 de Irénée-Jules Bienaymé și redescoperită independent de Pafnutij L'vovič Čebyšëv câțiva ani mai târziu (prin urmare, este citată și ca inegalitatea Bienaymé-Čebyšëv ).

Descriere

În contextul variabilelor aleatorii (vc) se afirmă că dacă vc are valoare așteptată și varianța Și este un număr real pozitiv, atunci probabilitatea ca își asumă o valoare între Și este mai mare decât .

Cu alte cuvinte, afirmă că, având în vedere un caracter al cărui cunoscut este doar media aritmetică și abaterea standard , putem cunoaște probabilitatea ca o variabilă aleatorie să aibă valori în afara unui interval simetric în raport cu media aritmetică. Cu alte cuvinte, această teoremă ne asigură că, indiferent de distribuția variabilei aleatorii , probabilitatea ca aceasta să ia valori departe de medie mai mult de ori deviația standard este cel mult

Obținem apoi limita inferioară a probabilității de exprimat cu formula:

acesta este:

din care putem obține și limita superioară a probabilității de exprimat ca: [1]

care este echivalent cu scrierea:

acesta este:

În contextul statisticilor descriptive, acesta afirmă că gama de valori este între Și are un nivel de încredere de cel puțin . Fisz a arătat că pentru variabilele cu medie și varianță nu este posibil să se găsească o inegalitate mai bună decât Čebyšëv, cu excepția cazului în care sunt impuse constrângeri asupra distribuției variabilei.

Din această inegalitate rezultă că

  • cel puțin 75% din valori sunt între Și
  • cel puțin 89% din valori sunt între Și
  • cel puțin 94% din valori sunt între Și
  • cel puțin 96% din valori sunt între Și
  • cel puțin 99% din valori sunt între Și

indiferent de modul în care sunt distribuite valorile.

Dovadă probabilistică

Pentru orice eveniment , este variabila indicator aleatorie a , acesta este Este egal cu dacă evenimentul se întâmplă și altfel. Atunci noi avem:

Din inegalitatea Markov rezultă atunci:

Prin urmare, avem:

Notă

  1. ^ De fapt, avem:
    Și:
    de la care:

Bibliografie

  • A. Papoulis (1991), Probabilitate, variabile aleatoare și procese stochastice , ed. A III-a. McGraw-Hill. ISBN 0-07-100870-5 . pp. 113–114.
  • G. Grimmett și D. Stirzaker (2001), Probabilitate și procese aleatorii , ed. A III-a. Oxford. ISBN 0-19-857222-0 . Secțiunea 7.3.

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică