Teorema lui Clausius
Teorema lui Clausius (cunoscută și sub denumirea de inegalitate Clausius ), dovedită în 1854 de către fizicianul german Rudolf Clausius , este un rezultat important al termodinamicii , care pune bazele definirii funcției stării de entropie , pe care el însuși a formulat-o. [1]
Afirmație
Dacă un sistem suferă o transformare ciclică în care schimbă căldura cu n surse, inegalitatea se menține
unde este este temperatura absolută a sursei i, e căldura schimbată cu ea.
De sine iar ciclul este descompus într-o serie de transformări infinitezimale, însumarea devine o integrală:
unde este este căldura schimbată într-o transformare infinitesimală și T este temperatura sursei.
În ambele formule, egalitatea este valabilă numai în cazul unui ciclu reversibil .
Deoarece pentru un ciclu reversibil integralul dispare, putem defini o funcție de stare, adică entropia S , astfel încât:
Pentru a demonstra acest lucru, să luăm în considerare un ciclu reversibil care poartă o stare A în sine ca fiind compoziția oricăror două transformări reversibile, prima aduce A în B, în timp ce al doilea aduce B în A.
Prin exploatarea proprietăților integralei de linie, este posibil să scriem:
Din care este clar că entropia este o funcție de stare, deoarece nu depinde de tipul de transformare pe care îl suferă.
Demonstrație
Pentru a demonstra inegalitatea, introducem o sursă cu temperatură arbitrar, împreună cu celelalte n surse cu temperatură . Mai mult, să presupunem că introducem n mașini Carnot (cu ciclu reversibil) între sursa a iar cele a .
Este căldura schimbată între sistemul S și sursa i-a. Ne putem asigura că ciclul Carnot funcționează între Și furnizează sursei i cantitatea de căldură - . În acest caz, relația (dată de teorema lui Carnot ) poate fi scrisă pentru fiecare ciclu
unde este este căldura schimbată cu sursa a în ciclul I.
Prin construcție, deci, fiecare sursă a schimbă o cantitate netă de căldură egală cu zero. Sursa a în schimb, oferă o cantitate totală de căldură egală cu
- .
Să examinăm acum semnul . Am văzut că sistemul compus din S și n surse a primește căldură din sursa a . De sine au fost pozitive, singurul rezultat al procesului ar fi transformarea ciclică în muncă (efectuată de mașinile Carnot) a căldurii obținute dintr-o sursă omogenă. Dar acest lucru este imposibil, deoarece în contradicție deschisă cu a doua lege a termodinamicii din formularea lui Kelvin . Prin urmare , și de atunci (fiind o temperatură absolută) se obține
- .
În cele din urmă, dacă ciclul efectuat de S este reversibil, aceeași concluzie este valabilă prin inversarea semnelor tuturor cantităților de căldură . Ar fi apoi găsit
și singura modalitate de a satisface ambele inegalități este ca rezultatul sumei să fie zero:
- .
Având în vedere schimbul de căldură dintre S și un sistem continuu de surse, adică cu , aceeași dovadă duce la rezultat
- .
Notă
- ^ Enrico Fermi , Thermodynamics , Prentice Hall, 1937.