Inegalitatea Markov

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În teoria probabilității și statisticile , inegalitatea Markov afirmă că, pentru o variabilă aleatorie non-negativ a cărui valoare așteptată există:

Această inegalitate face posibilă stabilirea unei limite superioare a valorii probabilității din simpla cunoaștere a valorii așteptate cu condiția ca variabila aleatorie să fie definită ca fiind negativă.

Inegalitatea Markov este utilizată și în dovada inegalității Čebyšëv .

Demonstrație

Definim variabilele aleatorii și după cum urmează:

cu spațiu eșantion e

cu Clar pentru fiecare nu zero, are loc următoarea inegalitate largă

Să presupunem în plus că pentru variabila aleatorie există asa de:

Valoarea așteptată este definită ca suma tuturor valorilor pe care variabila aleatorie le poate asuma înmulțite cu probabilitatea ca această variabilă să își asume efectiv aceste valori: în cazul nostru

Dar totuși, probabilitatea că este egal cu 1 este tocmai probabilitatea ca este mai mare sau egal cu

Valoarea așteptată menține inegalitatea argumentelor, deoarece este o funcție care nu descrește, având în vedere faptul că argumentele sunt variabile non-negative. Gândiți-vă doar la definiția valorii așteptate, în cazul discret și continuu, care generează serii cu termeni pozitivi într-un caz și integrale ale funcțiilor pozitive în celălalt.

Pentru liniaritatea valorii așteptate. Deci concluzionăm că

Čebyšëv inegalitate

Pornind de la inegalitatea demonstrată, putem obține, ca corolar, următoarea afirmație:

cu parametru pozitiv. Pentru a face acest lucru, definim o variabilă aleatorie și îi asociem variabila aleatoare

Atât de definit este o variabilă aleatorie non-negativă, prin urmare aplicăm inegalitatea lui Markov, obținând

în dreapta obținem definiția varianței

și știind asta în general se aplică următoarele

primim ceea ce am vrut să dovedim, adică

care poate fi rescris și prin setarea parametrului

de asemenea, putem simplifica scrierea utilizând, în locul varianței, instrumentul statistic al deviației standard, definit ca rădăcină.

Legea slabă a numărului mare

Inegalitatea Čebyšëv este folosită și în faimoasa lege a numărului mare, a cărei așa-numita afirmație „slabă” va fi demonstrată aici. Declarația este următoarea:

Să luăm în considerare o populație de elemente ale variabilelor aleatoare independente toate cu valoarea așteptată și varianță .

Și definirea estimatorului valorii medii da ai

Aceasta înseamnă că, prin creșterea dimensiunii populației aflate în posesia noastră, estimatorul valorii medii coincide din ce în ce mai mult cu valoarea așteptată.

Demonstrație

Aplicăm inegalitatea Čebyšëv la estimatorul valorii medii:

pentru fiecare Pentru proprietățile de liniaritate ale valorii așteptate avem că, în general, media aritmetică a variabilelor aleatorii cu valoare așteptată diferită corespunde unui estimator al valorii așteptate egal cu media aritmetică a valorilor unice așteptate. În cazul nostru toate au aceeași valoare așteptată , prin urmare

Din moment ce sunt independente una de cealaltă, se aplică următoarele astfel încât

În cazul nostru, atunci avem asta

Deci, să rescriem raportul nostru în lumina celor spuse

Primul termen poate fi rescris prin intermediul complementului evenimentului a cărui probabilitate o calculăm

Cu toate acestea, probabilitatea oricărui eveniment este cel mult 1:

Prin urmare, dacă luăm această expresie la limită, obținem ceea ce căutam pentru teorema comparației :

Ceea ce înseamnă că este sigur evenimentul luat în considerare sau că în cele din urmă distanța dintre Și este mărită cu pozitiv arbitrar

Ceea ce înseamnă în concluzie, prin definiție a limitei , că

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică