Inegalitatea lui Young

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , inegalitatea lui Young afirmă că dacă Și sunt numere reale pozitive și astfel încât , asa de

Egalitatea este valabilă numai dacă , De cand .

Inegalitatea lui Young este un caz special al versiunii ponderate a inegalității dintre media aritmetică și media geometrică . Este folosit în dovada inegalității lui Hölder .

Demonstrație

Știm funcția este convex , deoarece a doua derivată este pozitivă pentru orice valoare a lui x . Prin urmare, putem scrie:

.

În cazul în care a fost utilizată inegalitatea de convexitate , adică faptul că o funcție f este convexă dacă și numai dacă pentru fiecare t între 0 și 1 (extreme incluse),

Dovadă alternativă

Este o funcție convexă ( ). Transformarea lui Legendre este, prin definiție,

Fix , studiem prima derivată cu privire la a funcției :

Deoarece funcția este concavă (a doua derivată este egală cu cea a , care este o funcție concavă, deoarece este convex), pentru functia are un maxim. Asa de:

De cand și că transformata Legendre a unei funcții convexe este, de asemenea, o funcție convexă ( ), rezultă că condițiile stabilite pentru inegalitatea lui Young de a deține sunt echivalente cu faptul că este transformata Legendre a . Demonstrația inegalității devine imediată; de fapt, din definiția transformării Legendre și a maximului unei funcții:

Procedura utilizată este complet generală și nu depinde de alegerea , atâta timp cât este o funcție convexă. Este imediat să demonstrăm că, în general,

Bibliografie

  • Vladimir I. Arnold, Metode matematice ale mecanicii clasice , Editori Riuniti, 2004, ISBN 88-359-5601-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică