Inegalitatea lui Friedrichs

În matematică , în special în analiza funcțională , inegalitatea Friedrichs este o teoremă datorată lui Kurt Friedrichs, care limitează norma L ^p- a unei funcții prin norma L ^p- a derivatelor sale slabe și geometria domeniului definiției. Rezultatul poate fi apoi folosit pentru a demonstra că unele norme dintr-un spațiu Sobolev sunt echivalente.

Afirmație

Este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ un set limitat de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ în diametru $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , și așa să fie $u:\Omega \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle u: \ Omega \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u: \ Omega \ to \ mathbb {R}}$ o funcție aparținând spațiului Sobolev $W_{0}^{k,p}(\Omega )$ ${\ displaystyle W_ {0} ^ {k, p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle W_ {0} ^ {k, p} (\ Omega)}$ . Atunci este adevărat că:

\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} \ leq d ^ {k} \ left (\ sum _ {| \ alpha | = k} \ | \ mathrm {D} ^ { \ alpha} u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}

{\ displaystyle \ | u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} \ leq d ^ {k} \ left (\ sum _ {| \ alpha | = k} \ | \ mathrm {D} ^ { \ alpha} u \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)} ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}

Unde este:

$\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)}}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {L ^ {p} (\ Omega)}}$ reprezintă norma spațiului $L^{p}(\Omega )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ Omega)}$ .
$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})$ ${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {n})}$ ${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ dots, \ alpha _ {n})}$ este un multi-index cu normă $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}$ ${\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ dots + \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ dots + \ alpha _ {n}}$ ;
$D^{\alpha }u$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} u}$ ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} u}$ este derivatul parțial mixt slab:

\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}

{\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {\ alpha} u = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} u} {\ partial _ {x_ {1}} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial _ {x_ {n}} ^ {\ alpha _ {n}}}}}

{\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {\ alpha} u = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} u} {\ partial _ {x_ {1}} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial _ {x_ {n}} ^ {\ alpha _ {n}}}}}

Bibliografie

( EN ) KO Friedrichs, "Eine invariant Formulierung des Newtonschen Gravititationsgesetzes und des Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz" Math. Ann. , 98 (1927) pp. 566-575
( EN ) SL Sobolev, "Aplicații ale analizei funcționale în fizica matematică", Amer. Matematica. Soc. (1963)
( EN ) SM Nikol'skii, PI Lizorkin, "Despre unele inegalități pentru funcțiile clasei de greutate și problemele cu valoare la graniță cu o degenerare puternică la graniță" Matematica sovietică. Dokl. , 5 (1964) pp. 1535–1539 Dokl. Akad. Nauk SSSR, 159: 3 (1964) pp. 512-515
( EN ) SM Nikol'skii, Aproximarea funcțiilor mai multor variabile și încorporarea teoremelor , Springer (1975)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) DF Kalinichenko, NV Miroshin, Friedrichs inequality , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică